常用分布分位數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用

孫祝嶺

（上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200240）

0 引言

我們知道t分布、2χ分布、F分布和正態(tài)分布是統(tǒng)計分析中的幾種最常用分布，這些分布的分位數(shù)是統(tǒng)計分析的重要工具。然而，這些分布的分位數(shù)通常是要通過查表來獲得。

最近，有文獻[1]和[2]給出了有著重要應(yīng)用價值的一些結(jié)果。其一，給出了正態(tài)分布變異系數(shù)的精確區(qū)間估計方法，它有多方面的應(yīng)用，如可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)可靠性的設(shè)計與估計，抽樣檢驗方案的確定，質(zhì)量穩(wěn)定性的評定等；其二，給出了分布自由時環(huán)境因子的置信估計方法。

環(huán)境因子在可靠性工程上有著重要應(yīng)用。在可靠性評定、驗收中，經(jīng)常要遇到不同環(huán)境下試驗數(shù)據(jù)的折算與綜合問題，如涉及航空航天產(chǎn)品的可靠性數(shù)據(jù)常常因為少得可憐而難以做出有效的可靠性分析，若能把其他環(huán)境下的可靠性數(shù)據(jù)折算為所考察的環(huán)境下的數(shù)據(jù)與已有少量數(shù)據(jù)加以綜合，則無疑會有助于提高可靠性分析的效果。這類問題的解決就是取決于環(huán)境因子的確定。另外，在可靠性預(yù)測、分配等工作中也離不開環(huán)境因子。

上述兩個結(jié)果中分別含有自由度是1的2χ分布、F分布的分位數(shù)。一般書中的有關(guān)分位數(shù)表對于每個自由度僅給出了為數(shù)不多的分位數(shù)值，在這些值外就查不到了。為便于應(yīng)用，本文探討了分布t(1)、χ2(1)、F(1,1)和N(0,1)分位數(shù)的關(guān)系及計算方法；給出了分布N(0,1)分位數(shù)的一個新的簡單有效的計算公式，為統(tǒng)計分析提供了一個新工具。

1 分布 t(1)、χ2(1)、F(1,1)和 N(0,1)分位數(shù)的關(guān)系及計算

1.1 先推導(dǎo)分布t (1)和F(1,1)分位數(shù)之間的關(guān)系

設(shè)X～t(1)，則Y=X2～F(1,1)。

下面推導(dǎo)分位數(shù)Fα( 1 , 1)的表達(dá)式。

自由度為(1,1)的F分布F(1,1)的密度函數(shù)為

1.2 其次推導(dǎo)分布χ2(1)和N(0,1)分位數(shù)之間的關(guān)系

設(shè)ξ～N(0,1)，則η=ξ2～χ2(1)，

注：類似于1.1節(jié)和1.2節(jié)中的結(jié)論，在文獻[3]和[4]中有所涉及；但討論的目標(biāo)、方法、結(jié)果形式卻不完全相同。

1.3 再給出分布t(1)和N(0,1)分位數(shù)之間的關(guān)系

應(yīng)用常用的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值表與t分布分位數(shù)表自由度為1的數(shù)據(jù)，應(yīng)用Excel軟件，建立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下側(cè)分位數(shù)z1-α關(guān)于自由度為1的t分布t(1)上側(cè)分位數(shù)tα(1)的回歸方程，見下面定理1。此回歸方程的判定系數(shù)為：R2=0.999 97；整體性檢驗的F統(tǒng)計量的值為：149 862.9；各回歸參數(shù)局部性的檢驗p值依次為：0.004 015，0.000 651，5.61×10-6。從這些數(shù)據(jù)可知方程高度有效。

定理 1: 分布t(1) 上側(cè)分位數(shù)tα(1)與分布N(0,1)下側(cè)分位數(shù)z1-α滿足下列等式：

這個定理為建立分布t(1)、χ2(1)、F(1,1)和N(0,1)的分位數(shù)之間的聯(lián)系起到了“橋梁”式的作用。

用tα(1) = cot(πα)代入，就可得到得下面的結(jié)果。

定理2: 分布N(0,1)分位數(shù)的一個計算公式為：

我們知道在可靠性統(tǒng)計分析中涉及分位數(shù)的α通常接近于 0或 1，當(dāng)接近于 1時，可用zα=z1-α計算。

本公式的計算誤差如何？將在下一節(jié)加以說明。

定理3的結(jié)果由1.2節(jié)中的結(jié)果結(jié)合應(yīng)用定理2即可得到。

2 數(shù)值比較

下面用列表形式給出分別用查表和定理 2計算得到的一些標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)數(shù)值（見表1）。

表1 查表和計算得到的正態(tài)分布分位數(shù)數(shù)值比較Table 1 Comparison of the two quartile values between lookup table and calculation

由表1結(jié)果顯示，此法可應(yīng)用于可靠性統(tǒng)計分析實踐。與已有的、公認(rèn)為較好的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位數(shù)的近似計算公式相比較，本文提出的新的近似計算公式雖然誤差大了一些，但計算卻更為簡便，只需要用小計算器依次算就可獲得結(jié)果。另外，本文提出的應(yīng)用回歸分析方法來處理分位數(shù)關(guān)系的方法，也為其他分位數(shù)關(guān)系和計算的進一步研究提供了新途徑，具有借鑒意義。

3 應(yīng)用舉例

例：某航天產(chǎn)品配件的結(jié)構(gòu)強度可認(rèn)為服從正態(tài)分布，今從產(chǎn)品中隨機抽取8件檢查其強度，得數(shù)據(jù)如下：11.9、9.9、8.7、12.2、9.0、10.1、11.0、10.6，試求該產(chǎn)品配件的結(jié)構(gòu)強度的變差系數(shù)CV置信水平為93%的置信上限。

解：文獻[1]給出了當(dāng)樣本容量n=2k(偶數(shù))時，計算正態(tài)變差系數(shù)CV置信水平為1-α的置信上限公式：

4 結(jié)論

本文給出了分布t(1)、χ2(1)、F(1,1)和N(0,1)的分位數(shù)之間的關(guān)系及一些簡單易用的計算公式，使原從表上直接查不到的一些結(jié)果可以通過間接查表方法得到；而有的原要查表的可以不用查表直接計算得到。因此，為文獻[1]、[2]等研究成果的應(yīng)用提供了方便。

（References）

[1]孫祝嶺.正態(tài)分布變差系數(shù)的置信區(qū)間[J].兵工學(xué)報,2009, 30(7)： 911-914

[2]孫祝嶺.環(huán)境因子的非參數(shù)置信限[J].航天控制, 2009,27(5)： 102-105

[3]高惠璇.統(tǒng)計計算[M].北京大學(xué)出版社, 1995

[4]肖云茹.概率統(tǒng)計計算方法[M].天津： 南開大學(xué)出版社, 1994

[5]孫祝嶺, 徐曉嶺.數(shù)理統(tǒng)計[M].北京： 高等教育出版社, 2009