多因素模型中的最佳投資比例

秦松濤

(吉首大學(xué) 信息管理與工程學(xué)院，湖南 張家界 427000)

Elton,Gruber和Padlberg三人在單因素模型的假設(shè)下，推導(dǎo)出求最佳投資比例的計算公式 （簡稱EGP方法）。Ross在1976年提出了資產(chǎn)收益率受多個因素影響的套利定價模型（APT），多因素模型比單因素模型許多方面更加優(yōu)越而倍受人們的喜愛。本文導(dǎo)出多因素模型在允許賣空和不允許賣空的情況下最佳投資比例公式，從而推廣了EGP方法。

1 多因素模型下最佳投資比例公式

（1）多因素模型

設(shè)有I1，I2，…，Ik共k種不相關(guān)的經(jīng)濟因素共同影響資產(chǎn)收益，建立風(fēng)險資產(chǎn)收益率受這k種經(jīng)濟因素共同影響的多因素模型

其中 Ri是第 i種資產(chǎn)在 t時期的收益率，I1，I2， …，Ik是這 k 種經(jīng)濟因素在 t時期的實現(xiàn)值，βil(l=1，2，…，k)是第 i種資產(chǎn)收益率對第l種經(jīng)濟因素的敏感系數(shù)，它是Ri受Il的一定變化所導(dǎo)致的平均變化程度，αi是風(fēng)險資產(chǎn)i在報酬中獨立于這k種經(jīng)濟因素的部分，εi是實際觀察到的報酬與回歸線性方程： 的偏差。

不難計算這種多因素模型中隨機變量Ri的數(shù)字特征

（2）允許賣空時的最佳投資比例

設(shè)投資組合P包含n種風(fēng)險資產(chǎn)和一種無風(fēng)險資產(chǎn)，無風(fēng)險資產(chǎn)的收益率是rf，Wi表示投資組合P在第i種風(fēng)險資產(chǎn)上的權(quán)重，則由均值方差理論應(yīng)滿足

重寫(5)式可得

將(2)，(3)式代入(6)式得

（9）式 i=1，2，…，n 共表示 n 個方程，對第 j個方程兩邊同乘以βj1，然后對這樣作的n個方程相加，得下列方程組的第一個方程，同理可得其它方程

以上方程組(10)是關(guān)于 的 k元一次方程組，當(dāng)其系數(shù)行列式D不為零時有唯一解，設(shè)為：

其中(R/V)i是夏普業(yè)績指數(shù)，它計量了第i種風(fēng)險資產(chǎn)每單位風(fēng)險的超額報酬，夏普建議將它用作一般證劵組合和特定共同基金的過去業(yè)績的一種指標(biāo)。而Gi反映的是第i種風(fēng)險資產(chǎn)在多因素模型(1)下關(guān)于各貝它系數(shù)、資產(chǎn)本身的標(biāo)準(zhǔn)差的函數(shù)，是風(fēng)險的一種指標(biāo)度量。

由(12)知風(fēng)險資產(chǎn)權(quán)重的比W1:W2:…:Wn=x1:x2:…:xn=z1:z2:…:zn，是與目標(biāo)收益率μ無關(guān)的常數(shù)的比，對于這n種風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)的任何組合這個比例都是不變的，這個比例與理性投資者對風(fēng)險的偏好無關(guān)，它是所有投資者共同追求的最有效的投資結(jié)果，這個比例就叫最佳投資比例。

（3）不允許賣空時的最佳投資比例

當(dāng)不允許賣空時，投資組合各風(fēng)險資產(chǎn)的權(quán)重Wi≥0，亦即 xi=2Wi÷λ≥0，求解方程（6）變成解下列庫恩-塔克條件：

(b)xiUi=0 (c)xi≥0 且 Ui≥0 (i=1，2，…，n)

其中Ui是為保證非負(fù)性而添加的松弛變量。由（b）可知如果xi＞0則必有Ui=0，即當(dāng)不存在第i種資產(chǎn)賣空時，Ui從等式（a）中消失。 如果 Ui＞0，則由（b）保證 xi=0，因此賣空的資產(chǎn)所占比例可設(shè)為零，而不用負(fù)數(shù)。 將（2），（3）式代入（a）可得

合并后得

如果將風(fēng)險資產(chǎn)分成兩組，第1組投資組合包含n1種xi＞0的風(fēng)險資產(chǎn)，第2組包含n-n1種xi=0的風(fēng)險資產(chǎn)，那么對于第一組Ui=0，(13)式寫成

