新混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)控制與噪聲中的同步研究

葉 慧,章亭芳

(江蘇科技大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江212003)

0 引言

由于混沌系統(tǒng)對初值的敏感性和長時(shí)間的不可預(yù)測性，控制混沌和混沌同步就成了混沌應(yīng)用的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，文獻(xiàn)[1]基于Lyapunov穩(wěn)定性理論實(shí)現(xiàn)了連續(xù)混沌的自適應(yīng)控制，文獻(xiàn)，文獻(xiàn)〔2-5〕采用了不同的方法實(shí)現(xiàn)混沌同步問題，但對于在噪聲作用下的異結(jié)構(gòu)同步研究較少。 筆者在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上接著對新混沌系統(tǒng)進(jìn)行研究。首先分析它的動(dòng)力學(xué)行為，在參數(shù)未知時(shí)設(shè)計(jì)一連續(xù)的自適應(yīng)控制器，通過調(diào)整控制增益提高控制速度,并證明所給控制器能使受控混沌系統(tǒng)全局漸近穩(wěn)定。接著研究在有界噪聲作用下文獻(xiàn)[6]中的兩個(gè)新混沌系統(tǒng)的異同步控制器的控制效果，用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，檢驗(yàn)了該控制器具的魯棒性和抗干擾能力。

1 新混沌系統(tǒng)的描述

1944年Nadolschi在研究剛運(yùn)動(dòng)時(shí)引入了一個(gè)新的系統(tǒng),其特點(diǎn)是它的右端還有三個(gè)非線性項(xiàng)，在不同參數(shù)下可產(chǎn)生多個(gè)不同的吸引子。此新的混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：

其中X=(x,y,z)T∈R3為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，其中a,b,c為系統(tǒng)參數(shù)。

2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

（1）對稱性和不變性。首先，注意到系統(tǒng)(1)在變換S：(X，Y，Z) →(-X，-Y，Z);S：(X，Y，Z)→(X，-Y，-Z);S：(X，Y，Z)→(-X，Y，-Z);下對于所有的參數(shù) a，b，c 具有不變性，則這些變換表明系統(tǒng)關(guān)于x，y，z軸都是對稱的，即此系統(tǒng)關(guān)于原點(diǎn)對稱。顯然，坐標(biāo)軸本身也是系統(tǒng)的解軌線，即，若t=0時(shí)有X=0，Y=0，Z=0，則對于所有的 t＞0，仍然有 X=0，Y=0，Z=0.更進(jìn)一步說，對于t趨于0，坐標(biāo)軸上所有的解軌線都趨向于原點(diǎn)。

（2）耗散性。當(dāng)參數(shù) a+b+c＜0 時(shí)，系統(tǒng)是耗散的。Δv==a+b+c它是收斂到一個(gè)零測度集=ea+b+c，即v(t)=v0e(a+b+c)t，其中v0是系統(tǒng)體積的初始值。

（3）與其他系統(tǒng)不同的是，令方程右端為零，我們得 該系統(tǒng)存在五個(gè)平衡點(diǎn)：］

由系統(tǒng)的Jacobi矩陣 可以求得系統(tǒng)的特征方程為：λ3-(a+b+c)λ2+(ab+ac+bc-mx2+z2+my2)λ+(mx2a-z2c+2mxyzmy2b-abc)=0上式中λ為待定的特征根將平衡點(diǎn)E0(0,0,0)代人 特 征 方 程 中 ， 有 ：λ3-(a+b+c)λ2+(ab+ac+bc)λ-abc=0，由Routh-Hurwitz判據(jù)，只要有 abc＞0,則 E0(0,0,0)是不穩(wěn)定的。下面分析平衡點(diǎn)E1,E2,E3,E4的不穩(wěn)定的參數(shù)條件，由系統(tǒng)(1)在變換S下及這些平衡點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱性，所以只需要分析其中之一即可。如我們僅僅分析E1(的穩(wěn)定性。將E1代入上述特征方程有λ3-(a+b+c)λ2+2abc+2m=0可得平衡點(diǎn)E1)不穩(wěn)定的參數(shù)條件為：abc＞0， m＞0， a+b+c＜0

（4）根據(jù)上面的分析,根據(jù)Matlab軟件我們可畫出他的吸引子圖。見圖1。

當(dāng)a=4.5,b=-12,c=-5,m=1/3時(shí)，系統(tǒng)是一個(gè)兩渦旋的混沌系統(tǒng)。當(dāng)a=0.4.,b=-12,c=-5，m=1/3是一個(gè)四渦旋的混沌系統(tǒng),且系統(tǒng)不存在Hopf分叉。

3 控制方法

下面考察將系統(tǒng)（1）全局漸近穩(wěn)定到這五個(gè)平衡點(diǎn)E1,E2,E3,E4的控制問題。

黨的十八大報(bào)告高度評價(jià)：以毛澤東為核心的黨的第一代中央領(lǐng)導(dǎo)集體，在社會主義建設(shè)中取得的獨(dú)創(chuàng)性理論成果和巨大成就，為改革開放新的歷史時(shí)期開創(chuàng)中國特色社會主義道路“提供了寶貴經(jīng)驗(yàn)、理論準(zhǔn)備、物質(zhì)基礎(chǔ)”。這充分肯定了以毛澤東為核心的黨的第一代中央領(lǐng)導(dǎo)集體作為突破蘇聯(lián)模式、初步探索中國特色社會主義道路的奠基者的歷史性貢獻(xiàn)。

在控制律（2）中k用作自適應(yīng)可調(diào)函數(shù)，β是自適應(yīng)增益常數(shù)，β＞0改變β值可以適當(dāng)改變自適應(yīng)的速度。

