自適應(yīng)非線性小波在灰度級(jí)圖像去噪中的應(yīng)用

胡 欣，張利軍

（1.長(zhǎng)安大學(xué) 電控學(xué)院，陜西 西安 710064；2.長(zhǎng)城鉆探測(cè)井公司 國際業(yè)務(wù)項(xiàng)目部，北京 100101）

1 引言

灰度級(jí)圖像的信噪比低、邊緣模糊、局部空間相關(guān)性較強(qiáng)，使灰度圖像難以從單一的方法中獲得滿意的去噪效果，目標(biāo)局部失真度與圖像去噪效果不能達(dá)到統(tǒng)一。作為信號(hào)處理領(lǐng)域中的一種重要去噪方法，小波變換去相關(guān)特性在很大程度上可去除掉圖像像素直接相關(guān)性，局部時(shí)頻特性可在小波域維持圖像局部幾何特性，近年來在圖像去噪領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用。然而線性小波變換難以描述圖像非線性特征。2000年，Heijmans推出了小波與數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)理論相結(jié)合的形態(tài)小波變換，在提升小波框架下提出了非線性小波變換[1-2]，將線性小波變換推廣到非線性領(lǐng)域，從而獲得對(duì)圖像邊緣和細(xì)節(jié)較好的保持作用。

線性提升小波構(gòu)造出的小波基是平滑尺度函數(shù)和小波函數(shù)[3]，對(duì)抑制高斯白噪聲較為有效，但圖像的失真度大。非線性小波對(duì)細(xì)節(jié)特征的破壞小，但對(duì)高斯白噪聲的抑制效果差。單一的線性或非線性小波最大的缺點(diǎn)是對(duì)所有像素均采用統(tǒng)一的處理方法，為了獲得更好的濾波器性能，將線性與非線性自適應(yīng)地結(jié)合，利用圖像局部特征自適應(yīng)地選擇更新算子U和預(yù)測(cè)算子P，從而使更新算子或預(yù)測(cè)算子與圖像數(shù)據(jù)相關(guān)，得到噪聲抑制效果好而目標(biāo)細(xì)節(jié)保留完整的圖像濾波。

筆者在二代小波提升框架下提出一種自適應(yīng)算法,利用圖像的局部特征自適應(yīng)地選擇小波算子，希望在濾除噪聲的同時(shí)不過多地平滑掉細(xì)節(jié)信息[4]，通過將線性小波和非線性小波自適應(yīng)相結(jié)合，有效實(shí)現(xiàn)了線性小波對(duì)高斯白噪聲的去除，形態(tài)小波對(duì)目標(biāo)細(xì)節(jié)的保留。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文方法能有效去除圖像的高斯白噪聲，減小目標(biāo)的失真度。

2 形態(tài)小波

形態(tài)小波兼顧數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的形態(tài)濾波特性與小波變換的多分辨力特性，是將小波變換和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)算子相結(jié)合的一種非線性小波變換，具有更好的細(xì)節(jié)保留特性。形態(tài)小波中的分析和合成算子需要滿足小波變換的一些特性（正交性等），然而算子的選擇已不再局限于線性小波算子，而擴(kuò)展到形態(tài)算子。

在二代小波提升框架下，設(shè)集合Vj和Wj表示第j級(jí)信號(hào)空間和第j級(jí)細(xì)節(jié)空間，存在信號(hào)分析算子和細(xì)節(jié)分析算子，存在信號(hào)合成算子輸入信號(hào) x0∈V0通過分析過程分解為

其中

原始信號(hào)x0∈V0通過合成過程精確重建：

提升小波先預(yù)測(cè)后更新的結(jié)構(gòu)由式（3），（4）構(gòu)成，預(yù)測(cè)－更新提升框架的分析、綜合算子為

信號(hào)x1′和y1′對(duì)原始信號(hào)x0的重構(gòu)表示為

在形態(tài)提升小波變換中對(duì)原始信號(hào)x實(shí)現(xiàn)lazy變換，有

將線性小波中的線性算子用非線性形態(tài)算子代替，可構(gòu)成一類非線性形態(tài)小波。與線性濾波器加權(quán)平均的模糊模型會(huì)造成嚴(yán)重的細(xì)節(jié)損失不同，數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)擯棄了傳統(tǒng)的數(shù)值建模及分析的觀點(diǎn)，是作用于物體形狀的非線性算子的代數(shù)，以上確界 <和下確界 >為基本運(yùn)算，能夠更好地保留圖像的細(xì)節(jié)部分，則一維形態(tài)Haar小波取

