變胞機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)變換矩陣與運(yùn)動副方位變胞

李樹軍 戴建生

1.東北大學(xué),沈陽,110004 2.倫敦大學(xué)國王學(xué)院,London,WC2R 2LS

0 引言

變胞機(jī)構(gòu)[1]自1998年首次提出后,就引起了國內(nèi)外機(jī)構(gòu)學(xué)研究者的關(guān)注及研究興趣。Dai等[2]探討了變胞機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)變換問題。Carroll等[3]提出了微變胞機(jī)構(gòu)的概念,并應(yīng)用變胞原理對空間機(jī)構(gòu)加工機(jī)理進(jìn)行了改革,首次提出了微機(jī)構(gòu)加工的新方法。Liu等[4]研究了變胞機(jī)構(gòu)的變胞方式,提出了利用桿件連接關(guān)系的變化和運(yùn)動副的特性變化來實(shí)現(xiàn)變胞。戴建生等[5]對變胞機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)變換、變胞原理和變胞機(jī)構(gòu)綜合問題也進(jìn)行了深入的研究,使得變胞機(jī)構(gòu)的基礎(chǔ)理論不斷得到豐富和發(fā)展。

變胞機(jī)構(gòu)的本源是變拓?fù)?變胞機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)變換主要通過結(jié)構(gòu)拓?fù)渚仃噥硗瓿?。通常變胞機(jī)構(gòu)的變拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)采用鄰接矩陣及關(guān)聯(lián)矩陣表示,并可進(jìn)行矩陣運(yùn)算[6-7]。文獻(xiàn)[8-9]在此基礎(chǔ)上將運(yùn)動副符號引入鄰接矩陣并加以改變,以適應(yīng)運(yùn)動副變化的需要,但矩陣中也沒有運(yùn)動副方位信息。李樹軍等[10]提出了一種運(yùn)動鏈的拓?fù)涮匦跃仃?用來描述運(yùn)動鏈的環(huán)路布局關(guān)系,用于運(yùn)動鏈同構(gòu)體的辨識;文獻(xiàn)[11]中給出了一種空間運(yùn)動鏈的描述和同構(gòu)體辨識方法,取得了較好的辨識效果。但在文獻(xiàn)[10-11]的對運(yùn)動鏈的描述中沒有運(yùn)動副的方位特征,也缺少環(huán)路間鏈接關(guān)系方面的信息。文獻(xiàn)[12]提出尺度型的概念,對機(jī)器人機(jī)構(gòu)的運(yùn)動軸線方位的5種特殊配置類型：平行、重合、垂直、共點(diǎn)、共面及其組合進(jìn)行了描述,這一理念為描述機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)提供了有價(jià)值的參考。在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[13]提出了一種基于環(huán)路布局的運(yùn)動鏈的拓?fù)涿枋?此種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)雖有運(yùn)動副方位特征信息,但對于研究以運(yùn)動副或構(gòu)件變化為主的變胞機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)變換尚欠便捷性。

目前所研究的變胞機(jī)構(gòu)多是基于變胞機(jī)構(gòu)具有可變自由度和可變構(gòu)件數(shù)目的新型機(jī)構(gòu)。然而,機(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)的變化還與運(yùn)動副軸線方位的配置有關(guān),即不改變運(yùn)動鏈的自由度和拓?fù)湓?構(gòu)件、運(yùn)動副)數(shù)目,僅通過變換運(yùn)動副的軸線方位配置,也可實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動空間由平面至空間(平面機(jī)構(gòu)變換為空間機(jī)構(gòu))或反之的轉(zhuǎn)換,稱之為運(yùn)動副方位變胞,對此目前還沒有系統(tǒng)的研究。本文首先構(gòu)建了一種結(jié)構(gòu)拓?fù)湫畔⒏鼮樨S富的構(gòu)態(tài)變換矩陣,用于變胞機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)演化描述,然后應(yīng)用該矩陣對運(yùn)動副方位變胞原理和方法進(jìn)行研究,進(jìn)一步豐富變胞機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)與綜合理論。

