一種基于級(jí)聯(lián)混沌系統(tǒng)的圖像加密算法

景運(yùn)革，王彩霞

(運(yùn)城學(xué)院 公共計(jì)算機(jī)教學(xué)部，山西 運(yùn)城 044000)

目前混沌加密己成為密碼學(xué)研究的熱點(diǎn)之一，但已有的大部分混沌加密算法都是基于單個(gè)混沌系統(tǒng)的。事實(shí)表明，一些混沌映射可通過(guò)相空間重構(gòu)的方法精確預(yù)測(cè)出來(lái)[1]。另外，由于計(jì)算機(jī)精度的限制，單混沌系統(tǒng)輸出的時(shí)間序列并不能達(dá)到理論上的完全隨機(jī)，而可通過(guò)多個(gè)混沌系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)使這一缺陷得到改善[2]。為此，本文提出了一種基于多混沌系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的圖像加密算法，理論分析與數(shù)值實(shí)驗(yàn)均表明本算法能夠達(dá)到密碼學(xué)要求的混淆和擴(kuò)散的目的，并能有效地預(yù)防差分攻擊。

1 混沌序列的生成

1.1 Logistic映射

Logistic映射由數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家May于1976年提出，是非線性迭代方程和研究最廣泛的動(dòng)力系統(tǒng)。Logistic映射的定義為：

當(dāng)3.569 945 6<μ≤4時(shí)，Logistic映射工作處于混沌狀態(tài)，即由初始條件x0在Logistic映射的作用下所產(chǎn)生的序列{xk}是非周期、不收斂的，并對(duì)初始值非常敏感；當(dāng)μ=4時(shí)，該映射是滿射，產(chǎn)生的混沌序列在區(qū)間(0，1)上具有遍歷性。由于Logistic映射具有與白噪聲相似的特性、簡(jiǎn)單和初始值敏感性的特點(diǎn)，因此很多混沌圖像加密算法都是基于Logistic映射的。

1.2 時(shí)空混沌映射

時(shí)空混沌系統(tǒng)是一個(gè)空間上的擴(kuò)展系統(tǒng)[3]，它展現(xiàn)了時(shí)間和空間上的混沌性。耦合映射格子(CML)通常被作為時(shí)空混沌系統(tǒng)使用，這種系統(tǒng)是具有離散時(shí)間、離散空間和連續(xù)狀態(tài)的動(dòng)力系統(tǒng)。它由位于格子站點(diǎn)上的稱為局部映射的非線性映射組成，每個(gè)局部映射與其他局部映射以一定規(guī)則進(jìn)行耦合連接。由于每個(gè)局部映射所固有的非線性動(dòng)力特性及相互間耦合所產(chǎn)生的發(fā)散性，CML可以展現(xiàn)時(shí)空混沌性。所以采用不同的局部映射和耦合方法便可以構(gòu)造出不同形式的CML[4]。本算法構(gòu)造的二維CML為：

2 加密與解密的實(shí)現(xiàn)

本算法選用的混沌系統(tǒng)為時(shí)空混沌系統(tǒng)與一維Logistic映射。首先利用式(2)時(shí)空混沌系統(tǒng)產(chǎn)生隨機(jī)序列，然后將這個(gè)序列值分別作為式(1)的Logistic映射初始值，經(jīng)過(guò)特定次數(shù)的迭代以后得到最后所需的混沌序列。這個(gè)特定次數(shù)是由上一個(gè)圖像像素加密后的結(jié)果決定的。

2.1 加密過(guò)程

假設(shè)待加密的數(shù)字圖像為z(M×N)。首先，將圖像 z中的像素值從左到右、從上到下進(jìn)行橫向掃描，將掃描得到的像素值存儲(chǔ)到f(n)中。加密過(guò)程如下：

(2)對(duì)第i和i+1個(gè)像素加密時(shí)，首先將si作為式(1)的初值進(jìn)行特定次數(shù)的迭代得到k。假設(shè)前兩個(gè)已加密的像素值分別為c(i-2)和c(i-1)，則求 k所需要的迭代次數(shù)為：

n=(c(i-2)+c(i-1))mod 25，其中當(dāng) n=0時(shí)，迭代 25次。K的二進(jìn)制形式表示為∶

k=0b1(k)b2(k)……bi(k)……k∈(0，1)bi(k)∈{0，1}。第i個(gè)比特bi(x)可由下式得到：

經(jīng)計(jì)算可得到一個(gè)16位的比特序列，取前8位作為key1與第i個(gè)像素值進(jìn)行“異或”操作得到密文c1(i)，取后8位作為key2與第i+1個(gè)像素值進(jìn)行“異或”操作得到密文 c1(i+1)。

(3)對(duì)第1個(gè)和第2個(gè)像素值加密時(shí)，首先用由時(shí)空混沌系統(tǒng)式(2)產(chǎn)生的隨機(jī)序列s(1)作為初值進(jìn)行迭代25次，將由步驟(2)得到的 key1、key2分別與對(duì)應(yīng)的像素值進(jìn)行“異或”操作得到密文c1(1)和c1(2)，然后按步驟(2)依次對(duì)圖像中的每個(gè)像素進(jìn)行操作，最后可以得到圖像c1。

(4)對(duì)圖像c1按相反的方向從最后兩個(gè)像素開(kāi)始按步驟(3)對(duì)像素值進(jìn)行操作得到圖像c，即為加密后的密文圖像。

2.2 解密過(guò)程

解密過(guò)程與加密過(guò)程相反，即：將步驟(2)中提到的迭代的次數(shù)改為由密文圖像的前兩個(gè)像素值決定，再將步驟(3)與步驟(4)的順序顛倒過(guò)來(lái)，即可完成密文圖像的解密。

