基于粒子群優(yōu)化的約束廣義預(yù)測(cè)控制實(shí)現(xiàn)方法

金建平

(常州機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，江蘇 常州213164)

廣義預(yù)測(cè)控制已經(jīng)在工業(yè)過(guò)程中得到廣泛應(yīng)用。在廣義預(yù)測(cè)控制中，如果被控過(guò)程是線性無(wú)約束的，并且目標(biāo)函數(shù)是二次型的形式，則可求得一個(gè)解析的線性控制器，但是實(shí)際工業(yè)過(guò)程中存在著各種約束，這會(huì)使求解控制量的滾動(dòng)優(yōu)化問(wèn)題變得復(fù)雜，通常需求解一個(gè)有約束的二次規(guī)劃或非凸規(guī)劃，而傳統(tǒng)的通過(guò)迭代求解二次規(guī)劃和非凸規(guī)劃方法計(jì)算量非常大，另外非凸規(guī)劃的求解對(duì)初始條件也非常敏感，這些會(huì)影響到廣義預(yù)測(cè)控制的性能。為了解決此問(wèn)題，本文將粒子群優(yōu)化算法應(yīng)用到廣義預(yù)測(cè)控制中，解決廣義預(yù)測(cè)控制的局限性。

1 廣義預(yù)測(cè)控制算法

廣義預(yù)測(cè)控制算法是一種先進(jìn)的控制算法，它廣泛應(yīng)用在電力、煉油、化工和造紙等工業(yè)領(lǐng)域，是一種源于實(shí)際工業(yè)過(guò)程的高級(jí)控制算法，是預(yù)測(cè)控制中最具代表性的算法之一[1-4]，隨著對(duì)廣義預(yù)測(cè)控制研究的不斷深入，其理論和算法也逐步得到了完善。在廣義預(yù)測(cè)控制算法中，用受控自回歸積分滑動(dòng)平均(CARMA)模型描述一個(gè)具有非平穩(wěn)噪聲的實(shí)際過(guò)程可表示為：

其中，u(t)和 y(t)為過(guò)程輸入和輸出，ζ(t)為一個(gè)不相關(guān)的白噪聲序列，Δ=1-z-1為差分算子，A(z-1)、B(z-1)、C(z-1)為后移算子z-1的多項(xiàng)式。即：

對(duì)于單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)，假設(shè) C(z-1)=1，則從 t時(shí)刻起，第j步后的預(yù)測(cè)輸出值可表示為：

式(5)中，Ej和Fj可以通過(guò)求解丟番圖方程得到，即

式(6)中，Ej(z-1)和 Fj(z-1)是由 A(z-1)和預(yù)測(cè)長(zhǎng)度 j唯一確定的多項(xiàng)式，即

令多項(xiàng)式Gj(z-1)=Ej(z-1)B(z-1)，整理后可得：

Gj(z-1)中前j項(xiàng)的系數(shù)正是對(duì)象階躍響應(yīng)前j項(xiàng)的采樣值，記為 g1，g2，…，gj，將 Gj(z-1)展開(kāi)為：

則有 gj，i=gi+1(i＜j)。因此，廣義預(yù)測(cè)控制預(yù)測(cè)模型可以寫成：

即

式(12)中：

通過(guò)長(zhǎng)時(shí)間段預(yù)測(cè)，廣義預(yù)測(cè)控制用多步預(yù)測(cè)優(yōu)化代替一步預(yù)測(cè)優(yōu)化，并且優(yōu)化時(shí)域隨著時(shí)間的推移而推移，具有多步預(yù)測(cè)并實(shí)施滾動(dòng)優(yōu)化的機(jī)制，使得系統(tǒng)存在時(shí)滯估計(jì)誤差或時(shí)滯變化時(shí)具有較好的魯棒性。在t時(shí)刻的優(yōu)化性能指標(biāo)表示為：

式(17)中：N為預(yù)測(cè)時(shí)域，Nu為控制時(shí)域，將上式極小化后得到其最優(yōu)解：

最優(yōu)控制量為：

式(19)中，W=[w(t+1)，…，w(t+N)]T；gT為矩陣(GTG+λI)-1GT的第1行。

式(19)中，如果控制量存在約束情況，則需求解帶有約束的二次規(guī)劃，約束非線性的存在會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化成為一個(gè)非凸規(guī)劃，非凸規(guī)劃的求解對(duì)初始條件非常敏感，會(huì)在局部最優(yōu)解處收斂，無(wú)法保證求得的是全局最優(yōu)解，本文嘗試用微粒群優(yōu)化(PSO)算法來(lái)解決這一局限性。

