基于馬爾可夫鏈的EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化及其實(shí)現(xiàn)

白雙梅，杜福洲

（北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191）

基于馬爾可夫鏈的EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化及其實(shí)現(xiàn)

白雙梅，杜福洲

（北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191）

0 引言

SPC是一種借助數(shù)理統(tǒng)計(jì)理論的過(guò)程質(zhì)量控制方法，通常采用控制圖來(lái)達(dá)到過(guò)程控制的目的。

傳統(tǒng)的休哈特控制圖的統(tǒng)計(jì)變量只與當(dāng)前觀測(cè)值相關(guān)，而忽略大量過(guò)程歷史數(shù)據(jù)中包含的信息，因此，傳統(tǒng)的休哈特控制圖對(duì)小偏移過(guò)程不敏感，往往會(huì)造成漏判情況的出現(xiàn)。為此，研究者們提出了累積和（CUSUM）控制圖和指數(shù)加權(quán)滑動(dòng)平均（EWMA）控制圖來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)小偏移過(guò)程的監(jiān)控。

EWMA控制圖的性能取決于參數(shù)（平滑系數(shù)λ、控制線參數(shù)L）的選取，因此，EWMA控制圖參數(shù)的選取直接影響控制圖對(duì)小偏移過(guò)程的控制效果。有關(guān)控制圖參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題日益引起廣泛關(guān)注，相關(guān)研究人員曾提出以田口質(zhì)量損失函數(shù)最小為目標(biāo)的CUSUM控制圖優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，應(yīng)用馬爾可夫鏈研究了多元指數(shù)移動(dòng)平均控制圖及MCUSUM控制圖中ARL計(jì)算的數(shù)學(xué)模型[1～3]，設(shè)計(jì)監(jiān)控EWMA控制圖均值和方差的經(jīng)濟(jì)控制圖[4]，在文獻(xiàn)[5]中基于馬爾可夫鏈法對(duì)EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化算法進(jìn)行了研究。

學(xué)術(shù)界和實(shí)際應(yīng)用中常用平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)（average run length，ARL）作為控制圖性能評(píng)價(jià)指標(biāo)。運(yùn)行鏈長(zhǎng)（run length，RL）是對(duì)給定的質(zhì)量水平、控制圖從開(kāi)始應(yīng)用到發(fā)出報(bào)警所抽取的樣本數(shù)，為隨機(jī)量，其分布狀況可以作為控制圖應(yīng)用的決策依據(jù)。ARL是RL的期望值，理想控制圖的特點(diǎn)是：過(guò)程受控時(shí)，ARL值盡可能大；過(guò)程失控時(shí)，ARL值盡可能小。目前，常用的ARL計(jì)算方法有三種，即蒙特卡羅仿真法、積分法、馬爾可夫鏈法?；隈R爾可夫鏈法的EWMA控制圖ARL計(jì)算算法原理是：將EWMA控制圖的上下控制線之間的區(qū)間分成k（k為奇數(shù)）個(gè)子區(qū)間，將EWMA控制圖繪制的過(guò)程近似看成一個(gè)離散的馬爾可夫鏈（k的取值越大，該過(guò)程越近似于馬爾可夫鏈，則ARL可以用轉(zhuǎn)移概率矩陣表示。

本文在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地研究了基于馬爾可夫鏈的EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化方法，基于matlab進(jìn)行仿真驗(yàn)證，總結(jié)出具體的EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化步驟，并基于J2EE平臺(tái)實(shí)現(xiàn)EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)，進(jìn)而與傳統(tǒng)的控制進(jìn)行了比較研究。

1 EWMA控制圖

設(shè)X，N(μ0,σ02)其中μ0和σ02分別是過(guò)程處于受控狀態(tài)時(shí)的均值和方差。X1,X2,L,Xn（n為樣本容量），是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，其中Xi為第i個(gè)樣本值，則EWMA統(tǒng)計(jì)量為：

由式(2)可見(jiàn)，距離當(dāng)前越遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)，權(quán)重越小，以指數(shù)形式遞減。

