內(nèi)平動全擺線齒輪壓力角的分析

劉令濤,焦永和,張春林， 趙自強(qiáng)

(北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院, 北京 100081)

內(nèi)平動齒輪傳動是少齒數(shù)齒輪傳動的一種,具有傳動比大、體積小、重量輕、性能可靠、傳動效率高、承載能力大、運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)等優(yōu)點. 目前內(nèi)平動齒輪多采用漸開線齒形,它存在自身的缺點：傳動時,齒面之間的滑動摩擦較大,而且又是兩個凸面相接觸,接觸的單位壓力大,齒面較易磨損；因為受到根切的限制,漸開線齒輪的設(shè)計齒數(shù)不能太少,因此在傳動比要求大時,機(jī)構(gòu)尺寸相對較大[1-2].

擺線齒輪以其無根切、體積小、傳動平穩(wěn)、重合度大等優(yōu)點更多地被應(yīng)用到一些精度要求很高的場合,在軍械、鐘表等行業(yè)應(yīng)用很廣泛. 將全擺線齒形用于內(nèi)平動齒輪代替原有的漸開線齒形應(yīng)用于內(nèi)平動齒輪傳動裝置中,這種全擺線齒輪的齒廓完全由內(nèi)外擺線構(gòu)成,沒有通常的齒頂和齒根,基圓和分度圓重合[3].

國內(nèi)對平動齒輪傳動的研究很多,但僅限于漸開線齒形,對擺線齒形的研究幾乎處于空白. 為了將這種全擺線齒輪應(yīng)用于平動齒輪機(jī)構(gòu)中,有必要對其進(jìn)行深入研究[3]. 壓力角是度量一個機(jī)構(gòu)傳動力性能好壞的重要指標(biāo),在機(jī)構(gòu)受力分析、效率計算和優(yōu)化設(shè)計中都是一個非常重要的參數(shù). 作者推導(dǎo)了全擺線齒輪齒廓上任一點的壓力角計算公式,并得出了變化規(guī)律及與其它參數(shù)的關(guān)系.

1 全擺線齒輪壓力角的推導(dǎo)

(1)

式中θ為直線MO與軸x的夾角.

圖1 全擺線齒輪的壓力角

在坐標(biāo)系x1Oy1中,其內(nèi)擺線AB的參數(shù)方程為

(2)

式中θ′為直線NO與軸x1的夾角.

在PA段,設(shè)其上任一點M的法線為Fn1,斜率為k1,則

(3)

(4)

設(shè)該點的壓力角為α1,則

(5)

將式(3)(4)帶入式(5)，可以得到外擺線壓力角α1的計算公式為

α1=arctan|tan[R1/(2r1)]θ|，

θ∈[0,2πr1/R1].

(6)

同理在AB段,可以得到內(nèi)擺線上任一點N的壓力角α2的計算公式為

α2=arctan |tan [R1/(2r2)]θ′|，

θ′∈[0,2πr2/R1].

(7)

2 全擺線齒輪壓力角的影響參數(shù)

2.1 全擺線齒輪的重合度

ε=(πr1+πr2)/p=0.5.

(8)

圖2 全擺線齒輪的嚙合線

為了確保全擺線齒輪傳動的連續(xù)性,必須使用斜齒擺線齒輪來代替直齒.

2.2 滾圓半徑不同時的壓力角

應(yīng)用全擺線齒輪的壓力角計算公式(6)和式(7),通過選取模數(shù)m、齒數(shù)z和滾圓半徑r,在Matlab軟件中編制程序來繪制全擺線齒輪一個輪齒的壓力角變化曲線,找出影響壓力角大小的參數(shù).

圖3所示為全擺線齒輪的模數(shù)m=10mm,z=20,r1,r2分別取不同值時,其一個輪齒傳動中壓力角的變化曲線圖.

