面板數(shù)據(jù)聚類分析的時間序列趨勢外推預(yù)測方法

劉 兵

（淮南師范學(xué)院 經(jīng)管系，安徽 淮南 232038）

0 引言

面板數(shù)據(jù)，即Panel Data，又有人稱之為綜列數(shù)據(jù)集，是指同一截面單元集上的重復(fù)觀察值，是截面數(shù)據(jù)與時間序列綜合起來的一種數(shù)據(jù)資源。例如，在一個時點(diǎn)上，從某總體中隨機(jī)地收集了一些人的個人工資、工作時間、學(xué)歷和其他因素的一個綜列數(shù)據(jù)集，那么，在以后的若干各時點(diǎn)上，要對同樣的這些人反復(fù)采訪，以便得到一群人在不同年份里的工資、工作時間、學(xué)歷等數(shù)據(jù)。目前絕大多數(shù)的有關(guān)面板數(shù)據(jù)的研究都是從計量建模入手，Bonze D.C.和Hermosilla.A.Y.等統(tǒng)計學(xué)家則開創(chuàng)性地將多元統(tǒng)計方法引入到面板數(shù)據(jù)的分析中來[1]。在此之后國內(nèi)外的對此相關(guān)的研究甚少，國內(nèi)學(xué)者朱建平曾對單指標(biāo)面板數(shù)據(jù)的聚類分析進(jìn)行了一定的研究，并作了實(shí)證分析[2]。鄭兵云構(gòu)造了多指標(biāo)面板數(shù)據(jù)的距離函數(shù)和離差平方和函數(shù),在此基礎(chǔ)上,說明了多指標(biāo)面板數(shù)據(jù)的聚類分析過程[3]。但時序數(shù)據(jù)是變化復(fù)雜的，鄭兵云雖然沒有在構(gòu)造面板數(shù)據(jù)的離差平方和函數(shù)時談及不同時點(diǎn)的權(quán)重，實(shí)際上認(rèn)為時序數(shù)據(jù)是等權(quán)重的了。這里筆者在面板數(shù)據(jù)聚類分析中引入時間序列趨勢外推預(yù)測方法，進(jìn)行進(jìn)一步深入探討。

時間序列的基本特征是，其數(shù)值是依時間的變化而變化，起伏交替，有起有伏的，有些有某些變化趨勢。考慮以下幾種序列：（1）具有水平趨勢的數(shù)據(jù)序列；（2）具有非水平趨勢的數(shù)據(jù)序列；（3）具有線性趨勢的數(shù)據(jù)序列。

1 面板數(shù)據(jù)的時間序列趨勢估計方法

研究總體共有N個樣品，每個樣品的特征用p個指標(biāo)表示（X1，X2，…，Xj，…，Xp），時間長度為 T，則 Xij(t)表示第 i個樣品第j個指標(biāo)在時間t的數(shù)值。

1.1 具有水平趨勢的數(shù)據(jù)序列

Xij(t)（t=1,2…T）表現(xiàn)為在某一水平線上下波動，Xij=βij+εt，εt～N(0,σ2)則

X^ij=(Xij(1)+Xij(2)+…+Xij(T))/T

其中X^ij表示為第i個樣品第j個指標(biāo)的估計值。Xij(t)（t=1,2…T）對X^ij的貢獻(xiàn)是等權(quán)的。

1.2 具有非水平趨勢的數(shù)據(jù)序列

考慮到非水平趨勢，可選用加權(quán)平均法，

其中，α1，α2，…，αT≥0，為加權(quán)因子，當(dāng) α1，α2，…，αT＞0時，意味著所有時點(diǎn)數(shù)據(jù)都有價值。

1.3 具有線性趨勢的數(shù)據(jù)序列

在線性的時間序列中，存在到底是運(yùn)用哪一期的估計值的問題，具體要看所要研究的問題。

2 面板數(shù)據(jù)的聚類統(tǒng)計量

常見聚類統(tǒng)計量有距離和相似系數(shù)。距離多用于樣品的分類，常見聚類有明氏距離、歐式距離、馬氏距離和蘭氏距離，因而這里以歐式距離為例。假設(shè)面板數(shù)據(jù)中指標(biāo)具有相同的時序趨勢，設(shè)Drk表示為歐式空間距離，drk表示為對原面板數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮后得出的歐式距離。

2.1 水平趨勢下的聚類統(tǒng)計量

具有水平趨勢的數(shù)據(jù)序列的歐式距離，將第r樣品與第k樣品之間的歐式空間距離記為

也可以對原面板數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，由上節(jié)可知，X^ij=(Xij(1)+Xij(2)+…+Xij(T))/T，則面板數(shù)據(jù)的問題回歸到一般的截面數(shù)據(jù)的聚類分析中，