根據(jù)上述模型及六西格瑪原則，EWMA控制圖上、下控制限UCL和LCL，分別為[5]：

式中，n為樣本容量，λ為平滑系數(shù)，L為確定控制線的參數(shù)。由此可見(jiàn)，平滑系數(shù)λ及控制線參數(shù)L的選取是影響EWMA控制圖對(duì)小偏移控制的重點(diǎn)因素。

2 基于馬爾可夫鏈的ARL計(jì)算方法

圖1 馬爾可夫鏈狀態(tài)空間劃分示意圖

將EWMA控制圖繪制的過(guò)程近似看成一個(gè)離散的馬爾可夫鏈（k的取值越大，該過(guò)程越近似于馬爾可夫鏈），用Si(i=1,2,…,k)表示該馬爾可夫鏈的狀態(tài)，且設(shè)Si為子區(qū)間的中心點(diǎn)，則

統(tǒng)計(jì)量zi落在控制限之外的狀態(tài)表示為Sa，Si假設(shè)zi一旦超出控制限不會(huì)自動(dòng)返回，則Sa為一個(gè)吸收態(tài)。這樣整個(gè)EWMA的監(jiān)控過(guò)程就可以描述為帶有一個(gè)吸收壁的馬爾可夫鏈。該馬爾可夫鏈的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P可表示為

式中，R為k×k矩陣，表示從轉(zhuǎn)移狀態(tài)Si到轉(zhuǎn)移狀態(tài)Sj的概率Pij(i=1,2,…,k)。I為k×k單位矩陣，1為所有元素均為1的k×1列向量，0為所有元素均為0的k×1列向量。Pij可表示為：

由馬爾可夫鏈的定義，第i步轉(zhuǎn)移概率矩陣Pi可表示為

則鏈長(zhǎng)PL=i的概率可以表示為

式中，Pinitial為初始狀態(tài)概率，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)設(shè)恒從中心點(diǎn)出發(fā)，因此

3 EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化算法

基于上述計(jì)算EWMA控制圖ARL的數(shù)學(xué)模型，總結(jié)了EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化算法。

EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化算法流程如圖2所示：

圖2 EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化算法流程

對(duì)于給定參數(shù)（λ,L）的EWMA檢驗(yàn)方案來(lái)說(shuō)，對(duì)過(guò)程的不同質(zhì)量水平進(jìn)行檢驗(yàn)，其效果表現(xiàn)在它的ARL值。反之，對(duì)于一個(gè)具有不同質(zhì)量水平的過(guò)程來(lái)說(shuō)，其效果表現(xiàn)在給定受控平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)值（ARL0）的情況下，能推導(dǎo)出適合的檢驗(yàn)方案（λ,L）。

在進(jìn)行EWMA控制圖的設(shè)計(jì)時(shí)，參數(shù)λ和L的選取至關(guān)重要?；贏RL的EWMA控制圖參數(shù)（λ,L）優(yōu)化算的一般步驟如下：

1）先確定參數(shù)：置信度α、樣本容量n、欲控過(guò)程偏移量δ、標(biāo)準(zhǔn)差σ、馬爾可夫鏈區(qū)間劃分?jǐn)?shù)k、控制線參數(shù)變化范圍LN，并計(jì)算出ARL0；

2）然后，計(jì)算滿(mǎn)足ARL0的幾組（λ,L）值對(duì)，擬合λ與L的回歸曲線；

3）擬合λ、L的回歸方程，以一定間隔取得（λ,L）值對(duì)；

4）根據(jù)（λ,L）值對(duì)及給定參數(shù)，計(jì)算取該參數(shù)時(shí)的ARL值；

5）計(jì)算ARL與λ的回歸方程，尋找ARLmin，從而得到優(yōu)化參數(shù)（λ0，λ0）。

基于ARL的EWMA控制圖參數(shù)選取的方法是：在ARL0已定的前提下，即控制圖的置信度已知，選取參數(shù)（λ,L）使得ARL1越小越好。

4 基于matlab的EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化

由前面基于馬爾可夫鏈的EWMA控制圖ARL的計(jì)算方法的研究可知，隨著區(qū)間劃分?jǐn)?shù)k的增加，EWMA控制圖繪制過(guò)程越來(lái)越趨向于馬爾可夫鏈過(guò)程；為驗(yàn)證算法的穩(wěn)定性，取k從10到190，步長(zhǎng)為4（δ=0.2,λ=0.2,L=2.7），基于matlab仿真ARL曲線如圖3所示。