1 變胞機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)拓?fù)涿枋?/h2>

針對變胞機(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)變換的特點(diǎn),特別是針對運(yùn)動副軸線方位變胞,本文首先構(gòu)造出一種描述運(yùn)動鏈連接狀況、運(yùn)動副類型和運(yùn)動副方位特征的構(gòu)態(tài)變換矩陣,用于變胞機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)變換。

1.1 變胞機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)變換矩陣

變胞機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)拓?fù)涮卣餍畔⒖捎脴?gòu)態(tài)變換矩陣A來描述：

式中,Li為順序號為i的構(gòu)件;Jij為連接構(gòu)件i、j的運(yùn)動副。

設(shè)定：

式(1)中的aij,當(dāng)j=i+1時(shí),為2副構(gòu)件Li上2個運(yùn)動副軸線的相對方位;當(dāng)L n為2副構(gòu)件時(shí),ain為Ln上2個運(yùn)動副軸線的相對方位;其余元素為描述多副構(gòu)件上連接構(gòu)件Li和L j的邊上的2個運(yùn)動副軸線的相對方位;設(shè)p值即為同一構(gòu)件兩運(yùn)動副回轉(zhuǎn)軸線或移動平面的法線的相對方位,其約定如表1所示。

表1 同一構(gòu)件兩運(yùn)動副回轉(zhuǎn)軸線或移動平面的法線相對方位約定

1.2 構(gòu)態(tài)變換矩陣的性質(zhì)

根據(jù)變胞機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)變換矩陣的定義(式1),可知此矩陣具有下述特性：①Li所在的對角線各元素描述了順序連接的n個構(gòu)件,矩陣的行數(shù)等于構(gòu)件數(shù);②矩陣中上三角元素Jij描述了連接構(gòu)件i、j的運(yùn)動副的類型和連接關(guān)系;③矩陣中的下三角元素aij描述了構(gòu)件各邊所在的2個運(yùn)動副的軸線方位,ai,i+1和ain為2副構(gòu)件上2個運(yùn)動副的軸線方位,其他為多副構(gòu)件對應(yīng)邊上的2個運(yùn)動副的軸線方位;④aij為構(gòu)件的固有信息,為不變量,變化aij可導(dǎo)致運(yùn)動鏈拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化;⑤既可描述平面多環(huán)運(yùn)動鏈,也可描述空間多環(huán)運(yùn)動鏈,并可計(jì)算運(yùn)動鏈的自由度和構(gòu)造機(jī)構(gòu)的運(yùn)動簡圖。

2 構(gòu)態(tài)變換矩陣的構(gòu)造舉例

2.1 平面單環(huán)機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)變換矩陣構(gòu)造

(1)二自由度4RP平面五桿機(jī)構(gòu)(圖1)。根據(jù)式(1)～式(3),可構(gòu)造出其構(gòu)態(tài)變換矩陣為

圖1 4RP五桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動簡圖

(2)具有消極自由度的平面四桿機(jī)構(gòu)(圖2)。根據(jù)式(1)～式(3),可構(gòu)造出其構(gòu)態(tài)變換矩陣為

圖2 平面RSSR四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動簡圖

根據(jù)表1,a14=1表示構(gòu)件4上的2個運(yùn)動副A、D軸線平行,故該機(jī)構(gòu)退化為平面四桿機(jī)構(gòu)。

2.2 平面多環(huán)機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)變換矩陣構(gòu)造

(1)平面3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)(圖3)。根據(jù)式(1)～式(3),可構(gòu)造出其構(gòu)態(tài)變換矩陣為

圖3 平面3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)

(2)具有消極自由度的平面3-RRS機(jī)構(gòu)。如果將圖3機(jī)構(gòu)的動平臺4的3個R副變化為3個S副,就構(gòu)成了一種具有消極自由度的平面3-RRS機(jī)構(gòu)。仿上可得其構(gòu)態(tài)變換矩陣：對應(yīng)的具有消極自由度的平面3-RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)如圖4所示。

圖4 具有消極自由度的平面3-RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)

