非最小相位系統(tǒng)的自適應(yīng)逆控制

楊巧德，張侃健

（東南大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院, 南京 210096）

1 引言

動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的逆模型問題一直是工業(yè)控制策略中重要的組成部分。逆模型的精確程度在一定程度上影響了整個(gè)控制系統(tǒng)的性能，尤其對(duì)于高性能運(yùn)動(dòng)控制，其前向控制器的補(bǔ)償很大程度上依賴于逆模型的結(jié)構(gòu)。

對(duì)于最小相位系統(tǒng)，其逆是穩(wěn)定的因果的，而非最小相位系統(tǒng)因不穩(wěn)定零點(diǎn)的存在，使得系統(tǒng)存在兩種逆，一為因果的但不穩(wěn)定，二為穩(wěn)定但非因果，這在實(shí)際中是無法實(shí)現(xiàn)的。很多文獻(xiàn)對(duì)該系統(tǒng)的逆模型進(jìn)行了討論，文獻(xiàn)[1]針對(duì)SISO對(duì)象的逆模型提出了各種不同的控制算法，包括精確的和近似的逆模型算法，其中零相位誤差跟蹤控制（ZPETC）得到了大量的應(yīng)用。文獻(xiàn)[2]將非最小相位系統(tǒng)的逆問題轉(zhuǎn)化為了H∞范數(shù)優(yōu)化的最優(yōu)模型匹配問題，這類問題的求解大部分要借助于Nevanlinna-Pick插值或者迭代方法。文獻(xiàn)[3]借助于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來直接或間接地辨識(shí)模型的逆。文獻(xiàn)[4]結(jié)合Widrow和Walach提出的自適應(yīng)逆控制的方法，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于模型的辨識(shí)和逆控制。但是這些方法適合于離線的學(xué)習(xí)，當(dāng)模型結(jié)構(gòu)具有不確定性或模型不匹配時(shí)，實(shí)際系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間要比仿真的結(jié)果差，因此，在線學(xué)習(xí)則需要相應(yīng)地改變。

與最小相位系統(tǒng)相比，非最小相位系統(tǒng)的一個(gè)最大特征就是階躍響應(yīng)呈現(xiàn)負(fù)調(diào)或反向響應(yīng)特性。該負(fù)調(diào)是無法避免的，而且在某些系統(tǒng)中是十分不利的，必須對(duì)過大的負(fù)調(diào)加以限制[5]，許多文獻(xiàn)恰恰忽視了這方面的限制[6]。消除負(fù)調(diào)最理想的方法就是零極點(diǎn)對(duì)消，但在實(shí)際中是不可行的，因?yàn)檫@會(huì)使得控制器中含有不穩(wěn)定的極點(diǎn)，從而使得級(jí)聯(lián)的系統(tǒng)具有無界的內(nèi)部信號(hào)，這實(shí)際上使整個(gè)的系統(tǒng)隱藏了不穩(wěn)定部分[7]。雖然非最小相位系統(tǒng)的逆不易獲得，但可以用近似的逆來代替，特別是自適應(yīng)逆控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，使得控制實(shí)現(xiàn)更加容易。

針對(duì)非最小相位系統(tǒng)逆的問題，本文采用N拍帶延遲的FIR濾波器結(jié)構(gòu)近似逆系統(tǒng)，使得逆控制器本身是穩(wěn)定的，又避免了直接的零極點(diǎn)對(duì)消。逆建模時(shí)，首先根據(jù)對(duì)象的先驗(yàn)知識(shí)離線訓(xùn)練對(duì)象的逆模型，然后作為一個(gè)前向控制器，再通過LMS算法在線調(diào)節(jié)控制器中的參數(shù)。離線階段，通過RLS濾波算法最小化模型輸出誤差，得到對(duì)象的近似逆模型；在線階段，通過LMS算法反傳對(duì)象的誤差信號(hào)最小化系統(tǒng)的輸出誤差。仿真發(fā)現(xiàn)，自適應(yīng)逆控制既克服非最小相位的負(fù)調(diào)現(xiàn)象，又使得系統(tǒng)具有較快的響應(yīng)速度。

