基于構(gòu)型演變和李群理論的2T2R型四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合

范彩霞 劉宏昭 張彥斌

1.西安理工大學(xué),西安,710048 2.焦作大學(xué),焦作,454150 3.河南科技大學(xué),洛陽,471003

0 引言

少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)是指自由度數(shù)為2～5的并聯(lián)機(jī)構(gòu),適用于不完全需要六自由度的工作場合。除具有六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)外,少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)還具有結(jié)構(gòu)簡單、設(shè)計(jì)制造成本低、控制容易等特點(diǎn)。因此,近十幾年來,少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)一直是國際機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)之一。

在少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中,對具有2個移動和2個轉(zhuǎn)動的2T2R型四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的研究相對較少,而2T2R型四自由度機(jī)構(gòu)可直接作為四軸并聯(lián)機(jī)床的原型,或者再串聯(lián)一個自由度后可作為五軸混聯(lián)機(jī)床或機(jī)器人的原型,也可開發(fā)為航海中船舶的減振裝置[1]、農(nóng)作物收獲機(jī)上的振動篩[2]等,使空間2T2R型四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)有著廣泛的應(yīng)用前景。

Li等[3]用約束螺旋法綜合出一類對稱2T2R型四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu);楊廷力[4]用單開鏈單元法綜合了一類2T2R型四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu);文獻(xiàn)[5-6]提出了一種2T2R型并聯(lián)機(jī)構(gòu),并通過增加一個移動自由度開發(fā)了五軸聯(lián)動并聯(lián)機(jī)床;陳文家等[7]提出了2PRS-2PUS并聯(lián)機(jī)構(gòu),Liu等[8-9]對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行了工作空間等性能分析;汪勁松等[10]提出了幾種2T2R型四軸并聯(lián)機(jī)床結(jié)構(gòu);傘紅軍等[11]提出了2-TPR/2-TPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

本文基于構(gòu)型演變和李群理論,提出一類2T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合的系統(tǒng)方法。從一個6R平面機(jī)構(gòu)入手,將其中一個構(gòu)件看作動平臺,通過改變運(yùn)動副,添加支鏈,演變成為空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)2RRU-2SPS;然后基于李群理論找出等效支鏈,綜合出一類2T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 構(gòu)型演變

構(gòu)型演變[12]是并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合最直觀、工程上最實(shí)用的方法。構(gòu)型演變法發(fā)明新機(jī)構(gòu)的基本思路是：以現(xiàn)成成功機(jī)構(gòu)的原形為藍(lán)本,通過各種不同的演化方法,如改變支鏈數(shù)目,改變支鏈中主動副的數(shù)目和類型,變換機(jī)架以及機(jī)架的布局形式等,得到滿足特定需求的新機(jī)構(gòu)。

傳統(tǒng)的構(gòu)型演變原則是,演變后的機(jī)構(gòu)自由度不發(fā)生變化。本文中的構(gòu)型演變原則是,將一個平面機(jī)構(gòu)演變成一個空間機(jī)構(gòu),動平臺增加了一個轉(zhuǎn)動自由度。演變方法是,將與平面機(jī)構(gòu)輸出構(gòu)件相連的兩個R副改變?yōu)閁副或S副,并改變輸出構(gòu)件形狀,添加支鏈。

1.2 李群理論

根據(jù)群論,剛體在空間所有運(yùn)動的集合D是李群,又稱為位移群,則剛體在空間的大多數(shù)運(yùn)動可以用D的子群表示,又稱為位移子群。Herve[13]基于位移群的代數(shù)結(jié)構(gòu)給運(yùn)動鏈進(jìn)行了分類,給出了全部12種位移子群,其中6種低副即轉(zhuǎn)動副、移動副、螺旋副、圓柱副、球面副和平面副產(chǎn)生的位移集都是位移子群。