3 運(yùn)動副方位變胞

3.1 運(yùn)動副方位變胞的基本概念

在圖2所示的機(jī)構(gòu)中,R副A和D軸線平行,構(gòu)成了自由度為1的帶有消極自由度的平面四桿機(jī)構(gòu)。若改變該機(jī)構(gòu) A和D 軸線的方位,由平行到交錯,則構(gòu)成了圖5所示自由度為1(帶有局部自由度)的空間四桿機(jī)構(gòu)。

可見,由圖2機(jī)構(gòu)到圖5機(jī)構(gòu),構(gòu)件數(shù)沒變,運(yùn)動副類型和數(shù)目沒變,機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)也沒變。但改變運(yùn)動副D的軸線方位,便使機(jī)構(gòu)由平面機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)化為空間機(jī)構(gòu)。這種僅變換運(yùn)動副軸線方位而使運(yùn)動鏈運(yùn)動空間改變,從而實(shí)現(xiàn)變胞的方式,稱為運(yùn)動副方位變胞。

圖5 空間RSSR四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動簡圖

3.2 運(yùn)動副方位變胞特點(diǎn)

運(yùn)動副方位變胞具有下述特點(diǎn)：

(1)屬于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變胞,變胞的結(jié)果導(dǎo)致運(yùn)動鏈運(yùn)動空間的改變。如由平面運(yùn)動鏈變化為空間運(yùn)動鏈,或反之。

(2)變胞前后運(yùn)動鏈的實(shí)際自由度不變,運(yùn)動鏈的拓?fù)湓?構(gòu)件數(shù)和運(yùn)動副數(shù))不變,但變胞過程會導(dǎo)致運(yùn)動鏈中某些運(yùn)動副的消極自由度與實(shí)際自由度間的轉(zhuǎn)換。

3.3 運(yùn)動副方位變胞條件

根據(jù)運(yùn)動副方位變胞原理和特點(diǎn),運(yùn)動副方位變胞應(yīng)具備如下基本條件：

(1)變胞前的運(yùn)動鏈具有消極自由度,或變胞后的運(yùn)動鏈產(chǎn)生消極自由度。

(2)方位變換運(yùn)動副所在構(gòu)件或分支在方位變化方向上具有自由度(變胞前為消極自由度,或變胞后產(chǎn)生消極自由度)。

3.4 運(yùn)動副方位變換的實(shí)現(xiàn)

運(yùn)動副方位變換可由Yan等[10]提出的具有變運(yùn)動形式的運(yùn)動副結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn),或通過直接驅(qū)動運(yùn)動副改變其軸線方位實(shí)現(xiàn)。

4 應(yīng)用構(gòu)態(tài)變換矩陣進(jìn)行運(yùn)動副方位變胞的方法

4.1 變胞方法和步驟

根據(jù)運(yùn)動鏈構(gòu)態(tài)變換矩陣(式(1)～式(3))各元素的意義及其性質(zhì),應(yīng)用構(gòu)態(tài)變換矩陣進(jìn)行運(yùn)動副方位變胞的基本方法和步驟如下：

(1)應(yīng)用式(1)構(gòu)造平面運(yùn)動鏈的構(gòu)態(tài)變換矩陣APlanar。

(2)構(gòu)造與APlanar對應(yīng)的具有消極自由度的平面機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)變換矩陣APlanar_passiveDOF。由APlanar向APlanar_passiveDOF轉(zhuǎn)化時(shí),應(yīng)使變化前后的構(gòu)件數(shù)不變,自由度數(shù)不變,運(yùn)動副的個數(shù)不變,僅改變部分運(yùn)動副的類型Jij和相應(yīng)構(gòu)件的軸線方位aij。由于變化的結(jié)果是機(jī)構(gòu)的運(yùn)動空間在平面與空間之間轉(zhuǎn)換,因此 APlanar_passiveDOF的運(yùn)動副的類型可根據(jù)下式計(jì)算：