圖3 子區(qū)間劃分?jǐn)?shù)對(duì)ARL計(jì)算結(jié)果的影響

隨著k的增加，ARL極限存在，由此可知，此過(guò)程可收斂。

下面研究EWMA控制圖參數(shù)對(duì)其過(guò)程控制的影響。

首先，研究不同控制線參數(shù)L(λ=0.23、k=50)下的EWMA控制圖操作特性（operation characteristic，OC）曲線，觀查控制線參數(shù)L對(duì)控制效果的影響，如圖4所示。

由曲線圖可見(jiàn)，L越大，ARL0越大，表示過(guò)程受控時(shí)誤判的概率越低。隨著偏移量δ增大，ARL呈下降趨勢(shì)，但L越大，ARL越大，也就意味著當(dāng)過(guò)程失控（δ＞0）時(shí)，漏判的概率隨L的增大

圖4 控制線參數(shù) 對(duì)EWMA控制圖OC曲線的影響

圖5 不同平滑系數(shù)λ下的EWMA控制圖OC曲線

由圖5可見(jiàn)，取不同平滑系數(shù)λ時(shí)， OC曲線存在交點(diǎn)δ?和δ??。δ=0時(shí)，λ越小，控制圖性能越優(yōu)。0＜δ＜δ?之間，λ越大，控制圖性能越優(yōu)。δ?＜δ＜δ??時(shí)，隨λ的減小控制圖性能變好；δ＞δ??時(shí)，控制圖的性能趨同。

5 EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化實(shí)例

根據(jù)第4部分的結(jié)論，EWMA控制圖的性能與控制線參數(shù)L、平滑系數(shù)λ以及過(guò)程均值偏移量δ相關(guān)。顯然，需要根據(jù)過(guò)程均值波動(dòng)的不同，選擇不同的參數(shù)。下面根據(jù)具體案例演示控制圖參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)界面及優(yōu)化參數(shù)選取過(guò)程。

在軸的車(chē)削加工過(guò)程當(dāng)中，由于溫度升高以及磨損等原因?qū)е碌毒弑诺?，因而軸的直徑發(fā)生了小偏移，假設(shè)偏移量為δ=1.0。為此，采用EWMA控制圖對(duì)軸的直徑進(jìn)行過(guò)程監(jiān)控，下面研究監(jiān)控軸直徑的EWMA控制圖參數(shù)選取具體步驟：

1）在一定置信度（α=0.005）下，確定受控平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)ARL0（200）、馬爾可夫鏈的子區(qū)間劃分?jǐn)?shù)k(50)以及欲控偏移量δ（本例中為1.0）；

2）設(shè)δ=0，采用java計(jì)算程序，根據(jù)已知條件，計(jì)算出在不同λ下滿(mǎn)足ARL0的L，通常選取λ=0.1,0.2,L,0.9，見(jiàn)表1。然后采用回歸方法求出L與λ之間的關(guān)系式，如式15所示。

表1 幾組符合條件的（λ,L）值對(duì)計(jì)算結(jié)果

采用基于J2EE開(kāi)發(fā)的控制圖參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)演示λ與L的擬合曲線，得到λ與L之間的擬合曲線如圖6所示。

