相對論量子力學方程的求解新方案

劉雅超，黎 明

(西安理工大學應用物理系, 陜西 西安 710048)

0 引 言

自從相對論量子力學誕生以來，取得了巨大的成就，同時也伴隨著一些未能解決的理論困難，其中最主要的是負能解問題[1].歷史上，Dirac曾為此提出著名的“負能電子?！奔僭O[2]，將真空解釋為充滿負能電子的海洋, 由Pauli不相容原理保證真空的穩(wěn)定性.而將真空中負能電子的空穴解釋為有著正能量，正電荷的正電子(Positron).如今，負能電子海的真空觀念已被拋棄，而正反粒子的觀念在量子場論中保留了下來.量子場論的基本觀點是粒子有正反，能量只有正[1]；而現有相對論量子力學的求解卻不能回避負能解，它的結論只能是電子無反正，能量有正負.這使得從量子力學到量子場論的過度理論——相對論量子力學處于尷尬的境地.

在相對論量子力學里，把負能量的電子解釋為正能量的正電子，以便向場論靠攏[3-4].而在量子場論的Feynman圖計算中，卻又要將正電子處理為逆著時間軸演化的負能電子，并且能量的積分依然是從負無窮到正無窮[5].盡管如此，許多支持場論的人都對相對論量子力學不屑一顧，認為該理論邏輯不自洽，結論不可靠.他們忘了，場論的基本觀念和方程都直接來自相對論量子力學.

在此，筆者關注的是相對論量子力學和量子場論的協(xié)調一致性問題.負能解困難或可避免[6]，或另有深意[7].筆者認為，問題出在數學的求解而不在物理的方程.所以，目標是尋找一個新的求解方案，在相對論量子力學里貫徹粒子有正反的觀念，堅持能量只為正的原則，最終通過新方案求解相對論量子力學方程得到與量子場論一致的自由粒子的正交歸一平面波解.本文首先回顧量子力學和相對論量子力學的傳統(tǒng)求解方案及其主要結果，然后在對場論中正反自由旋量粒子波函數的對比分析中映入新的求解方案，最后通過對Dirac 方程的重新求解驗證了新方案.

1 傳統(tǒng)量子力學求解方案

從非相對論量子力學到相對論量子力學，理論從低能量走向高能量，從單粒子變成包含正反粒子，當存在相互作用時還會出現粒子的產生和湮滅.在這個過程中，非相對論量子力學一些要求就不再適用于相對論量子力學，例如波函數的正定性和歸一性.但在相對論量子力學的求解方案中，波函數的相位因子部分，未加詳細審查，直接沿用了非相對論量子力學的舊形式.而這是造成相對論量子力學中負能量困難的根本原因.在此首先對已有理論及其求解方法做個回顧.

1.1 非相對論量子力學

在非相對論量子力學中，粒子波函數 滿足的基本方程是Schrodinger方程：

(1)

(2)

(3)

求解方案是設波函數的形式為debrogile波

ψ=Aexp[i(P,r-Et)/?]

(4)

P是粒子的動量矢量，E代表粒子能量.代入(3)解本征值問題，得能譜

(5)

滿足非相對論動能關系.可知自由粒子的動能非負.

1.2 相對論量子力學

在相對論量子力學中，自由Dirac粒子的基本方程是Dirac方程

(6)

(7)

ψ=U(Pexp[i(P·r-Et)/?=

(8)

其中φ,χ是二分量旋量.代入(6)求解得能量的本征值

(9)

ψ(P,E+)=U+(P)exp[i(P·r-Ept)/?=

(10-a)

ψ(P,E-)=U-(P)exp[i(P·r+Ept)/?]=

(10-b)

(11)

在場論中用到的正粒子和反粒子的波函數形式是

ψ(+)=ψ(P,E+)=uα(p)exp[i(P,r-Ept)/?]=

(12-a)

ψ(-)=ψ(-P,E-)=

vα(p)exp[i(-P·r-Ept)/?]=

(12-b)

通常稱為正頻解和負頻解[8].其中p=(P,Ep),x=(r,t)分別是四維動量矢量和四維坐標矢量，而Px=Pμxμ=(P·r-Ept).我們看到，當P為零時，由此還會引出所謂“負質量”的推斷.然而自然界沒有發(fā)現負能量的自由電子，更沒有負質量的電子；并且電子的負能解還會導致真空的不穩(wěn)定.這些就是相對論量子力學所遇到的負能量困難.

筆者認為，這些困難不是相對論量子力學所固有的，問題出在數學的求解方法上.要找到一個新方案，在相對論量子力學的求解中，貫徹粒子有正反的觀念，堅持能量只為正的原則，最終得到場論里所用的自由粒子的正交歸一化平面波解.

