一種新型的非線性系統(tǒng)模型參數(shù)辨識方法

耿永剛

(常州機電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 常州 213164)

非線性模型參數(shù)估計是控制領(lǐng)域研究的重要問題。目前已有許多成熟的系統(tǒng)辨識和參數(shù)估計方法，如最小二乘法[1]、極大似然估計法[2]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于參數(shù)辨識法[3]、遺傳算法[4-5]等。但是最小二乘法和極大似然估計法都是基于過程梯度信息的辨識方法，其前提是可微的代價函數(shù)、性能指標(biāo)和平滑的搜索空間。但在實際應(yīng)用中，由于獲得的數(shù)據(jù)含有噪聲或所辨識的系統(tǒng)非連續(xù)，使得這一條件難以滿足；利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)辨識雖然具有以任意精度逼近非線性函數(shù)的能力，但是在實際應(yīng)用中，只有選擇了合適的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，才能獲得好的結(jié)果，但選擇合適的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)往往是非常困難的；利用遺傳算法特有的復(fù)制、交叉和變異功能以及群體尋優(yōu)的方式來克服陷入局部最優(yōu)解，可獲得較好的模型參數(shù)估計，但是遺傳算法需涉及到繁瑣的編碼、解碼過程以及較大的計算量，而且整個種群是比較均勻地向最優(yōu)解區(qū)域移動，因此其搜索效率不高。

由Kennedy等人提出的微粒群(PSO)算法[6-13]是一種有效的隨機全局優(yōu)化技術(shù)，已經(jīng)被證明是一種很好的優(yōu)化方法。PSO算法對優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)形式?jīng)]有特殊要求，而且沒有遺傳算法中的交叉、變異算子，各個算子根據(jù)自己的速度來搜索，整個搜索過程跟隨當(dāng)前最優(yōu)解進(jìn)行。目前已在許多函數(shù)優(yōu)化、網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練、參數(shù)整定等領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。本文借助PSO算法的群體尋優(yōu)能力，通過對算法的改進(jìn)，將其應(yīng)用到對非線性系統(tǒng)模型參數(shù)辨識中。

1 問題描述

對于描述過程的模型一般形式為：

其中，x為系統(tǒng)輸入，y為系統(tǒng)輸出，θ為待估計模型參數(shù)，e是均值為 0、方差為 δ的噪聲。

參數(shù)辨識就是在模型結(jié)構(gòu)已確定的情況下，根據(jù)已知的觀測數(shù)據(jù)對(xi，yi)，i=1，2，…，n 求解偏差平 方和 J(θ)為最小的 θ值。

可以看到其實質(zhì)就是將模型參數(shù)辨識問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)優(yōu)化問題。

2 微粒群優(yōu)化(PSO)算法及其改進(jìn)

2.1 基本PSO算法原理

PSO算法是一種新型演化計算方法。其中，“群”來源于Millonas在開發(fā)應(yīng)用于人工生命(artificial life)的模型時所提出的群體智能的5個基本原則[14]。而“微?！眲t是一個折衷的選擇，一方面將群體中的成員描述為沒有質(zhì)量和體積的個體；另一方面賦予其速度和加速度。

設(shè)第 i個微粒的位置為 Xi=(xi1，xi2，…，xiD)，其速度為Vi=(vi1，vi2，…，viD)。 該微粒其所經(jīng)歷的歷史最好位置記為 Pi=(pi1，pi2，…，piD)，也稱為 Pbest，記全體所有微粒經(jīng)過的最好位置為 Pg=(gi1，gi2，…，giD)，也稱為 Pgest。按追隨當(dāng)前最優(yōu)微粒的原理，對第t代的第i個微粒，PSO算法根據(jù)方程(3)計算第t+1代的第j維的速度和位置。

此外，微粒的速度vi被一個最大速度所限制。如果當(dāng)前對微粒的加速導(dǎo)致它在某維的速度vij超過該維的最大速度 vmax，j，則該維的速度被限制為最大速度 vmax，j，使得粒子不至于因為飛行速度過高而跳過可能的優(yōu)化解。