2 PSO算法及其改進(jìn)

2.1 基本PSO算法原理

由Kennedy和Eberhart提出的PSO算法[5-7]來(lái)源于對(duì)簡(jiǎn)單社會(huì)的模擬，最初設(shè)想是模擬對(duì)鳥(niǎo)群覓食的過(guò)程，后來(lái)發(fā)現(xiàn)PSO算法是一種很好的優(yōu)化工具。PSO算法與其他進(jìn)化算法相類似，也是將尋優(yōu)的參數(shù)組合成群體，通過(guò)對(duì)環(huán)境的適應(yīng)度來(lái)將群體中的個(gè)體向更好的區(qū)域移動(dòng)。與其他進(jìn)化算法不同，在描述個(gè)體時(shí)，將其看成是D維尋優(yōu)搜索空間的一個(gè)沒(méi)有體積的微粒(點(diǎn))[8-10]，結(jié)合微粒的歷史最佳位置和群體歷史中最優(yōu)微粒的最佳位置信息，按追隨最優(yōu)微粒的原理，以一定的速度向目標(biāo)值逼近。

設(shè)第 i個(gè)微粒的位置為 Xi=(xi1，xi2，…，xiD)，其速度為Vi=(vi1，vi2， …，viD)。 該微粒所經(jīng)歷的歷史最好位置記為Pi=(pi1，pi2， … ，piD)， 也稱為Pbest， 記全體所有微粒經(jīng)過(guò)的最好位置為 Pg=(gi1，gi2，…，giD)，也稱為 Pgest。 按追隨當(dāng)前最優(yōu)微粒的原理，對(duì)第t代的第i個(gè)微粒，PSO算法根據(jù)方程(20)和方程(21)計(jì)算第 t+1代的第 j維的速度和位置[10-11]。

式中，w為慣性權(quán)重，它使微粒保持運(yùn)動(dòng)慣性，使其具有擴(kuò)展搜索空間的趨勢(shì)，有助于新區(qū)域的搜索、為[0，1]的隨機(jī)數(shù)；c1和 c2為加速度常數(shù)，表示將每個(gè)微粒推向Pbest和Pgest的統(tǒng)計(jì)加速度權(quán)重，兩者均為正值。

此外，微粒的速度vi被一個(gè)最大速度所限制。如果當(dāng)前對(duì)微粒的加速導(dǎo)致它在某維的速度vij超過(guò)該維的最大速度 vmax，j，則該維的速度被限制為最大速度 vmax，j，使得粒子不至于因?yàn)轱w行速度過(guò)高而跳過(guò)可能的優(yōu)化解。

2.2 PSO算法的改進(jìn)

通過(guò)對(duì)式(20)和式(21)分析發(fā)現(xiàn)，如果粒子群的歷史最優(yōu)粒子位置Pgest在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)沒(méi)有發(fā)生變化，在粒子群體快接近Pgest時(shí)，其速度更新將主要由歷史速度決定，于是速度將越來(lái)越低，粒子群呈現(xiàn)出強(qiáng)烈的“趨同性”，表現(xiàn)在式中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)接近于0。這種“趨同性”加快了算法的搜索速度，但是卻減弱了群體開(kāi)拓新的搜索空間的能力。如果該最優(yōu)位置為一局部最優(yōu)點(diǎn)，則算法很容易陷入局部最優(yōu)，發(fā)生早熟現(xiàn)象。通過(guò)粒子群優(yōu)化算法的搜索機(jī)理分析發(fā)現(xiàn)，無(wú)論是早熟收斂還是全局收斂，微粒群中的粒子都會(huì)出現(xiàn)“聚集”現(xiàn)象。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，本文對(duì)PSO算法作了以下改進(jìn)：在微粒群從第t代向第t+1代“飛翔”時(shí)，粒子除追隨個(gè)體極值Pbest和全局極值Pgest外，還追隨從微粒群中隨機(jī)選取的某個(gè)粒子的個(gè)體極值Pn，據(jù)此改進(jìn)思想，式(20)也可表示為：