2 自適應(yīng)逆控制結(jié)構(gòu)及算法

2.1 自適應(yīng)逆控制

自適應(yīng)逆控制是一種基于動(dòng)態(tài)逆概念的設(shè)計(jì)方法，其基本的思想就是把對(duì)象動(dòng)態(tài)特性看成映射，控制器逼近逆映射，使對(duì)象的輸出跟隨指令輸入[8]。它本質(zhì)上屬于開環(huán)控制，利用對(duì)象特性的逆作為控制器，與被控對(duì)象串聯(lián)。與傳統(tǒng)的控制系統(tǒng)相比，自適應(yīng)逆控制最大的優(yōu)點(diǎn)在于被控對(duì)象動(dòng)態(tài)響應(yīng)和消除擾動(dòng)控制可以單獨(dú)設(shè)計(jì)，互不影響，一種控制的最優(yōu)不會(huì)犧牲另一種控制的最優(yōu)。

完整的自適應(yīng)逆控制包括被控對(duì)象的辨識(shí)、逆控制器、擾動(dòng)消除器三部分。對(duì)于自適應(yīng)逆控制來說，它本質(zhì)上是屬于開環(huán)系統(tǒng)，必須對(duì)擾動(dòng)加以抑制，否則擾動(dòng)會(huì)毫無保留地出現(xiàn)在輸出端。與常規(guī)的擾動(dòng)消除不同，常規(guī)的擾動(dòng)消除只需要從外部獲取其參考信號(hào)，用此信號(hào)按前饋濾波來實(shí)現(xiàn)擾動(dòng)消除；自適應(yīng)逆控制中的對(duì)象輸出擾動(dòng)消除則要從對(duì)象輸出中獲得相應(yīng)的擾動(dòng)參考信號(hào)，再用此信號(hào)按反饋濾波并從對(duì)象輸入中減去來實(shí)現(xiàn)。

2.2 自適應(yīng)逆控制系統(tǒng)

對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間的未知對(duì)象，設(shè)傳遞函數(shù)為P( s)，經(jīng)離散化后得到系統(tǒng)的離散模型為：

系統(tǒng)跟蹤的誤差為：

根據(jù)Parserval定理可知：

即

整個(gè)控制系統(tǒng)的目標(biāo)就是使得誤差逼近于0，對(duì)于最小相位系統(tǒng)， C ( z)= 1 P( z)，滿足該準(zhǔn)則。但對(duì)于非最小相位系統(tǒng)，由于零點(diǎn)位于單位圓外，使得系統(tǒng)的逆是不存在的。但是我們通過近似的逆來逼近非最小相位系統(tǒng)中不可逆的部分，目前，常借助于零相位跟蹤誤差控制（ZPETC）、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、IIR或FIR濾波器方法，而DSP中濾波器設(shè)計(jì)方法相對(duì)成熟，實(shí)現(xiàn)更加方便。FIR濾波器只需要選擇合適的參數(shù)和濾波器的階數(shù)就可以使得輸出誤差最小化。本文模型辨識(shí)、逆建模過程均采用自適應(yīng)FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法。

2.3 對(duì)象的正建模

正模型是逆模型的前提，逆模型辨識(shí)的好壞取決于正模型辨識(shí)的結(jié)果。對(duì)于具有先驗(yàn)知識(shí)的系統(tǒng)，為了利用有限的觀測(cè)值來估計(jì)未知的參數(shù)，采用遞推加權(quán)最小二乘算法。

由（1）式可知系統(tǒng)的輸出為

向量θ代表對(duì)象未知的參數(shù)，向量φ是由濾波器的輸入輸出信號(hào)構(gòu)成的。遞歸加權(quán)最小二乘算法(RWLS）算法如下：

2.4 逆建模

逆模型的建立是以正模型為基礎(chǔ)，圖1為對(duì)象的離線情況下逆建模結(jié)構(gòu)圖，其中包括穩(wěn)定對(duì)象和不穩(wěn)定對(duì)象的情況。

自適應(yīng)逆控制的前提是要保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則，必須采用傳統(tǒng)的反饋控制方法來鎮(zhèn)定系統(tǒng)，控制結(jié)構(gòu)如圖1a所示。只有滿足穩(wěn)定的條件，才能保證自適應(yīng)算法在不同的環(huán)境下是平穩(wěn)收斂的。

對(duì)于非最小相位系統(tǒng)而言，對(duì)象的逆是不穩(wěn)定的或非因果的。依據(jù)Shannon-Bode法，采用FIR濾波器構(gòu)造近似逆模型是容易實(shí)現(xiàn)的，但有時(shí)候均方差誤差會(huì)很大，若在控制系統(tǒng)中加入適當(dāng)?shù)难舆t環(huán)節(jié)，可以降低最小均方誤差。本文采用遞推最小二乘的算法構(gòu)造FIR濾波器實(shí)現(xiàn)非最小相位系統(tǒng)最優(yōu)的延遲逆模型。