2.2 非水平趨勢下的聚類統(tǒng)計量

也可以對原面板數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，由上節(jié)可知，

則面板數(shù)據(jù)的問題回歸到一般的截面數(shù)據(jù)的聚類分析中。

如果對于某些研究樣品，不同研究目的導(dǎo)致不同時點(diǎn)的觀察值的價值有差異，如研究各省、市、自治區(qū)城鎮(zhèn)居民生活消費(fèi)的分布規(guī)律，進(jìn)而預(yù)測未來城鎮(zhèn)居民生活消費(fèi)的分布情況，在這個例子中年份越近的數(shù)據(jù)對于居民生活消費(fèi)的未來分布規(guī)律影響越大，因而，越近的時點(diǎn)數(shù)據(jù)可以賦予更高的權(quán)重，αT＞αT-1＞…＞α1。

2.3 線性趨勢下的聚類統(tǒng)計量

由上節(jié)知，X^ij(t)=aij+bijt

如果考察初始時期總體樣品的類別，可選用X^ij(0)或X^ij(1)，選擇X^ij(0)則更考慮初始化時期總體樣品的類別。

如果想要考察未來時期的聚類情況，可選用未來時點(diǎn)T+t的估計值X^ij(T+t)=aij+bij(T+t)

如果想要考察總體樣品的變化情況的類別，可選用一階差分，即 ΔX^rj(t)=bij。

3 面板數(shù)據(jù)的聚類方法

聚類分析的方法很多，有系統(tǒng)聚類、動態(tài)聚類、有序聚類等，系統(tǒng)聚類法是目前國內(nèi)外使用得最多的一種方法，常用的聚類方法有最短距離法、最長距離法、重心法、離差平方和法等，這里主要選擇離差平方和法來說明各類面板數(shù)據(jù)的聚類過程。

3.1 水平趨勢下的離差平方和法

記第g類樣品間的空間離差平方和為Sg，

其中，ig表示第g類中所有樣品序號的集合，)表示第g類所有樣品第j個指標(biāo)在t時間的平均值。

其中，ig表示第g類中所有樣品序號的集合， 表示第g類所有樣品第j個指標(biāo)的估計值的平均值。

3.2 非水平趨勢下的離差平方和法

記第g類樣品間的空間離差平方和為Sg，

其中，ig表示第g類中所有樣品序號的集合，t)表示第g類所有樣品第j個指標(biāo)在t時間的平均值，

如果進(jìn)行壓縮數(shù)據(jù)，=(α1Xij(1)+α2Xij(2)+…+αT，記第g類樣品間的離差平方和為sg，則

其中，ig表示第g類中所有樣品序號的集合 表示第g類所有樣品第j個指標(biāo)的估計值的平均值。

3.3 線性趨勢下的離差平方和法

如果想要考察總體樣品的變化情況的類別，記第g類樣品間的差分離差平方和為Δsg，

其中，ig表示第g類中所有樣品序號的集合，表示第g類所有樣品第j個指標(biāo)的bij的平均值。

其中，ig表示第g類中所有樣品序號的集合，表示第g類所有樣品第j個指標(biāo)在t時間的估計值的平均值。

4 結(jié)束語

面板數(shù)據(jù)的聚類分析只是面板數(shù)據(jù)在多元統(tǒng)計分析中的一個方面,本文對面板數(shù)據(jù)的聚類分析作了一些基礎(chǔ)性的研究和實(shí)證分析,這里僅僅考慮有限的數(shù)據(jù)時間序列趨勢，而且要求同個面板數(shù)據(jù)中時序趨勢是屬于同一類的，不同的類聚類分析還需要進(jìn)一步的研究，可喜的是非等時間間隔的面板數(shù)據(jù)的聚類方法的研究可以依照此思路開展下去,有待于進(jìn)一步探討。

[1]Bonzo D.C.，Hermosilla A.Y.Clustering Panel Data via Perturbed Adaptive Simulated Annealing and Genetic Algorithms[J].Advances in Complex Systems,2002，(4).

[2]朱建平，陳民懇.面板數(shù)據(jù)的聚類分析及其應(yīng)用[J]統(tǒng)計研究,2007，(4).

[3]鄭兵云.多指標(biāo)面板數(shù)據(jù)的聚類分析及其應(yīng)用[J].數(shù)理統(tǒng)計與管理,2008，（3）.