分支運(yùn)動鏈末端相對于固定端的運(yùn)動由所有低副生成的位移子群的乘積決定,這些位移子群的乘積可能仍然是位移子群,也可能是一個位移流形。

三維位移子群G(w)[14]表示法線為w的平面運(yùn)動,即在垂直于w的平面內(nèi)的2個移動和繞w的一個轉(zhuǎn)動,根據(jù)位移子群乘積的封閉性和交換性,可得到G(w)的位移子群鏈和對應(yīng)的運(yùn)動鏈,如表1所示。表 1中,u、v、w表示正交的單位矢量,如vPwRwR表示2個R副軸線都平行于w,P副移動方向平行于v,2個R副軸線和P副移動方向垂直。

表1 G(w)的運(yùn)動鏈

2 2T2R并聯(lián)機(jī)構(gòu)型綜合

2.1 原機(jī)構(gòu)分析

本文提出的2T2R空間并聯(lián)機(jī)構(gòu)是由一個三自由度平面機(jī)構(gòu)增加一個轉(zhuǎn)動自由度演變而來的,所以選擇能產(chǎn)生2T1R平面運(yùn)動的平面機(jī)構(gòu)作為原機(jī)構(gòu)。本文選擇一個6R平面機(jī)構(gòu),如圖1所示,選取OXYZ為固定坐標(biāo)系。

圖1 平面6R機(jī)構(gòu)

如果選取圖1所示機(jī)構(gòu)的構(gòu)件3作為輸出構(gòu)件[15],則該機(jī)構(gòu)就可看作具有2條對稱支鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu),2條支鏈分別為{-R1//R2//R3-}和{-R4//R5//R6-}。顯然,構(gòu)件3具有3個自由度,即沿X方向的移動、沿Y方向的移動、繞Z方向的轉(zhuǎn)動。因此,選擇輸出運(yùn)動為2T1R平面運(yùn)動的構(gòu)件作為動平臺。

2.2 構(gòu)型演變

(1)把構(gòu)件3的兩端換成U副。將圖1中的構(gòu)件3的兩端換成U副,即R3換成U3,R4換成U4,U3副的一個軸線和原R3軸線同軸,另一個軸線和原R3軸線垂直,即沿構(gòu)件3的軸線方向;U4副的一個軸線和原R4軸線同軸,另一個軸線和原R4軸線垂直,即沿構(gòu)件3的軸線方向。顯然,由于U3的一個軸線和U4的一個軸線共軸且沿構(gòu)件3的軸線方向,所以構(gòu)件3多了一個局部轉(zhuǎn)動自由度,如圖2所示。

圖2 構(gòu)件3具有U副

(2)將構(gòu)件3擴(kuò)展成為一個平面,用一個長方形板表示,如圖3所示,這個動平臺就多了一個轉(zhuǎn)動,具有2T2R型4個自由度,即沿X方向的移動、沿Y方向的移動、繞Z方向的轉(zhuǎn)動和繞U 3 U4方向的轉(zhuǎn)動。

圖3 構(gòu)件3擴(kuò)展為平面

(3)選用2個具有六自由度的運(yùn)動鏈作為第三、第四支鏈,附加在長方形板上并將其支撐起來,支鏈的另一端與長方形靜平臺相連,圖3中選用了常見的SPS支鏈作為第三、第四支鏈,由于自由度等于6的運(yùn)動鏈為無約束支鏈[12],不對動平臺產(chǎn)生約束,所以動平臺的自由度不會發(fā)生改變,即得到2T2R型四自由度的新機(jī)構(gòu)R1 R2 U 3-R6 R5 U 4-S7P8S9-S10P11S12,如圖4所示。

圖4 R1R2 U3-R6 R5 U4-S7 P8 S9-S10 P11 S12機(jī)構(gòu)

2.3 綜合等效支鏈

上面所得到的2RRU-2SPS機(jī)構(gòu)具有4個支鏈,分析各支鏈,運(yùn)用李群理論找出等效運(yùn)動鏈。由于第一支鏈和第二支鏈結(jié)構(gòu)完全相同,第三支鏈和第四支鏈完全相同,所以只需要分析第一支鏈和第三支鏈。