式中,DOFP、DOFS分別為平面機(jī)構(gòu)和空間機(jī)構(gòu)的自由度;Pf為約束數(shù)為f的運(yùn)動副的個數(shù)。

應(yīng)該說明的是：式(6)等號兩側(cè)運(yùn)動副提供的約束數(shù)應(yīng)分別按平面和空間運(yùn)動副計(jì)算。同時(shí),為了方便起見,式(6)中沒有涉及運(yùn)動鏈中的虛約束等影響,僅為簡化的運(yùn)動鏈結(jié)構(gòu)公式。如果在實(shí)際使用時(shí)有此類影響,還需按實(shí)際情況計(jì)算。由式(6)可知,對應(yīng)給定的平面運(yùn)動鏈APlanar的運(yùn)動副的類型可能具有多種組合,可能代表對應(yīng)的多個運(yùn)動鏈。另外,根據(jù)對aij的定義,增加的多自由度運(yùn)動副應(yīng)選在變胞分支上。與改變后的J ij相關(guān)聯(lián)的構(gòu)件的軸線方位aij根據(jù)新的J ij由式(3)確定。

(3)構(gòu)造變胞運(yùn)動鏈的構(gòu)態(tài)變換矩陣Am,即對APlanar_passiveDOF的 aij進(jìn)行方位變換。由APlanar_passiveDOF向Am轉(zhuǎn)化時(shí),變化前后的構(gòu)件數(shù)不變,自由度數(shù)不變,運(yùn)動副的個數(shù)和類型不變,僅改變部分運(yùn)動副的軸線方位aij。aij軸線方位的變化根據(jù)下述規(guī)則和步驟：①變換APlanar_passiveDOF中無消極自由度的運(yùn)動副的軸線方位aij。由于步驟(2)使運(yùn)動鏈增加的消極自由度是為了使運(yùn)動鏈變胞時(shí)構(gòu)件或分支在方位變化方向上具有自由度,因此不變換具有消極自由度的運(yùn)動副的軸線。即選擇由APlanar向APlanar_passiveDOF轉(zhuǎn)化時(shí)軸線方位沒有變化的aij進(jìn)行方位變換。②選運(yùn)動副的自由度較少的構(gòu)件變換其軸線方位,并先選擇機(jī)架、多副構(gòu)件按順序進(jìn)行。自由度少即約束多的運(yùn)動副的軸線的變化,牽連其構(gòu)件或分支的結(jié)構(gòu)變化,并導(dǎo)致整個運(yùn)動鏈拓?fù)錂C(jī)構(gòu)的變化,而且其結(jié)構(gòu)簡單,易于實(shí)施。而自由度多的運(yùn)動副容易產(chǎn)生局部自由度,起不到變胞的效果,而且其結(jié)構(gòu)復(fù)雜,實(shí)現(xiàn)困難。對于多環(huán)運(yùn)動鏈,多副構(gòu)件與各分支相互關(guān)聯(lián)大,易實(shí)現(xiàn)運(yùn)動鏈的整體變胞。③驗(yàn)證變胞前后運(yùn)動鏈的自由度,使其自由度數(shù)不變。按上述①和②變換aij時(shí),可能有多種組合,對應(yīng)多種變胞方案,其中可能包括導(dǎo)致運(yùn)動鏈?zhǔn)プ杂啥炔环线\(yùn)動副方位變胞原理的方案,需將其排除掉。④由Am構(gòu)造變胞機(jī)構(gòu)的運(yùn)動簡圖。根據(jù)運(yùn)動副方位變胞原理和構(gòu)態(tài)變換矩陣各元素的意義,通常選運(yùn)動副方位變化的構(gòu)件為機(jī)架,構(gòu)造對應(yīng)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動簡圖。

4.2 運(yùn)動副方位變胞舉例

4.2.1 單環(huán)運(yùn)動鏈變胞

(1)根據(jù)式(1)～式(3),平面4R運(yùn)動鏈的構(gòu)態(tài)變換矩陣為

其自由度

(2)構(gòu)造與AP_RRRR對應(yīng)的具有消極自由度的平面機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)變換矩陣AP_RSSR_PassiveDOF。根據(jù)式(6),若選相鄰兩個球面副替代對應(yīng)的轉(zhuǎn)動副,則

其中有一個局部自由度,實(shí)際自由度為1?？蓸?gòu)造出對應(yīng)的具有消極自由度的平面機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)變換矩陣：a14=1表明構(gòu)件4上的2個轉(zhuǎn)動副軸線平行,其中2個球副具有消極自由度。