一維形態(tài)Haar小波變換分析算子表示為

一維形態(tài)Haar小波的重構(gòu)運(yùn)算可表示為

3 自適應(yīng)提升小波

提升結(jié)構(gòu)是由Sweldens提出的，其中算子P和U都是固定不變的，使實(shí)際應(yīng)用這種結(jié)構(gòu)存在局限性。自適應(yīng)提升小波變換是根據(jù)信號(hào)的局部特性來自適應(yīng)選擇預(yù)測(cè)算子P或者更新算子U，從而得到令人滿意的處理效果。

3.1 自適應(yīng)提升框架

自適應(yīng)提升框架是由Piella G，Heijmans提出的[5]，本文使用如圖1所示的自適應(yīng)提升框架。

自適應(yīng)提升框架引入決策參數(shù)d控制算子的選取，根據(jù)信號(hào)的局部特征自適應(yīng)選取線性和非線性算法，使在側(cè)重保留細(xì)節(jié)時(shí)使用非線性形態(tài)小波，在側(cè)重去除噪聲時(shí)使用線性小波，最優(yōu)地獲取線性小波和非線性小波在圖像處理中各自的優(yōu)點(diǎn)，獲得比線性小波和非線性小波更好的結(jié)果。由于提升框架是可逆的，自適應(yīng)變換能夠完全重建信號(hào)。

3.2 決策信號(hào)

定義梯度向量 v（n）=（v1（n），…，vN（n））T∈RN，vj（n）=x（n）-y（n+j），j=-K，…，0，…，N。

二次型半賦范表示為

根據(jù)梯度向量本文選取二值函數(shù)形式的決策參數(shù)

式中：v（n）為梯度向量，p為半范數(shù)，T>0為閾值。同時(shí)式（12）可寫為

若P為真，則[P]=1，否則為0。

4 自適應(yīng)非線性小波的應(yīng)用

一維信號(hào)中自適應(yīng)選取小波算法1和小波算法2可實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)非線性小波變換。首先實(shí)現(xiàn)lazy分解，獲取x（n），y（n），計(jì)算 dn=D（x，y）（n）=[p（v（n））>T]；當(dāng) dn=1 時(shí)，采用小波算法1，否則采用小波算法2；得到近似系數(shù)x（n）和小波系數(shù) y（n）后，利用閾值來提取疑似目標(biāo)區(qū)域；重構(gòu)運(yùn)算得到信號(hào)去噪結(jié)果。

在自適應(yīng)提升框架下，筆者提出一種自適應(yīng)線性小波和非線性小波的提升方法，使在圖像去噪過程中獲得好的去噪效果同時(shí)，不會(huì)過多地破壞目標(biāo)邊緣和細(xì)節(jié)特性。為了驗(yàn)證這種自適應(yīng)非線性小波算法的有效性和實(shí)用性，分別在一維信號(hào)和二維圖像中進(jìn)行仿真。

4.1 自適應(yīng)算法在一維信號(hào)去噪中的應(yīng)用

圖2為自適應(yīng)提升小波算法對(duì)信號(hào)的一維去噪結(jié)果，圖2a為不含噪的原始信號(hào)，圖2b為噪聲方差為20的含噪信號(hào)，圖2c為Haar小波的去噪結(jié)果，圖2d為db7小波的去噪結(jié)果，圖2e為形態(tài)Haar小波的去噪結(jié)果，圖2f為自適應(yīng)算法的去噪結(jié)果，其中自適應(yīng)算法中算法1取形態(tài)Haar小波，算法2取Haar小波。

圖2c和圖2d使用線性小波都不能完全刻畫出信號(hào)的細(xì)節(jié)部分，而且db7小波的平滑作用使信號(hào)失真。形態(tài)Haar小波對(duì)目標(biāo)細(xì)節(jié)的刻畫更加準(zhǔn)確，但對(duì)噪聲的去除不理想。本文提出的自適應(yīng)形態(tài)小波利用自適應(yīng)參數(shù)，在噪聲處利用Haar小波去除高斯白噪聲的能力，在目標(biāo)處利用形態(tài)Haar小波保留細(xì)節(jié)的能力，如圖2f所示，結(jié)合了兩種算法的優(yōu)點(diǎn)達(dá)到了更好的去噪效果，證明本文提出的自適應(yīng)形態(tài)小波算法是可行的和有效的。