第一支鏈{-R1//R2//U3-}的等效支鏈：

(1)原機(jī)構(gòu)中的{-R1//R2//R3-}的等效支鏈。支鏈{-R1//R2//U3-}是由原機(jī)構(gòu)中的{-R1//R2//R3-}演變而來的,而{-R1//R2//R3-}具有一個平面運(yùn)動,即在OXY平面內(nèi)的沿X、Y方向移動和繞Z的轉(zhuǎn)動。因此,原機(jī)構(gòu)中{-R1//R2//R3-}的等效支鏈必須具有平面運(yùn)動。根據(jù)李群理論,具有平面運(yùn)動的位移子群G(w)所對應(yīng)的運(yùn)動鏈有wRwRwR 、vPwRwR 、wRvPwR 、wRwRvP 、uPvPwR、uPwRvP、wRuPvP,見表1。并且上述運(yùn)動鏈的末端只有是R副,才能在演變時被替換成U副。所以原機(jī)構(gòu)中的{-R1//R2//R3-}的等效支鏈為可實(shí)現(xiàn)平面運(yùn)動并且第三個運(yùn)動副是 R副的運(yùn)動鏈,有wRwRwR 、vPwRwR 、wRvPwR 、uPvPwR 。

(2){-R1//R2//U3-}的等效支鏈。如果原機(jī)構(gòu)中構(gòu)件3(圖2)兩端用S副代替U副,構(gòu)件3也會具有一個局部自由度,再附加無約束運(yùn)動鏈為第三、第四支鏈,這個局部自由度也會轉(zhuǎn)化為動平臺的一個有效自由度,和使用U副效果類似。因此,該支鏈的第3個運(yùn)動副為S副或U副。所以,wRwRwR、vPwRwR、wRvPwR、uPvPwR 的第三個運(yùn)動副被替換為 U副或者S副后,得出8種支鏈,再將其中的P副用平行四邊形4R閉環(huán)代替,用Pa表示,又得出6種支鏈,結(jié)果如表2所示。表2中,Pa為平行四邊形4R閉環(huán),{-P(3S-2P)-P(3S-2P)-R(3S-2P)-S-}支鏈中的-P(3S-2P)-P(3S-2P)-R(3S-2P)-為3S-2P閉環(huán)的等效單開鏈,其他類似。

表2 2T2R機(jī)構(gòu)等效支鏈

第三支鏈SPS的等效支鏈：

第三支鏈具備6個自由度,為無約束支鏈,無約束支鏈可由單開鏈法、約束螺旋法、李群理論來產(chǎn)生,本文參考了文獻(xiàn)[4,12],選用了常見的支鏈 ：SPS、PSS 、RSS 、PUS 、UPS 、RUS 、RRRRRR、RRRRRP、RRRRPP、RRRPPP,含有閉環(huán)的支鏈有{-P(3S-2P)-P(3S-2P)-R(3S-2P)-S-}、{-P(3S-2R)-P(3S-2R)-R(3S-2R)-S-}、{-P-P(3R-2P)-P(3R-2P)-S-}、{-R(3S-2P)-P(3S-2P)-P(3S-2P)-S-}、{-R(3S-2R)-P(3S-2R)-P(3S-2R)-S-}[4],如表2所示。

2.4 構(gòu)造2T2R機(jī)構(gòu)

2.4.1 選取支鏈

從表2中,選出4個支鏈：第一、第二支鏈的等效支鏈中任意選2個,第三、第四支鏈的等效支鏈中任意選2個?？傻贸鲞@4種情況：第一、第二支鏈相同,且第三、第四支鏈相同的有14×15=210種機(jī)構(gòu),如 2RPU-2SPS;第一、第二支鏈相同,且第三、第四支鏈不同的有14C215=1470種機(jī)構(gòu),如2RPU-SPS-UPS;第一、第二支鏈不同,且第三、第四支鏈相同的有15C214=1365種機(jī)構(gòu),如RPU-RPS-2SPS;第一、第二支鏈不同,且第三、第四支鏈不同的有=9555種機(jī)構(gòu),如 RRURRS-SPS-UPS。