(3)由AP_RSSR_PassiveDOF構(gòu)造變胞運(yùn)動鏈的構(gòu)態(tài)變換矩陣AS_RSSR。變換構(gòu)件4上一轉(zhuǎn)動副的方位為任意方向,即使a14=4,則所求構(gòu)態(tài)變換矩陣為

其自由度

其中包含一個局部自由度,實(shí)際自由度為1。AS_RSSR即為帶有局部自由度的空間四桿機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)變換矩陣。由AS_RSSR可構(gòu)造出對應(yīng)的機(jī)構(gòu)簡圖如圖5所示。

如果變換構(gòu)件1和構(gòu)件4上運(yùn)動副各軸方位使其共點(diǎn),得帶有消極自由度的球面RSSR運(yùn)動鏈的構(gòu)態(tài)變換矩陣：

如果ASpherical_RSSR中2個球面副變換為轉(zhuǎn)動副,得其構(gòu)態(tài)變換矩陣：

即球面RSSR運(yùn)動鏈退化為球面4R運(yùn)動鏈。

4.2.2 多環(huán)運(yùn)動鏈變胞

圖3所示為平面3-RRR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的變胞,其主要步驟如下：

(1)構(gòu)造平面3-RRS運(yùn)動鏈的構(gòu)態(tài)變換矩陣AP_3-RRR如式(4)所示。

(2)構(gòu)造具有消極自由度的平面3-RRS機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)變換矩陣AP_3-RRS_PassiveDOF如式(5)所示。

(3)由AP_3-RRS_PassiveDOF構(gòu)造變胞運(yùn)動鏈的構(gòu)態(tài)變換矩陣AS_3-RRS(即對應(yīng)空間運(yùn)動鏈的構(gòu)態(tài)變換矩陣)。根據(jù)4.1節(jié)的變胞步驟(3),變換AP_3-RRS_PassiveDOF代表構(gòu)件1各邊2運(yùn)動副軸線方位a26、a28、a68平行關(guān)系的1為任意相交關(guān)系的4,便構(gòu)成空間3-RRS的構(gòu)態(tài)變換矩陣AS_3-RRS：

由AS_3-RRS可知,n=8,P 3=3,P5=6。其自由度為：DOFS=6×7-3×3-5×6=3,驗(yàn)證了其自由度數(shù)與平面3-RRR機(jī)構(gòu)相同,即構(gòu)成空間3-RRS并聯(lián)運(yùn)動鏈。將AS_3-RRS按式(1)連接方式,如按文獻(xiàn)[9]設(shè)計(jì)的轉(zhuǎn)動副結(jié)構(gòu)形式(圖6a),或直接驅(qū)動運(yùn)動副模塊改變其軸線方位(圖6b),若選構(gòu)件1為機(jī)架,可構(gòu)造其運(yùn)動簡圖如圖7所示。

圖6 用于方位變胞的兩種轉(zhuǎn)動副結(jié)構(gòu)形式

圖7 空間3-RRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡圖

5 結(jié)束語

本文構(gòu)造了一種描述變胞機(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)演化的構(gòu)態(tài)變換矩陣,提供了運(yùn)動鏈連接狀況、運(yùn)動副類型和運(yùn)動副方位特征信息。該構(gòu)態(tài)變換矩陣不僅可用于運(yùn)動副方位變胞問題的研究,也可用于其他類型變胞問題和一般的運(yùn)動鏈綜合問題研究,具有普遍的理論和實(shí)用意義。

給出了一種基于構(gòu)態(tài)變換矩陣的運(yùn)動副方位變胞的方法和步驟,通過運(yùn)動副方位變胞,可實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)運(yùn)動空間在平面與空間之間的轉(zhuǎn)換,進(jìn)一步豐富了變胞機(jī)構(gòu)的變胞方法。

另外,根據(jù)式(1),只要運(yùn)動鏈的構(gòu)件編號和起點(diǎn)確定,運(yùn)動鏈的拓?fù)潢P(guān)系就確定了,因此,該矩陣也可推廣用于運(yùn)動鏈或機(jī)構(gòu)的同構(gòu)體的判別。

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