圖3 滾圓半徑不同時輪齒的壓力角變化曲線

由圖3可知全擺線齒輪的壓力角隨著轉(zhuǎn)角的變化呈線性變化；根據(jù)受力分析可知,齒輪的壓力角越小,主動輪推動從動輪轉(zhuǎn)動的有效分力越大,對傳動越有利,即傳動效率高,但是機(jī)械強(qiáng)度差；齒輪壓力角越大,主動輪推動從動輪轉(zhuǎn)動的有效分力越小,對傳動越不利,即傳動效率低,但機(jī)械強(qiáng)度高；而當(dāng)壓力角接近90°時,則基本認(rèn)為主動輪對從動輪的轉(zhuǎn)動不起作用. 由于全擺線齒輪的壓力角在[0,90°]范圍內(nèi)連續(xù)變化,在內(nèi)擺線和外擺線的交點處,壓力角α=0,主動輪推動從動輪的力全部有效；在全擺線齒輪的齒頂和齒根處,其壓力角α=90°,此時主動輪齒輪傳遞失效,為齒輪傳動的最不利點. 因此,在實際應(yīng)用中,必須修正齒廓的齒頂和齒根處曲線,使壓力角小于90°,而且其壓力角的變化范圍越小越好,以保證傳動的穩(wěn)定性.

在齒頂齒廓和齒根齒廓上,全擺線齒輪壓力角的變化速率并不相同,反映在圖中即為直線的斜率不同；當(dāng)且僅當(dāng)r1=r2時,壓力角在整個齒廓的變化速率才始終保持一致.

2.3 滾圓半徑相同時的壓力角

由擺線齒輪的性質(zhì)可知,當(dāng)齒輪的模數(shù)選定后,其滾圓半徑也就相應(yīng)確定,其關(guān)系為r=m/4.

圖4為模數(shù)m=10mm,滾圓半徑r1=r2=2.5mm,齒數(shù)z=20,30,40時,其一個輪齒傳動過程中壓力角α的變化曲線圖.

圖4 滾圓半徑相同、齒數(shù)不同時齒輪的壓力角變化曲線

由擺線的性質(zhì)可知,當(dāng)兩個滾圓的半徑相等時,其半徑的大小隨模數(shù)的變化而變化,但必須保證r=m/4這一潛在的等式關(guān)系. 此時壓力角的計算公式簡化為

α=arctan |tan (zθ)|，θ∈[0,π/z].

(9)

由式(9)可以看出,這種全擺線齒輪的壓力角與模數(shù)無關(guān),只與擺線齒輪的齒數(shù)有關(guān). 其變化曲線如圖5所示. 由圖5可見，這種擺線齒輪的壓力角變化速率相同,而且在整個輪齒的嚙合過程中與模數(shù)沒有任何關(guān)系,為其應(yīng)用的通用性奠定了基礎(chǔ).

圖5 r1=r2時的擺線齒輪壓力角變化曲線

3 結(jié) 論

根據(jù)齒輪嚙合基本定律和擺線的性質(zhì),推導(dǎo)出全擺線齒輪齒廓上壓力角的通用計算公式,并結(jié)合實例得出了全擺線齒輪壓力角和其它齒輪參數(shù)即模數(shù)m、齒數(shù)z和滾圓半徑r的關(guān)系,得到如下結(jié)論.

① 全擺線齒輪應(yīng)該用斜齒輪代替直齒輪來保證齒輪傳動的連續(xù)性.

② 在齒輪的齒頂和齒根處應(yīng)進(jìn)行修正,以保證齒輪傳動的有效性.

③ 應(yīng)保證全擺線齒輪的兩個滾圓半徑相等,以保證齒輪傳動的平穩(wěn)性.

④ 在滾圓半徑相等的情況下,壓力角由齒輪的齒數(shù)決定,與模數(shù)無關(guān).

內(nèi)平動全擺線齒輪壓力角分析,證明了全擺線齒輪應(yīng)用在內(nèi)平動齒輪機(jī)構(gòu)中的可能性,為后續(xù)的內(nèi)平動全擺線齒輪的優(yōu)化設(shè)計提供了理論依據(jù). 進(jìn)一步工作是對輪廓曲線進(jìn)行修正,使其能應(yīng)用于實際工作中.

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