圖1

3 對(duì)象逆模型的在線調(diào)整

離線建模時(shí)，逆模型對(duì)正模型的誤差非常敏感，使得逆控制的效果有限。而在線調(diào)整可以解決兩個(gè)問題：（1）單純的FIR可能造成大的跟蹤誤差，（2）當(dāng)系統(tǒng)隨時(shí)間改變時(shí)，F(xiàn)IR濾波器的性能會(huì)降低[9]。為了提高收斂速度和獲得好的動(dòng)態(tài)性能，可采用LMS算法，以離線建模所得濾波器權(quán)值作為在線求逆控制器的初值，或者把LMS的輸出作為控制量輸入的一部分，最終可獲得較為精確的逆模型，如圖2所示。

圖2 逆模型的在線調(diào)整

下面給出在線調(diào)整算法可行性的證明。

對(duì)于SISO系統(tǒng)y=Pu

輸出完全跟蹤輸出時(shí)，存在最優(yōu)的*w使得，

令α=Pr，離散化后得到：

最小均方(LMS)算法是一種隨機(jī)梯度算法，滿足了在線更新的要求。它每次迭代時(shí)權(quán)矢量沿誤差性能曲面的梯度估值的負(fù)方向更新，不需要計(jì)算有關(guān)的相關(guān)函數(shù)、矩陣求逆。簡(jiǎn)單易用，已在自適應(yīng)濾波、自適應(yīng)逆控制中得到了非常廣泛的應(yīng)用。

圖3 自適應(yīng)線性組合器

4 仿真實(shí)例

水輪發(fā)電機(jī)組系統(tǒng)是典型的非最小相位系統(tǒng)之一，該對(duì)象一直是控制中常用的控制模型[10]。該系統(tǒng)主要包括引水系統(tǒng)、水輪機(jī)、執(zhí)行機(jī)構(gòu)、電網(wǎng)（負(fù)荷）等幾部分，圖4為水輪機(jī)控制系統(tǒng)圖，Mt是水輪機(jī)力矩，Qt為流量，H為水頭，而水輪機(jī)的模型為：

圖4 水輪機(jī)控制系統(tǒng)

考慮壓力引水系統(tǒng)、發(fā)電機(jī)、負(fù)載及電液隨動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，將系統(tǒng)進(jìn)行線性化處理，得到如圖5所示的線性化方框圖，將圖5化簡(jiǎn)得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為（mg= 0 ）:

水輪機(jī)系統(tǒng)在某一實(shí)際工況下的參數(shù)[10]為：

圖5 水輪機(jī)線性化控制方塊圖

FIR濾波器采用128抽頭的結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)的離散時(shí)間取為0.01s，采用白噪聲作為輸入，對(duì)象辨識(shí)的仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 對(duì)象辨識(shí)結(jié)果

圖7 自適應(yīng)逆控制仿真

圖8 逆模型中估計(jì)權(quán)值的輸出

圖9 輸入信號(hào)為方波時(shí)系統(tǒng)的輸出

圖7是系統(tǒng)在階躍信號(hào)下的輸出結(jié)果，圖8則為系統(tǒng)逆建模過程中RLS濾波器的估計(jì)權(quán)值。圖9為系統(tǒng)在跟蹤方波信號(hào)的輸出圖形?？梢钥闯?，系統(tǒng)能在很短時(shí)間內(nèi)快速地跟蹤輸入信號(hào)，有較好的動(dòng)態(tài)性能。

5 結(jié)論

本文針對(duì)非最小相位系統(tǒng)的特點(diǎn)，采用了自適應(yīng)逆控制的方法，先通過FIR濾波器離線構(gòu)造系統(tǒng)近似逆模型，再結(jié)合自適應(yīng)LMS算法實(shí)施在線調(diào)整，而在線調(diào)整算法的加入使系統(tǒng)具備了一定的自適應(yīng)和魯棒性。仿真發(fā)現(xiàn)，該方法不僅解決了非最小相位系統(tǒng)的負(fù)調(diào)與調(diào)節(jié)時(shí)間耦合的問題，而且還使系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)性能。

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