定理1 通過自適應(yīng)反饋控制器（2），受控閉環(huán)系統(tǒng)

在零點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定，即原混沌系統(tǒng)（1）能被全局漸近穩(wěn)定到它的五個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)Ei。

證明:現(xiàn)構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)

即V˙負(fù)定.據(jù) Lyapunov 穩(wěn)定性定理，可知受控系統(tǒng)（3）的零解漸近穩(wěn)定，亦即原系統(tǒng)（1）全局穩(wěn)定于平衡點(diǎn)。

取 β=-5，采用（2）式控制律，以在平衡點(diǎn) E0(0,0,0)為例，取初始值為（-1，-1，-1），作出受控閉環(huán)系統(tǒng)的三維相圖如圖2所示。

由圖2可知，在參數(shù)a未知的情況下（2）控制器，受控的閉環(huán)系統(tǒng)都是全局漸進(jìn)穩(wěn)定于平衡點(diǎn)E0(0,0,0)。

4 在噪聲下的兩類新混沌系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步

在實(shí)際的物理環(huán)境中，噪聲是普遍存在的.實(shí)際的混沌系統(tǒng)是不可避免地受到噪聲的干擾.因此研究在外噪聲作用下同步方法[7]的魯棒性就極其重要.有界噪聲與理想的白噪聲相比，它是一個(gè)更切合實(shí)際的合理的噪聲模型.下面考慮外加有界噪聲對文獻(xiàn)[6]自適應(yīng)同步方法的影響.

以新混沌系統(tǒng)（1）為例，注意觀察系統(tǒng)（1）可發(fā)現(xiàn)它還有三個(gè)非線性項(xiàng)，我們?nèi)绻阉晕⒆儎?dòng)就可發(fā)現(xiàn)它與最近陳關(guān)榮等最近研究Lorenz系統(tǒng)時(shí)，在Lorenz系統(tǒng)的第一個(gè)狀態(tài)變量上加上一個(gè)非線性項(xiàng)，從而得到的另外一個(gè)新的混沌系統(tǒng)

此系統(tǒng)與（1）系統(tǒng)有相同的結(jié)構(gòu)特征，當(dāng)a1,b1,c1的取值不同時(shí)它們有不同形式的混沌吸引子。在a1=40,b1=25,c1=-3時(shí)系統(tǒng)(4)的混沌吸引子圖3

文獻(xiàn)[6]給出了系統(tǒng)(1)和(4)在控制率為如下（5）時(shí)，這兩個(gè)新混沌系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步。

其中β為大于0的數(shù)(β是自適應(yīng)增益常數(shù)，改變它的值可以適當(dāng)改變自適應(yīng)的速度)。

現(xiàn)以將 Dξ(t)加到響應(yīng)系統(tǒng)(4)式的右邊，ξ(t)=cos(Ωt+σB(t)+Γ)，其中 σ,Ω 為正的常數(shù)，B(t)是單位 Wiener過程，Γ 是[0,2π]之間均勻分布的隨機(jī)變量，D是噪聲強(qiáng)度。采用控制器(5),模擬數(shù)據(jù)仍用文獻(xiàn)[6]中的數(shù)據(jù)，選取有界噪聲ξ(t)中的參數(shù)Ω=1.0,σ=1.0,噪聲強(qiáng)度 D=0.5。 用 Matlab 仿真,畫出圖 4。

數(shù)值研究結(jié)果表明：在有界噪聲的作用下，自適應(yīng)同步誤差在趨于零的過程中會出現(xiàn)一定的擾動(dòng)，此時(shí)自適應(yīng)同步誤差變得比較粗糙，但不影響最終的控制效果。

5 結(jié)論

對新混沌系統(tǒng)進(jìn)行分析，得出其具有的五個(gè)平衡點(diǎn)都是不穩(wěn)定的參數(shù)條件。接著運(yùn)用反饋的控制方法，通過坐標(biāo)變換，對混沌系統(tǒng)（1）進(jìn)行了控制。在系統(tǒng)參數(shù)未知時(shí)，克服了一般的自適應(yīng)控制中的控制律不連續(xù)這一缺點(diǎn)，設(shè)計(jì)一連續(xù)的自適應(yīng)控制器使混沌系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。然后研究在有界噪聲作用下該系統(tǒng)的的異同步控制效果，表明了自適應(yīng)控制器方法具有較強(qiáng)的魯棒性和抗干擾能力，數(shù)值仿真進(jìn)一步說明這種方法是有效的。

[1]Loria,A，Panteley,Enijmeijer,H.Control of the Chaotic Doffing E-quation with Uncertainty in all Parameters[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems I.1998,(45).

[2]Zhang Huaizhou,Qin Huashu.Adaptive Control of Chaotic Systems with Uncertainties[J].Int J.Bifurcation and Chaos,1998,8(10).

[3]蔡國梁,黃娟娟,超混沌Chen系統(tǒng)和超混沌Rossler系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步,物理學(xué)報(bào),2006.55(88).

[4]李爽,徐偉,李瑞紅等,異結(jié)構(gòu)系統(tǒng)混沌同步的新方法，物理學(xué)報(bào),2006.55(11).

[5]Julien Clinton Sprott Chaos and Time-Series Analysis[M].London：Oxford UniVersity Press,2003.

[6]葉慧，姚洪興，一類新混沌系統(tǒng)的控制與異結(jié)構(gòu)同步及其在保密通信中的應(yīng)用，江蘇科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，(10).

[7]賈飛蕾，徐偉，一類參數(shù)不確定混沌系統(tǒng)的延遲同步[J].物理學(xué)報(bào)，2007,56（06）.