平面鉸鏈五桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化綜合平衡

周世才，楊玉虎，沈 煜，沈兆光

(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300072)

在高速機(jī)械中，運(yùn)動(dòng)構(gòu)件要產(chǎn)生較大的慣性力和慣性力矩，機(jī)構(gòu)給機(jī)座一個(gè)擺動(dòng)力和一個(gè)擺動(dòng)力矩，它們對(duì)機(jī)械的運(yùn)轉(zhuǎn)造成多方面的不良影響．要克服這些不良影響，就必須進(jìn)行機(jī)構(gòu)的平衡．

對(duì)于機(jī)構(gòu)的平衡，按機(jī)構(gòu)的平衡程度可分為完全平衡和部分平衡．機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩的完全平衡是一種理想的平衡方案．Berkof[1]曾采用加配重和平衡齒輪，提出了一種可完全平衡四桿機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩的方法，并指出雖然一般不能通過在機(jī)構(gòu)內(nèi)部加配重的方法來完全平衡擺動(dòng)力矩，但可采用附加轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方式來實(shí)現(xiàn)．Feng[2-3]以含有移動(dòng)副的四桿、五桿、六桿及八桿機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，提出了一種實(shí)現(xiàn)擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩完全平衡的方法．楊廷力等[4]和 Esat等[5]也在連桿機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩的完全平衡的一般理論研究方面做了大量工作．

由于擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩的完全平衡將會(huì)使機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)過分復(fù)雜、慣性大幅增加，因而部分平衡仍是在工程中常用的方法．這類方法可大致分為兩類：一類方法是在擺動(dòng)力完全平衡的條件下，盡量減小擺動(dòng)力矩[6-7]；另一類方法則是同時(shí)考慮擺動(dòng)力、擺動(dòng)力矩、輸入轉(zhuǎn)矩和運(yùn)動(dòng)副反力等指標(biāo)的優(yōu)化綜合平衡[8]．這兩類方法僅考慮系統(tǒng)輸入激勵(lì)而未計(jì)及系統(tǒng)自身動(dòng)態(tài)性能的影響，減振效果往往并不明顯．針對(duì)上述問題，Zhang等[9]以機(jī)座的振動(dòng)響應(yīng)為目標(biāo)函數(shù)，研究了處于彈性機(jī)座上的機(jī)構(gòu)平衡問題．Kochev等[10]采用機(jī)座的平均動(dòng)能和平均勢(shì)能分別衡量機(jī)座的振動(dòng)水平和機(jī)座傳遞到地基上的力．文獻(xiàn)[9-10]建立了配重與振動(dòng)響應(yīng)之間的關(guān)系，從而避免了平衡的盲目性．文獻(xiàn)[11]采用凸規(guī)劃的方法，對(duì)四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行平衡，該種方法收斂速度快、精度高，且能保證優(yōu)化結(jié)果為全局最優(yōu)點(diǎn)．

對(duì)于不同的應(yīng)用場合，五桿機(jī)構(gòu)需要采取不同的輸入組合，因而其運(yùn)動(dòng)也不盡相同．針對(duì)這一問題，筆者以鉸鏈五桿機(jī)構(gòu)為對(duì)象，以機(jī)座平均動(dòng)能、平均勢(shì)能以及平均動(dòng)能和平均勢(shì)能之和為目標(biāo)函數(shù)，采用文獻(xiàn)[11]提出的凸規(guī)劃方法，建立鉸鏈五桿機(jī)構(gòu)擺動(dòng)力、擺動(dòng)力矩優(yōu)化綜合平衡的理論模型，對(duì)一種同軸式五桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真計(jì)算．

1 理論模型

圖 1為機(jī)座的三自由度振動(dòng)模型．圖中，桿 O1O2和桿 O3O4為主動(dòng)桿，桿 O3O4繞原點(diǎn) O4逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，桿 O1O2繞原點(diǎn) O1逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，定義逆時(shí)針方向?yàn)榻俏灰频恼较?，機(jī)座與地基之間用彈簧系統(tǒng)k1、k2及 k3聯(lián)接．