2.2 PSO算法的改進(jìn)

通過對式(3)、式(4)分析發(fā)現(xiàn)，如果粒子群的歷史最優(yōu)粒子位置Pgest在較長時間內(nèi)沒有發(fā)生變化，在粒子群體快接近Pgest時，其速度更新將由歷史速度決定，于是速度將越來越小，粒子群呈現(xiàn)出強烈的“趨同性”，表現(xiàn)在式(3)中的第2項和第3項接近于0。這種“趨同性”加快了算法的搜索速度，但是卻減弱了群體開拓新的搜索空間的能力。如果該最優(yōu)位置為一局部最優(yōu)點，則算法很容易陷入局部最優(yōu)，發(fā)生早熟現(xiàn)象。通過粒子群優(yōu)化算法的搜索機理分析發(fā)現(xiàn)，無論是早熟收斂還是全局收斂，微粒群中的粒子都會出現(xiàn)“聚集”現(xiàn)象。針對這個問題，本文對PSO算法作了以下改進(jìn)：在微粒群從第t代向第t+1代“飛翔”時，粒子除追隨個體極值Pbest和全局極值Pgest外，還追隨從微粒群中隨機選取的某個粒子個體極值 Pn，則式(3)改寫為：

式中，c3為非負(fù)常數(shù)，一般取 0.5；為[0，1]的隨機數(shù)，根據(jù)仿真實驗，的取值范圍在 0～0.5之間時能獲得較好的效果；qij是隨機選取粒子的位置。在粒子的飛翔迭代公式中增加Pn后，由 Pbest、Pgest和 Pn三者共同向下一代提供信息，粒子獲得的信息量增大，從而可能更快地找到最優(yōu)解。同時Pn的權(quán)重系數(shù)很小，相當(dāng)于擾動信息，增加了粒子的多樣性，避免算法過早收斂。式(4)和式(5)組成后稱之為改進(jìn)的PSO算法MPSO(Modified PSO)。

2.3 算法設(shè)計

采用改進(jìn)PSO算法進(jìn)行非線性系統(tǒng)模型參數(shù)辨識研究，設(shè)計出的實現(xiàn)算法為：

(1)根據(jù)優(yōu)化命題的復(fù)雜性，確定群體規(guī)模m和搜索空間維數(shù)D，并初始化群體的速度和位置；

(2)根據(jù)式(5)，計算每一個微粒新的速度和位置；

(3)根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)確定算法的適應(yīng)度函數(shù)，適應(yīng)度函數(shù)可以根據(jù)具體的情況來確定；

2.1 開發(fā)主體環(huán)保意識薄弱 旅游資源作為一種資源，不論是可再生還是不可再生，在其使用過程中不可避免會受到破壞，絕大多數(shù)生態(tài)旅游資源都具有破壞容易恢復(fù)難的特性。隨著景區(qū)知名度的提升，加上游客日益多樣化的需求，旅游目的地不得不想辦法對資源進(jìn)行深度的挖掘和再次開發(fā)。受經(jīng)濟(jì)利益的驅(qū)使，常常使得旅游開發(fā)具有盲目性，可能會使得資源過度開發(fā)而超過自身恢復(fù)限度。張家界國家森林公園，由于對修建性建設(shè)項目控制不夠，造成水質(zhì)污染，曾被聯(lián)合國教科文組織亮出黃牌警告，當(dāng)?shù)卣疄榱嘶謴?fù)景區(qū)原貌，花費了上億元人民幣。

(4)對每個微粒，將其適應(yīng)值與其經(jīng)歷過的最好位置Pi作比較。如果較好，則將其作為當(dāng)前的最好位置Pi，否則繼續(xù)執(zhí)行下一步；

(5)對每個微粒，將其適應(yīng)值與全局所經(jīng)歷的最好位置Pg作比較。如果較好，則將其作為當(dāng)前全局的最好位置Pg，否則繼續(xù)執(zhí)行下一步；

(6)判斷算法是否滿足終止條件。若達(dá)到終止條件，則算法停止，返回當(dāng)前最優(yōu)個體為結(jié)果，否則，返回第二步繼續(xù)。

3仿真研究

為了驗證利用改進(jìn)PSO算法進(jìn)行非線性模型參數(shù)估計的有效性，本文以谷氨酸菌體生長模型[5]參數(shù)優(yōu)化估計為例進(jìn)行了仿真研究。