4.2 自適應(yīng)算法在二維灰度級(jí)圖像去噪中的應(yīng)用

利用二維可分離小波變換，將自適應(yīng)小波分析在一維所具有的優(yōu)異特性推廣到二維或更高維，可分離的自適應(yīng)提升小波在灰度圖像的去噪算法：

1）分別對(duì)圖像的每行信號(hào)實(shí)現(xiàn)一維自適應(yīng)小波變換；分別對(duì)變換后圖像的每列信號(hào)實(shí)現(xiàn)一維自適應(yīng)小波變換。

2）使用閾值對(duì)系數(shù)進(jìn)行閾值處理，提取圖像中疑似目標(biāo)區(qū)域。

3）經(jīng)過重構(gòu)運(yùn)算后，得到圖像去噪結(jié)果。

考慮到算法的實(shí)時(shí)性和有效性，本文提出了一種自適應(yīng)算法：小波算法1取形態(tài)Haar提升小波，小波算法2取bior2.2提升小波。選取實(shí)驗(yàn)的灰度圖像長(zhǎng)度為200幀，每幀大小為 128×128，圖像灰度級(jí)是 0～255，實(shí)驗(yàn)采用Matlab 7.0.4為軟件平臺(tái)， 閾值 T=Kδ=Kmedian/0.6745，δ為噪聲估計(jì)方差，ωj，k為原始圖像小波變換的小波系數(shù)，本文選取文獻(xiàn)[6]提出的閾值T=Kδ，取K=3。圖3為灰度圖像序列的去噪結(jié)果。

5 仿真結(jié)果及分析

為了說明濾波方法的有效性，引入了信噪比增益和峰值信噪比2個(gè)參量來評(píng)判濾波質(zhì)量。信噪比增益（SNR Gain）定義為

式中：（SNR）out是背景抑制后的輸出圖像信噪比，（SNR）in是輸入圖像信噪比。峰值信噪比（PSNR）基于圖像像素灰度值進(jìn)行統(tǒng)計(jì)和平均計(jì)算，是常用的衡量信號(hào)失真的指標(biāo)。盡管對(duì)部分圖像或視頻質(zhì)量評(píng)價(jià)時(shí)可能與主觀感知的質(zhì)量產(chǎn)生較大的偏差，但PSNR對(duì)于多數(shù)圖像質(zhì)量仍是有效的[7]，定義為

式中：f（i，j）為不含噪圖像，f＾（i，j）為去噪后的圖像，圖像大小為M×N。

為了分別對(duì)目標(biāo)的局部處理性能進(jìn)行比較，筆者提出一種新的性能指標(biāo)參量，稱為目標(biāo)局部峰值信噪比（TPSNR）。TPSNR不同于PSNR，只對(duì)目標(biāo)所在區(qū)域的峰值信噪比進(jìn)行計(jì)算，是僅衡量信號(hào)中目標(biāo)信息失真的指標(biāo)，通過這樣的指標(biāo)能夠直觀地比較出圖像中目標(biāo)信息的變化，定義為

式中：fT（i）為不含噪信號(hào)的目標(biāo)區(qū)域，為去噪后信號(hào)的目標(biāo)區(qū)域，信號(hào)中目標(biāo)區(qū)域大小為NT。

分別使用db7、形態(tài)Haar和本文的自適應(yīng)算法對(duì)3組不同的序列實(shí)現(xiàn)去噪處理后，表1為去噪圖像的GSNR和TPSNR參數(shù)比較。本文提出的自適應(yīng)形態(tài)小波在GSNR上優(yōu)于形態(tài)Haar小波，在TPSNR上優(yōu)于db7小波。說明本文算法很好地結(jié)合了線性小波和非線性的優(yōu)勢(shì)，是一種較好的圖像去噪方法。

表1 不同提升小波的性能比較

6 小結(jié)

在自適應(yīng)非線性提升框架下，提出自適應(yīng)非線性提升小波的灰度圖像去噪方法，將線性小波和非線性小波自適應(yīng)地結(jié)合起來，有效實(shí)現(xiàn)了線性小波對(duì)高斯白噪聲的去除，形態(tài)小波對(duì)目標(biāo)細(xì)節(jié)的保留，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的方法能有效去除圖像的高斯白噪聲，突顯圖像中的弱小目標(biāo)。

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