以平面內(nèi)任意一點(diǎn)為原點(diǎn)建立固定坐標(biāo)系xOy；以機(jī)座上任意一點(diǎn)為原點(diǎn)建立與機(jī)座固聯(lián)的動(dòng)坐標(biāo)系 x5O5y5，當(dāng)機(jī)構(gòu)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)坐標(biāo)系 x5O5y5的橫軸與坐標(biāo)系xOy的橫軸平行；分別以鉸鏈點(diǎn)為原點(diǎn)建立橫軸正方向與各桿重合的動(dòng)坐標(biāo)系 xiOiyi，i= 1 ,2,3,4．

圖1 機(jī)座的三自由度振動(dòng)模型Fig.1 Three-degree vibration model of frame

1.1 目標(biāo)函數(shù)

建立機(jī)座的動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，為了規(guī)避數(shù)學(xué)處理過于復(fù)雜，對(duì)系統(tǒng)做如下假設(shè)：

(1)忽略各構(gòu)件的彈性變形；各構(gòu)件的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量遠(yuǎn)小于機(jī)座的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

(2)忽略各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)與機(jī)座的振動(dòng)響應(yīng)的耦合．

基于以上假設(shè)，機(jī)座的振動(dòng)表達(dá)式為

1.2 約束條件

由文獻(xiàn)[11]可知，配重轉(zhuǎn)動(dòng)慣量滿足

配重質(zhì)量和位置的約束條件為

引入一個(gè)線性變量w及其相應(yīng)的約束方程，根據(jù)文獻(xiàn)[11]，將該機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩的優(yōu)化平衡問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)凸規(guī)劃問題，其數(shù)學(xué)模型為

2 算 例

由于忽略各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)與機(jī)座振動(dòng)響應(yīng)的耦合，因此可先假設(shè)機(jī)構(gòu)附加在剛性機(jī)座上，通過機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析計(jì)算出各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，然后再利用上述理論模型計(jì)算擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩，并對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化綜合平衡．

圖2 同軸式五桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型Fig.2 Kinematic model of coaxial five-bar linkages

針對(duì)工程實(shí)際中常用的同軸式五桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化綜合平衡，如圖2所示．設(shè)桿12OO繞原點(diǎn)1O以修正正弦運(yùn)動(dòng)規(guī)律逆時(shí)針方向間歇轉(zhuǎn)動(dòng)；桿 O3O4繞原點(diǎn)O4逆時(shí)針方向勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．對(duì)應(yīng)桿 O3O4回轉(zhuǎn)一周，桿O1O2回轉(zhuǎn)一周的同時(shí)，完成 6次間歇運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)停時(shí)間比為3∶1．

表1 配重約束條件Tab.1 Constrains of counterweight m

表2 機(jī)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Parameters of linkages

分別以機(jī)座的平均動(dòng)能、平均勢(shì)能、平均動(dòng)能和平均勢(shì)能之和為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)如表2所示的二自由度平面五桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩的優(yōu)化綜合平衡，分別得到各桿的配重參數(shù)，如表 3所示．為了說明平衡的效果，以平均動(dòng)能為目標(biāo)函數(shù)的情況為例，對(duì)應(yīng)勻速桿回轉(zhuǎn)一周，平衡前后機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩、機(jī)座的振動(dòng)響應(yīng)分別如圖3和圖4所示．由圖3可見，機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩的幅值均有大幅降低；由圖 4可見，機(jī)座的振動(dòng)響應(yīng)得到了明顯的改善．

表3 配重參數(shù)Tab.3 Parameters of counterweight

圖3 機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩Fig.3 Shaking force and shaking moment of linkages

圖4 機(jī)座的振動(dòng)響應(yīng)Fig.4 Vibration responses of frame

3 結(jié) 論

(1)在建立機(jī)座三自由度受迫振動(dòng)模型的基礎(chǔ)上，以平衡動(dòng)能、平均勢(shì)能以及平衡動(dòng)能和平均勢(shì)能之和為目標(biāo)函數(shù)，建立了平面鉸鏈五桿機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩優(yōu)化綜合平衡的一般數(shù)學(xué)模型，并將該模型轉(zhuǎn)化為凸規(guī)劃相應(yīng)的格式；文中方程的推導(dǎo)具有一般性，因而對(duì)該類機(jī)構(gòu)的優(yōu)化綜合平衡具有一般意義.

(2)對(duì)一種同軸式五桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化綜合平衡，結(jié)果表明，平衡后的機(jī)構(gòu)的擺動(dòng)力和擺動(dòng)力矩的幅值大幅降低，機(jī)座振動(dòng)響應(yīng)得到明顯改善，從而驗(yàn)證了該方法的可行性．

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