n維正態(tài)各分量的線性組合服從正態(tài)分布的一個證明

熊德之

(武漢工程大學理學院，智能機器人湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430074)

1 幾個引理

如果n維隨機變量(x1,x2,…,xn)的密度函數(shù)為

則稱(x1,x2,…,xn)服從n維正態(tài)分布[1]，記為X～Nn(μ,V).其中

X=(x1,x2,…,xn)T,μ=(μ1,μ2,…,μn)T,V=(cov(xi,xj))n×n=(σij)n×n>0.

引理1 設X～Nn(μ,V),V>0.將矩陣剖分[2]

其中V11是r階方陣. 如果V12=V21=0,則X(1)與X(2)相互獨立，且

X(i)～N(μ(i),Vii),i=1,2.

上式等號右端第一個方括號內是r維正態(tài)分布的密度函數(shù)，即X(1)～Nr(μ(1),V11).同樣有，X(2)～Nn-r(μ(2),V22).由于X的密度函數(shù)等于X(1)的密度函數(shù)與X(2)的密度函數(shù)的乘積，故X(1)與X(2)相互獨立[3].

引理2 設X～Nn(μ,V),V>0,A為n階滿秩矩陣，則

Y=AX～Nn(Aμ,AVAT).

證作滿秩線性變換Y=AX,則Jacobi行列式

設Y的密度函數(shù)為g(y1,y2,…,yn),其分布函數(shù)

G(y)=P{Y

根據(jù)隨機變量函數(shù)的分布和重積分換元法，有

G(y)=P{Y

dy1…dyn

所以幾乎處處有

因此，

Y～Nn(Aμ,AVAT)

引理3 設X～Nn(μ,V),V>0.將矩陣剖分

其中V11是r階方陣. 則

X(1)～Nr(μ(1),V11).

證與引理1比較，引理3少了條件V12=V21=0.因V>0,所以V11>0,V22>0,令

顯然|C|≠0,由引理2，Y=CX～Nn(Cμ,CVCT). 這里

由引理1，X(1)～Nr(μ(1),V11).

2 定理及其證明

定理設X～Nn(μ,V),V>0,A為r×n矩陣，R(A)=R,則

Y=AX～Nr(Aμ,AVAT).

證因A為r×n矩陣，R(A)=r,可將A補充n-r行[4]，使之成為滿秩方陣P,于是由引理2，Y=PX～Nn(Pμ,PVPT),記

根據(jù)引理3，知AX～Nr(Aμ，AVAT).

參考文獻：

[1]Richard A Johnson, Dean W Wichem.實用多元統(tǒng)計分析引論[M].陸璇，葛余博，譯.4版. 北京：清華大學出版社，2001.

[2]張堯庭，方開泰. 多元統(tǒng)計分析引論[M]. 北京：科學出版社，1982.

[3]周概容. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M]. 北京：高等教育出版社，1984.

[4]張禾瑞，郝炳新. 高等代數(shù)[M]. 5版.北京：高等教育出版社，2007.