Zakharov方程組的一些新精確解

楊立波，盧殿臣

(1.淮陰工學院 數(shù)理學院，江蘇 淮安 223003;2.江蘇大學 非線性科學研究中心，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

0 引言

求解非線性波動方程的精確解在非線性問題的研究中占有重要的地位，直接尋找非線性方程的精確解，一直是數(shù)學家和物理學家的重要研究課題。近幾年來，研究人員對求解非線性發(fā)展方程的精確解提出了許多方法，如齊次平衡法、雙曲函數(shù)法、F－展開法、反散射法、投射的Riccati方程法等，利用這些方法求得了非線性發(fā)展方程的許多豐富的精確解。為了進一步求得非線性波動方程的廣義上的周期解，有人提出了Jacobi橢圓函數(shù)展開法，由于這種方法可借助于計算機代數(shù)系統(tǒng)得以實現(xiàn)，因此得到了廣泛的推廣和應用。然而，尋找新形式的精確解仍是一件非常有意義的工作。

本文在投射的Riccati方程法和Jacobi橢圓函數(shù)展開法的基礎上，構造了4種新的Jacobi橢圓函數(shù)解，并利用該方法求出了Zakhaorv方程組的一系列新的精確解，包括周期解和孤波解，并對解的結構做了分析。

1 擴展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法

對于給定的非線性發(fā)展方程，其一般形式可寫為:

式中的 F 是關于變元 u，ut，ux，utt，txt，uxx，… 的多項式。

其中k和c是非零的待定常數(shù)。

將(2)式代入(1)式，得到關于u(ξ)的常微分方程

設方程式(3)具有如下形式的行波解

其中 a0，ai，bi，ci，di(i=1，2，…，n) 是待定常數(shù)，ξ= ξ(x，t) 是關于 x，t的函數(shù)，正整數(shù) n 的值通過平衡方程(3)中的非線性項和最高階導數(shù)項來確定。F(ξ)，E(ξ)，G(ξ)，H(ξ)的選取本著計算簡單的原則，可從e，f，g，h 中任意選擇，其中

其中 p，r，s是任意常數(shù)，e，f，gh 這 4 個函數(shù)滿足下面的關系:

將(4) 式及(6) 式代入方程(3)，則得到關于 F(ξ)，E(ξ)，G(ξ)，H(ξ) 的多項式方程。令Fi(ξ)Ej(ξ)Gk(ξ)Hs(ξ)(i=0，1，2，…)(j=0，1)(k=0，1)(s=0，1) 的系數(shù)為零，就得到了關于a0，ai，bi，ci，di(i=1，2，…，n)的非線性代數(shù)方程組(NAEs)。利用Mathematica軟件及吳消元法求解該非線性代數(shù)方程組，并將所得的解代入(4)式，即可得到方程(1)的解。

2 Zakharov方程組的精確解

考慮如下形式的Zakharov方程組:

方程組(7)是描寫等離子體的高頻運動或非線性光波的模型，其中u是離子密度偏差，v是電場強度的慢變振幅，cs是電子－離子熱運動速度，α≠0，β≠0，δ≠0，cs為常數(shù)。

對(9)式的第一式直接積分并取積分常數(shù)為零，則得

在(9)式的第二式中取c=2αq，并把(10)式代入(9)式整理后得

平衡方程(11)式中的最高階導數(shù)項和非線性項，得到n=1。因此，方程(11)的解具有如下形式:

將(6)、(12) 代入(11) 收集Fi(ξ)Ei(ξ)Gk(ξ)Hs(ξ)(i=0，1，2，…)(j=0，1)(s=0，1) 的系數(shù)，令它們?yōu)榱?，就得到了關于 k，ω，a0，a1，b1，c1，d1的非線性代數(shù)方程組 NEAs，借助計算機代數(shù)系統(tǒng)求得如下幾組解。

根據(jù)的擴展 Jacobi橢圓函數(shù)展開法，選取 F(ξ)=g，E(ξ)=e，G(ξ)=f，H(ξ)=h。

情況1:當s=0時，得到方程組(7)的解如下:

在上式中當r2=s2時，上式中的解變?yōu)閡4與v4一樣的解。

情況3:當r=0時，得到方程組(7)的解如下:24

3 結果與討論

當m→1時，各解分別退化為如下解:

當孤波的運動速度大于離子聲速，即c＞cs(超聲速)時，有β＞0，δ＞0，此時離子數(shù)密度擾動u取正值，當β＜0，δ＞0時，離子數(shù)密度擾動u取負值。當孤波的運動速度小于離子聲速，即c＜cs(亞聲速)時，有β＞0，δ＞0，此時離子數(shù)密度擾動u取負值，當β＜0，δ＜0，時，離子數(shù)密度擾動u取正值。

圖 1、圖 2 和圖 3 分別給出了解 u2，v2和 u＇2，v＇2、解 u3，v3和 u＇3，v＇3、解 u4，v4和 u＇4，v＇4的對照圖，圖中參數(shù)為 α =1，R=0.1，q=4，Cs=1，t=0(其中取 β =1，圖中各解中均取“+”)，圖1 中 β =－ 1，在圖2和圖3中β=1。

圖1(a) m=0.8解u2(周期解)

圖1(b) m=1解 u2＇(孤波解)

圖1(c) m=0.8解v2的實部(包絡周期解)

圖1(d) m=1 v2＇的實部(包絡孤波解)

圖2(a) m=0.8解u3(周期解)

圖2(b) m=1解u3＇(孤波解)

圖2(c) m=0.8解v3的實部(包絡周期解)

圖2(d) m=1解 v3＇的實部(包絡孤波解)

圖3(a) m=0.1 解 u4(周期解)

圖3(b) m=0 解 u4＇(周期解)

圖3(c) m=0.1解v4的實部(包絡周期解)

圖3(d) m=0解v4＇的實部(包絡周期解)

4 結論

本文運用擴展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法，得到了Zakhaorv方程組的若干新精確解，包括周期解、孤波解。從以上求解中可以看出，在Zakharov方程組描述的系統(tǒng)中，離子數(shù)密度擾動u和電場強度的慢變振幅v存在各種形式的周期波和包絡周期波，這些周期波可退化為孤波。以上求解方法簡單有效，有一定的普遍性，可以應用于一大類非線性方程的求解。

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