2.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

利用本文提出的算法，令Logistic映射的參數(shù)μ=4，ξ=0.99，時(shí)空混沌映射的初始值x=0.421 52、x=0.639 42、x=0.533 46、q1=0.327 54、q2=0.525 12 和 q3=0.832 14，對(duì)256×256的圖1(a)進(jìn)行加密。圖1(c)即為加密后的結(jié)果。圖1(b)和圖1(d)分別是待加密圖像和已加密圖像的直方圖。

3 安全性分析

本算法有很高的安全性，具有更大的密鑰空間，且能夠抵御大部分常見(jiàn)的攻擊。

3.1 密鑰空間分析

3.2 密鑰敏感性的測(cè)試

圖2給出了密鑰敏感性的測(cè)試結(jié)果。其中圖2(a)是用正確密鑰 x=0.421 52、x=0.639 42、x=0.533 46、q1=0.327 54、q2=0.525 12和 q3=0.832 14進(jìn)行解密后所得到的圖像；圖2(b)和圖2(c)分別是將密鑰中 x和 x改為0.421 53與0.639 42時(shí)解密后所得到的圖像。將圖2(b)和圖2(c)與圖2(a)進(jìn)行比較，可見(jiàn)雖然密鑰僅發(fā)生了非常微小的改動(dòng)，但是解密后的結(jié)果卻完全不同，這表明本算法對(duì)密鑰是敏感的。

3.3 統(tǒng)計(jì)分析

圖像中相鄰像素的相關(guān)性非常大，在加密過(guò)程中為了防御統(tǒng)計(jì)攻擊，必須使得相鄰像素間的相關(guān)性降低[5]。本文在待加密圖像和加密后的圖像中各隨機(jī)地選取了2 008對(duì)像素對(duì)，測(cè)試其水平方向、垂直方向、對(duì)角方向的像素相關(guān)性，并利用式(8)計(jì)算其相關(guān)系數(shù)：

表1 相鄰像素值的相關(guān)系數(shù)rxy

3.4 差分攻擊分析

通過(guò)對(duì)待加密圖像做微小的改變，然后觀察該改變帶來(lái)的結(jié)果的方法，攻擊者可以獲得加密后圖像與原圖像之間的關(guān)聯(lián)。若某加密算法可使原圖像發(fā)生微小變化，使前后加密的結(jié)果變化很大，則該算法即可很好地預(yù)防差分攻擊。

像素?cái)?shù)目改變率(NPCR)是指當(dāng)待加密圖像改變一個(gè)像素時(shí)，加密后圖像像素?cái)?shù)目的改變率。NPCR越大，表明加密算法對(duì)于待加密圖像變化越敏感，則該加密算法抵抗明文攻擊能力越強(qiáng)；平均強(qiáng)度變化率(UACI)是指待加密圖像和加密后圖像相應(yīng)像素的平均強(qiáng)度的變化率，該指標(biāo)越大，表示加密后圖像與待加密圖像比平均強(qiáng)度變化越大，則該加密算法抵抗差分攻擊能力越強(qiáng)。設(shè)兩幅加密后的圖像分別為c1和c2，則：

式 中，c1(i，j)、c2(i，j)分 別 表 示(i，j)處 的 像 素 灰 度 值，W 為圖像的寬度，H為圖像的高度。定義矩陣D(i，j)：若c1(i，j)=c2(i，j)，則 D(i，j)=0；否則 D(i，j)=1。

選取Lena原圖像圖1(a)作為測(cè)試對(duì)象，隨機(jī)選取其中某個(gè)像素點(diǎn)并改變它的像素值，然后用本算法對(duì)這兩幅差別微小的圖像加密，分析加密后圖像相同像素的比率。 經(jīng)計(jì)算得到 NPCR=99.653 7%，UACI=37.682 5%，表明了即使將待加密的圖像做微小的改動(dòng)，通過(guò)本算法加密后，也會(huì)得到明顯的差異。

3.5 信息熵攻擊

信息論是研究信息傳輸與信息壓縮的數(shù)學(xué)理論，最早由香農(nóng)在1949年提出[6]。信息論中一個(gè)非常重要的概念就是信息熵，一個(gè)信息源m的信息熵：

式中，P(mi)表示信號(hào)mi出現(xiàn)的概率。對(duì)于給定的一個(gè)實(shí)際信息源很少能夠產(chǎn)生隨機(jī)的信息，所以通常它的熵值小于理想值。在對(duì)信息加密后，一般希望它的熵H(m)=8。若加密后的信息熵值小于8，則會(huì)威脅到所加密圖像的安全性。

利用本算法對(duì)圖2(a)進(jìn)行加密得到圖2(c)，記錄圖2(c)中每一個(gè)不同像素值，并計(jì)算其出現(xiàn)的概率，最后可求出：

本文提出一種基于級(jí)聯(lián)混沌系統(tǒng)的圖像加密算法，采用由Logistic映射構(gòu)成的一維CML作為時(shí)空混沌系統(tǒng)，然后將它的輸出序列作為L(zhǎng)ogistic由某一初始值經(jīng)過(guò)特定次數(shù)的迭代后得到最終的密鑰序列。安全性分析表明，本算法的密鑰空間足夠大，使得暴力攻擊不可能。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，本算法具有較高的性能，在圖像加密和圖像傳輸中具有一定的潛在應(yīng)用價(jià)值。

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