與允許賣空推導(dǎo)一樣，也可得公式(12)

實際計算當(dāng)允許賣空時，若第i種風(fēng)險資產(chǎn)夏普業(yè)績指數(shù)(R/V)i小于它的風(fēng)險指標(biāo)Gi，按公式(12)投資于該種風(fēng)險資產(chǎn)的比例為負(fù)數(shù)，因而應(yīng)該按照這種比例賣空該種風(fēng)險資產(chǎn)，用其所得連同本身資金買進其他夏普業(yè)績指數(shù)(R/V)i大于它的風(fēng)險指標(biāo)Gi的風(fēng)險資產(chǎn)。

當(dāng)不允許賣空時，凡夏普業(yè)績指數(shù)(R/V)i小于它的風(fēng)險指標(biāo)Gi的風(fēng)險資產(chǎn)，則應(yīng)當(dāng)從投資組合中剔除；而(R/V)i大于它的風(fēng)險指標(biāo)Gi的風(fēng)險資產(chǎn)，都選入投資組合中。

將(12)所提供的最優(yōu)投資比例單位化，即使最優(yōu)投資比例的權(quán)數(shù)之和為1，得投資于第i種風(fēng)險資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)化最優(yōu)投資比例為：

其中當(dāng)允許賣空時m=n；當(dāng)不允許買空時等于夏普業(yè)績指數(shù)(R/V)i大于或等于它的風(fēng)險指標(biāo)Gi的風(fēng)險資產(chǎn)的個數(shù)。

2 多因素模型實證分析

從上海證券市場選取上海汽車、同仁堂、齊魯石化、虹橋機場和武鋼股份五支股票進行投資組合，收集這五支股票從2000年到2003年除去漲停板后的199個周收益率數(shù)據(jù)，不考慮股票的分紅與拆股。用目前銀行活期周利率0.01385%作為無風(fēng)險收益率。

采用主成分分析的方法確定因素。從上海證券市場隨機地選取100支股票，并把這100支股票隨機地分成10組，每組10支股票。賦予每支股票相同的權(quán)重，以每組10支股票每期的算術(shù)平均值作為該組該期的收益率 (叫組內(nèi)收益率)，對這樣得到的10組組內(nèi)收益率數(shù)據(jù)進行主成分分析。計算組內(nèi)收益率相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值和特征向量。

前三個主成分的累計方差貢獻率達到了91.91%，基本上反映了原始數(shù)據(jù)提供的信息，因此取前三個主成分作為多因素模型中的因素。

以確定的各個因素為解釋變量，以風(fēng)險資產(chǎn)上海汽車、同仁堂、齊魯石化、虹橋機場和武鋼股份的收益率為被解釋變量分別進行回歸，得線性回歸方程(1)中數(shù)據(jù)：

當(dāng)不允許賣空時，虹橋機場的夏普業(yè)績指數(shù)(R/V)i小于Gi，因而投資組合中應(yīng)當(dāng)剔除這種風(fēng)險資產(chǎn)，而保留其他四種風(fēng)險資產(chǎn)。通過公式(12)計算出各風(fēng)險資產(chǎn)的最佳投資比例：

當(dāng)允許賣空時，對于夏普業(yè)績指數(shù)(R/V)i小于Gi的風(fēng)險資產(chǎn)虹橋機場，股票的最佳投資比例是負(fù)數(shù)，因而應(yīng)該賣空這種股票，用其所得連同其擁有資產(chǎn)買進上海汽車、同仁堂、齊魯石化、武鋼股份四種股票，其最佳投資比例為：

[1]吳緒權(quán)．投資組合 VaR 分解的一種新方法[J]．統(tǒng)計與決策，2006，（9）．

[2]郭曉輝．基于VaR的無賣空投資組合分析及實證研究[J]．北京工商大學(xué)學(xué)報，2007，(2)．

[3]史樹中,楊杰．不允許賣空證券組合選擇的有效子集[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2003,26(2)．

[4]史樹中,楊杰．證券組合選擇的有效子集[J]．應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2002,25(1)．

[5]哈摩．勒威，馬歇爾．薩納特．證券投資組合與選擇[M]．廣州：中山大學(xué)出版社，1993．

[6]馬永開,唐小我．不允許賣空的多因素證券組合投資決策模型[J]．系統(tǒng)工程理論與實踐，2000,(2)．

[7]李博．多因素資產(chǎn)定價模型的實證研究[J]．商業(yè)研究，2003，（21）．