2 相對論量子力學求解新方案

從對原有求解方案的分析入手.在非相對論量子力學分離變量的求解方案(4)中，波函數時空部分取為平面波的虛指數形式exp[i(P·r-Et)/?]，求解后能量恒為正.在相對論量子力學的求解方案(8)中，人們未加分析的沿用了相同的指數因子i(P·r-Et)/?，但結果卻出現了負能量.而筆者認為負能量波函數應該是正能量的反粒子的波函數.應當在波函數的形式中體現正反粒子的存在.我們注意指數因子中含有虛數單位， 它是負一的一個平方根，而-1還有另一個平方根-i，它們還互為復共軛.正好i對應正粒子，而-i對應反粒子[9].

因此，筆者試將指數因子形式取作is(P·r-Et)/?，其中s稱為正反粒子指標，s=+1對應正粒子，s=-1代表反粒子.如此，(4)時變成

ψ=Aexp[is(P·r-Et)/?

(13)

先代入自由粒子的Schrodinger方程(3)，得能譜為

(14)

要求能量為正，則只能取s=+1.能譜退化為(5).由此可知，Schrodinger方程(3)是正粒子的非相對論量子力學方程.

考慮了正反粒子指標，相對論量子力學的新求解方案將自由Dirac粒子波函數設為

ψs=Us(P)exp[is(P·r-Et)/?]=

(15)

代入自由Dirac方程(6)，得本征方程

(16)

求解本征值問題，得能譜

(17)

其中已考慮到s2=1.貫徹能量為正的原則: 當上式右邊取正號是，左邊只能取s=+1，以此保證能量E=Ep為正，當右邊為負號時，左邊只能取s=-1，此時能量還是E=Ep.如此，無論對正粒子還是反粒子，能量都為正.而相應的正反自由相對論粒子波函數統(tǒng)一寫作

ψs(P,E+)=Us(P)exp[is(P·r-Ept)/?]=

(18)

可以看出，對于正粒子有s=+1，它的波函數與舊方案所得(12-a)相同，即ψ+1(P,Ep)=ψ(+)=ψ(P,Ep).對于反粒子，s=-1，其波函數為

ψ-(P,Ep)=U-(P)exp[-i(P,r-Ept)/?]=

(19)

似乎與負能解(10-b)及負頻解(12-b)都不同.進一步分析，我們發(fā)現

(20)

(20)式表明，直接得到了量子場論中的反粒子波函數——負頻解.至此，完成了我們的目標.而為了反粒子波函數與量子力學的算符運算一致，需引入另一組與正粒子能量和動量算符互為復共軛的反粒子算符[9]

(21)

用它們作用到反粒子波函數上

(22)

所得能量為正，所得動量矢量為P，這是我們所期望的.而正反粒子的能量和動量算符還可統(tǒng)一寫作

(23)

我們看到，互為復共軛的兩組算符在相對論量子力學中對稱的出現了.

3 結 語

本研究是一個新的求解相對論量子力學方程的基本方案.它在量子力學的框架中對稱地處理了正反粒子，消除了舊理論所出現的負能量的困難.不僅適用于Dirac 方程，也適用于Klein-Gordon方程.由此出發(fā)，我們可以重新討論在電磁場中的相對論量子力學方程即其非相對論退化；可以在理論上正反粒子對稱地討論Klein佯謬，相對論電子顫振(zitterbewegung)；還可以進一步重新處理場的量子化方案，解決其中的真空能量和粒子數為無窮大的問題.此外，該方案還可用于求解石墨單層(graphene)中電子所滿足的二維Dirac 方程，進而研究低維相對論量子體系的電學性質.

參考文獻：

[1]張永德.高等量子力學：上冊[M].北京：科學出版社，2009:219-237,284.

[2]Dirac P A M.The Principles of Quantum Mechanics [M]. Fourth edition. Oxford: The Clarendon Press,1958:273-274.

[3]Grainer W, Muller B, Rafelski J. Quantum Electrodynamics of Strong Fields [M]. Berlin: Springer-verlag,1985:130-136.

[4]Strange P. Relativistic Quantum Mechanics [M].New York:Cambridge University Press,1998：145-150.

[5]佩斯金， 施羅德.量子場論導論 [M].北京:世界圖書出版公司北京公司，2006：62-63.

[6]王順金,周善貴,Pauli H C. Dirac粒子的正-反粒子自由度和正-反粒子量子數[J].原子核物理評論，2004，21(4):294-297.

[7]張一方.量子力學和相對論的結合,不相容及發(fā)展[J].云南大學學報：自然科學版，2008,30(1):41-46.

[8]Weinberg S.The Quantum Theory of Fields :Vol.I[M].北京:世界圖書出版公司北京公司,2004:219-224.

[9]Ni G J, Guan H, Zhou W M,et al. Anti-particle in the Light of Einstein-Podolsky-Rosen Paradox and Klein Paradox [J]. Chinese Phys Lett,2000,17(6):393-395.