式(22)中，c1為非負(fù)常數(shù)，一般取 0.5；為[0，1]的隨機(jī)數(shù)，根據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)，的取值范圍在 0～0.5之間時(shí)能獲得較好的效果；qij是隨機(jī)選取粒子的位置。在粒子的飛翔迭代公式中增加 Pn后，由 Pbest、Pgest和 Pn三者共同向下一代提供信息，使粒子獲得的信息量增大，從而可能更快地找到最優(yōu)解。同時(shí)Pn的權(quán)重系數(shù)很小，相當(dāng)于擾動(dòng)信息，增加了粒子的多樣性，避免算法過(guò)早收斂。式(21)和式(22)組成后稱之為改進(jìn)的PSO算法(MPSO)。

2.3 算法設(shè)計(jì)

引入了約束的廣義預(yù)測(cè)控制問(wèn)題，實(shí)際上就是一個(gè)非線性優(yōu)化問(wèn)題，利用PSO算法對(duì)其進(jìn)行處理的基本思想是：首先通過(guò)選擇合適的適應(yīng)度函數(shù)，將有約束廣義預(yù)測(cè)控制性能指標(biāo)優(yōu)化的極小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為PSO算法優(yōu)化的極大值問(wèn)題；然后通過(guò)空間限定法引入約束，經(jīng)迭代計(jì)算后最終得到滿足約束的最優(yōu)控制量求解。

基于MPSO算法的廣義預(yù)測(cè)控制結(jié)構(gòu)如圖1所示，預(yù)測(cè)模型采用式(12)的形式，MPSO算法通過(guò)優(yōu)化性能指標(biāo)J(t)輸出控制量進(jìn)行控制。

圖1 基于MPSO算法的控制結(jié)構(gòu)

對(duì)優(yōu)化性能指標(biāo)進(jìn)行變換得到適應(yīng)度函數(shù)為：

式中，J(t)可以是式(18)的形式，也可以是滿足控制性能要求的其他形式，通過(guò)這種變換將GPC優(yōu)化的極小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為MPSO算法優(yōu)化的極大值問(wèn)題，并使MPSO算法的適應(yīng)度函數(shù)值都在區(qū)間[0，1]中變化。

3 仿真實(shí)例

熱交換器是工業(yè)生產(chǎn)所需要的一種換熱裝置，結(jié)構(gòu)如圖 2 所示，圖中，T1、T2、T3、T4、T5均為溫度控制器，F(xiàn)1、F2、F3均為測(cè)量流量的控制器，P1為測(cè)量壓力的控制器。系統(tǒng)中包括2個(gè)輸入管，即1個(gè)熱水管和1個(gè)冷水管，對(duì)應(yīng)控制其流量的閥門為 V1、V2。另外還有 1個(gè)15 kW的隔熱式加熱水箱。水箱中的溫度通過(guò)冷水管中的流量來(lái)控制，而水箱中的水又經(jīng)過(guò)1個(gè)離心泵，通過(guò)閥門V3來(lái)控制，輸送回?zé)峤粨Q器中。這其中包括很多閉環(huán)控制系統(tǒng)，被測(cè)量有溫度、流量、壓力等，本文選擇的閉環(huán)系統(tǒng)為熱交換器中循環(huán)水的溫度控制，對(duì)溫度控制回路的擾動(dòng)主要有蒸汽壓力、水流速度和進(jìn)水溫度。本文選取的閉環(huán)控制為圖2中的T4-V3環(huán)節(jié)。

選取系統(tǒng)控制量u(t)為閥門V3的位置，系統(tǒng)的輸出y(t)為從熱交換器到水箱的溫度T1，通過(guò)模型辨識(shí)，可以得到該系統(tǒng)的一階時(shí)滯的傳遞函數(shù)模型，表達(dá)式為：

設(shè)采樣時(shí)間T=4 s，將上式離散化后得：

本文嘗試用微利群優(yōu)化算法來(lái)解決該非線性優(yōu)化問(wèn)題，從仿真結(jié)果來(lái)看，該算法具有良好的魯棒性和跟蹤性能，取得了滿意的控制效果，表明將粒子群優(yōu)化算法應(yīng)用到廣義預(yù)測(cè)控制中是可行和有效的。

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