2.4.2 配置支鏈

在支鏈裝配時,為達(dá)到期望的自由度,配置支鏈的原則是,由原6R機(jī)構(gòu)演變而來的2條支鏈要共面并且各轉(zhuǎn)動副互相平行且垂直于該面。

對于支鏈選取的4種情況中,前3種情況的機(jī)構(gòu)中都有相同的支鏈。對于有相同支鏈的機(jī)構(gòu),相同支鏈可以采取相鄰分布和對角分布兩種配置形式,理論上可以得出210×2+1470×2+1365×2+9555=15 645種 2T2R型四自由度機(jī)構(gòu)。

在這些機(jī)構(gòu)中,第一、第二支鏈相同、且第三、第四支鏈相同的機(jī)構(gòu)具有最大程度的對稱性,選出其中典型的新機(jī)構(gòu),如圖5中的2RPU-2SPS機(jī)構(gòu)、圖 6中的 2PRU-2PUS機(jī)構(gòu)、圖 7中的2PRU-2RSS機(jī)構(gòu)。

圖 5 2RPU-2SPS機(jī)構(gòu)

圖6 2PRU-2PUS機(jī)構(gòu)

圖7 2PRU-2RSS機(jī)構(gòu)

3 2RPU-2SPS機(jī)構(gòu)的自由度計(jì)算和主動副選取

任意選取一新機(jī)構(gòu)2RPU-2SPS,如圖5a所示,運(yùn)用單開鏈法計(jì)算其自由度和確定其主動副。

該機(jī)構(gòu)由 4條單開鏈(single open chain,SOC)組成,其結(jié)構(gòu)為SOC{-R1⊥P2⊥U 3-}、SOC{-R4 ⊥P5 ⊥U6-}、SOC{-S7-P8-S9-}、SOC{-S10-P11-S12-}。

基于單開鏈法計(jì)算機(jī)構(gòu)活動度為

式中,F為機(jī)構(gòu)活動度;fi為運(yùn)動副的自由度;m為運(yùn)動副數(shù);ξj為第j個基本回路的獨(dú)立位移方程數(shù)。

對于該機(jī)構(gòu),4條單開鏈的自由度數(shù)分別為4、4、6、6,滿足∑ξj為最小值,它的3個基本回路分別為{-R1(⊥P2)//R31⊥R32/R61⊥R62(⊥P5)//R4-},ξ1=4;{-R1(⊥P2)//R31⊥R32-S7-P8-S9},

其中,R⊥R表示U副用2個垂直的R副代替。

若取P2、P5、P8、P11為主動副并剛化之,剛化后的機(jī)構(gòu)活動度為

其中,滿足 ∑ξj為最小值時,它的3個基本回路分別為{-R1//R31⊥R32/R61⊥R62//R4-},ξ1=4;{-R1//R31⊥R32-S7-S9},ξ2=6;{-S7-S9-S12-S10-},ξ3=6。

因?yàn)镕*=0,滿足主動副存在準(zhǔn)則,故4條支鏈上的移動副P2、P5、P8、P11可同時為主動副。

上述分析表明本文所提出的基于構(gòu)型演變和李群理論的2T2R型四自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的型綜合方法正確可行。

4 結(jié)論

(1)基于構(gòu)型演變法,提出了一種新的機(jī)構(gòu)2RRU-2SPS,機(jī)構(gòu)具有2個相鄰的RRU支鏈和2個相鄰的SPS支鏈。

(2)在2RRU-2SPS機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)上,運(yùn)用構(gòu)型演變和李群理論尋找等效支鏈,綜合出15 645種2T2R機(jī)構(gòu)。

(3)選取典型新機(jī)構(gòu)2RPU-2SPS,分析其自由度和確定主動副,同時也驗(yàn)證了本文提出的綜合方法的正確性。

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