圖6 λ與L擬合曲線圖

3）在λ軸以0.01為間距，在λ、L的關(guān)系曲線上獲得（λ,L）值對(duì)。

4）計(jì)算取不同（λ,L）值對(duì)、過(guò)程偏移量δ=1.0時(shí)的ARL0值。的計(jì)算結(jié)果曲線如圖7所示。

圖7 δ=1.0時(shí)ARL1.0與λ的關(guān)系曲線

5）從ARL1.0與λ的關(guān)系曲線，計(jì)算得到ARL1.0的最小值min(ARL1.0)=8.1341，以及此時(shí)對(duì)應(yīng)的平滑系數(shù)λ0=0.17，在圖6上計(jì)算λ0=0.17所對(duì)應(yīng)的控制線L0=0.17。此時(shí)的λ0=0.17、L0=2.6517即為該條件下EWMA控制圖的優(yōu)化參數(shù)。對(duì)于優(yōu)化后的EWMA控制圖，其在不同偏移量下的OC曲線如圖8所示。

圖8 δ=1.0時(shí)最優(yōu)參數(shù)下的OC曲線

在相同置信度α=0.9973及偏移量δ=0.17下，用matlab仿真休哈特控制圖和取不同參數(shù)的EWMA控制圖的ARL隨均值漂移的變化情況，表2比較了ARL計(jì)算結(jié)果：

由上述分析可見(jiàn)，當(dāng)均值發(fā)生微小偏移δ＞0.5σ時(shí)，EWMA控制圖能比休哈特控制圖更即時(shí)地檢測(cè)出異常，因此對(duì)小偏移的控制更為靈敏，且在相同置信度α=0.9973下，參數(shù)取λ0=0.17、L0=2.8912時(shí)對(duì)偏移量δ=1.0最敏感，參數(shù)（λ0=0.17、L0=2.8912）即為置信度α=0.9973、偏移量δ=1.0下設(shè)計(jì)出的最優(yōu)參數(shù)組合。

表2 休哈特控制圖與EWMA控制圖不同參數(shù)下的ARL

6 結(jié)論

本文研究監(jiān)控小偏移過(guò)程的EWMA控制圖參數(shù)（λ、L）優(yōu)化問(wèn)題，基于馬爾可夫鏈法對(duì)EWMA控制圖的參數(shù)優(yōu)化算法進(jìn)行深入研究，并用matlab對(duì)EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，總結(jié)出在一定置信度及特定小偏移量下計(jì)算最優(yōu)參數(shù)組合的一般步驟，通過(guò)比較驗(yàn)證了優(yōu)化參數(shù)的正確性，在上述研究的基礎(chǔ)上，基于J2EE平臺(tái)實(shí)現(xiàn)了控制圖參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)界面。

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Parameter optimization and implementation for ewma control chart based on markov chain

BAI Shuang-mei, DU Fu-zhou

EWMA控制圖的性能取決于其參數(shù)的選取，學(xué)術(shù)界和工業(yè)界常采用平均運(yùn)行鏈長(zhǎng)作為控制圖性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，本文對(duì)基于馬爾可夫鏈的EWMA控制圖的參數(shù)（平滑系數(shù) 、控制線參數(shù) )優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究：給出了一種EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化方法及一般步驟；采用matlab平臺(tái)對(duì)該算法進(jìn)行研究并基于J2EE平臺(tái)實(shí)現(xiàn)EWMA控制圖參數(shù)優(yōu)化系統(tǒng)界面，給出示例計(jì)算，并與傳統(tǒng)的控制圖進(jìn)行了比較研究。

EWMA控制圖；小偏移過(guò)程；質(zhì)量控制；matlab仿真；參數(shù)優(yōu)化；系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)

白雙梅 (1985－ )，女，內(nèi)蒙人，碩士研究生，主要從事計(jì)算機(jī)集成制造、計(jì)算機(jī)輔助質(zhì)量管理、過(guò)程管理等方面的研究。

TH166;021;0242;TP391

A

1009-0134(2010)06-0064-05

10.3969/j.issn.1009-0134.2010.06.22

2009-08-18

總裝預(yù)研項(xiàng)目；國(guó)防基礎(chǔ)科研項(xiàng)目