菌體種子接入發(fā)酵罐以后，就在罐內(nèi)按自然規(guī)律生長繁殖，在整個發(fā)酵期間，若無雜菌和噬菌體的侵襲，罐內(nèi)外沒有大規(guī)模菌體遷移。菌體在發(fā)酵罐內(nèi)的自然生長繁殖過程可以用Verhulst方程來描述[5]:

在工業(yè)生產(chǎn)的實際過程中，鑒于接入發(fā)酵罐中的菌體有一個適應(yīng)環(huán)境的過程，而菌體的增殖有一段時間的滯后 τ1，為此， 將上式改寫為:

式(8)即可作為菌體在發(fā)酵罐內(nèi)的生長模型。其中y(t)為菌體濃度，t為菌體生長時間，r、a、k為待定模型參數(shù)。

利用改進(jìn)的PSO算法進(jìn)行模型參數(shù)估計的目的是要確定菌體生長模型中的模型參數(shù)r、a、k使得實際觀測值與模型估計值有較高的擬合度。本文利用參考文獻(xiàn)[5]中提供的實際觀測數(shù)據(jù)，通過改進(jìn)的PSO算法對模型參數(shù)進(jìn)行估計，見表1。

表1 菌體濃度實際觀測數(shù)據(jù)

改進(jìn)的PSO算法適應(yīng)值函數(shù)采用如下偏差平方和形式：

其中yi為菌體濃度的實際觀測值，為菌體濃度的模型估計值，n為用于模型參數(shù)估計樣本個數(shù)。

改進(jìn)PSO算法參數(shù)為：種群規(guī)模m=20；慣性權(quán)重w從1.2逐漸線性衰減到0.1；加速度常數(shù)為C1=C2=C3=0.5；因本文針對系統(tǒng)模型的三個參數(shù)進(jìn)行估計，故取D=3；待估計參數(shù) r、a、k 的定義域區(qū)間為[0，5]。

根據(jù)表1中的觀測數(shù)據(jù)，利用PSO算法進(jìn)行參數(shù)估計，并與人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(ANN)、標(biāo)準(zhǔn)遺傳算法(SGA)、改進(jìn)遺傳算法(IGA)、標(biāo)準(zhǔn)PSO算法4種方法進(jìn)行了比較。表2給出了模型參數(shù)估計結(jié)果。

表2 菌體生長模型參數(shù)估計結(jié)果

為了驗證本文方法的有效性，將表2中的5種算法得到的估計值分別作為模型參數(shù)，并以表1中的實際觀測數(shù)據(jù)作為檢驗樣本，進(jìn)行模型擬合度的比較。表3是谷氨酸菌體濃度實際觀測值與模型擬合值，采用剩余標(biāo)準(zhǔn)差式(11)作為評價指標(biāo)，表4是5種算法分別對應(yīng)的剩余標(biāo)準(zhǔn)差值。

從模型擬合值和模型剩余標(biāo)準(zhǔn)差的比較結(jié)果可以看出，基于MPSO算法的模型參數(shù)估計精度略高于ANN、SGA、IGA、PSO 算法， 而采用 ANN、SGA、IGA 3種算法也可得到較好的擬合效果。但從5種算法的實施過程來看，MPSO算法簡單，需要調(diào)整的參數(shù)較少，易于編程實現(xiàn)、計算量小，適于在線辨識?？梢妼PSO算法用于非線性模型參數(shù)估計是有效、可行的。

表3 菌體濃度實際值與模型擬合值的比較

表4 5種算法對應(yīng)的模型剩余標(biāo)準(zhǔn)差

本文研究了用改進(jìn)的PSO算法解決非線性模型參數(shù)估辨識問題，并以實例進(jìn)行了驗證。實驗結(jié)果證明了基于改進(jìn)的PSO算法的非線性模型參數(shù)估計是有效、可行的。從而為非線性模型參數(shù)估計問題提供了一種新途徑。

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