矩形雙層索網(wǎng)的非線性自振

郭作杰

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矩形雙層索網(wǎng)的非線性自振

郭作杰

(常德市廣播電視大學(xué), 湖南 常德, 415000)

研究了矩形雙層索網(wǎng)的自由振動. 在考慮溫度變化的基礎(chǔ)上, 建立了矩形雙層索網(wǎng)非線性振動控制方程, 采用Galerkin原理及L-P法求出了矩形雙層索網(wǎng)非線性振動的近似解, 并得到了索網(wǎng)層間接觸力的近似解. 結(jié)合算例討論了溫度、線性強(qiáng)化、振幅等因素對矩形雙層索網(wǎng)非線性振動的影響, 為矩形雙層索網(wǎng)的抗震設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù). 算例表明, 矩形雙層索網(wǎng)固有頻率隨著溫度的升高而減小, 其振動具有較強(qiáng)的非線性, 自振頻率隨著振幅發(fā)生變化, 其非線性振動呈現(xiàn)“硬彈簧”特性, 非線性自振頻率高于線性頻率, 線性強(qiáng)化狀態(tài)時(shí)的非線性振動自振頻率低于在線性彈性狀態(tài)時(shí)的非線性振動自振頻率.

線性強(qiáng)化; 矩形雙層索網(wǎng); 非線性自振

矩形雙層索網(wǎng)的特點(diǎn)是穩(wěn)定性好, 抗震性能較強(qiáng)、整體剛度大, 反向曲率的索網(wǎng)可以對整個(gè)屋蓋體系施加預(yù)應(yīng)力來增強(qiáng)屋蓋的整體穩(wěn)定性. 因此, 矩形雙層索網(wǎng)在土木建筑工程中得到了應(yīng)用, 例如吉林滑冰館、無錫縣體育館就是采用了矩形雙層索網(wǎng)作為屋蓋支承體系[1]. 眾所周知, 金屬材料過了屈服階段后, 又恢復(fù)了抵抗變形的能力, 要使它繼續(xù)變形必須增加應(yīng)力, 這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化. 而組成矩形雙層索網(wǎng)的鋼絲索經(jīng)過冷拉時(shí)效后會表現(xiàn)出明顯的強(qiáng)化效應(yīng), 所以研究具有強(qiáng)化效應(yīng)矩形雙層索網(wǎng)結(jié)構(gòu)的非線性振動, 對合理地利用材料來設(shè)計(jì)線性強(qiáng)化材料矩形雙層索網(wǎng)是有理論指導(dǎo)意義的. 文獻(xiàn)[2]采用線性方法研究了橢圓平面雙曲拋物面索網(wǎng)的自振特性；文獻(xiàn)[3]研究了線性強(qiáng)化單層索的線性振動；文獻(xiàn)[4-6]研究了單層索網(wǎng)體系的非線性自振特性. 但是, 至今未見到研究線性強(qiáng)化材料矩形雙層索網(wǎng)非線性自振特性的文獻(xiàn). 基于上述因素, 本文研究了線性強(qiáng)化材料矩形雙層索網(wǎng)的非線性自振特性.

1 矩形雙層索網(wǎng)的近似解

對于圖1所示矩形雙層索網(wǎng), 為了研究其非線性自振特性, 可做如下基本假設(shè).

a. 索網(wǎng)的索是理想柔性的; b. 索的變形是小垂度的; c. 上下索網(wǎng)之間的連桿絕對剛性; d. 連桿對上下索網(wǎng)形成的層間接觸力連續(xù)分布; e. 索材料滿足虎克定律.

圖1 矩形平面雙層索網(wǎng)

由彈性振動理論可知, 矩形雙層索網(wǎng)屋蓋體系上、下索網(wǎng)的非線性振動控制方程為:

線性強(qiáng)化材料的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系為:

以矩形雙層索網(wǎng)的中心為坐標(biāo)原點(diǎn), 由彈性理論可知上下索網(wǎng)的拉力增量分別為:

式中,1、2、3、4分別為上下索在、方向的垂度和拱度.

在實(shí)際工程中, 由于工程設(shè)計(jì)人員對結(jié)構(gòu)的基頻尤為關(guān)注, 因此可設(shè)矩形雙層索網(wǎng)橫振位移為:

把式(3)-(6)代入式(7)中, 利用伽遼金原理可得:

(8)

式中,

設(shè)式(8)的初始條件為:

利用L-P法及式(9)對式(8)求解可以得到線性強(qiáng)化材料矩形雙層索網(wǎng)非線性自振頻率及固有橫振位移分別為:

把式(5)、(11)代入式(1)即可得到線性強(qiáng)化材料雙層索網(wǎng)上下索網(wǎng)中心的層間接觸力為:

2 算例分析及討論

a = 0.15 m, x = y = 0.

a = 0.15 m, x = y = 0.

ΔT=15℃, x = y = 0.

表1 矩形雙層索網(wǎng)在不同溫度變化ΔT下非線性振動固有頻率/Hz

注：括號內(nèi)數(shù)值為采用文獻(xiàn)[7]差分法計(jì)算結(jié)果.

對結(jié)果(圖2-4及表1)進(jìn)行分析可知：

彈性材料索網(wǎng)的固有頻率小于線性強(qiáng)化材料索網(wǎng)固有頻率. 當(dāng)振幅一定時(shí), 隨著溫度的增加, 線性強(qiáng)化材料索網(wǎng)或彈性材料索網(wǎng)的非線性自振頻率將變??；當(dāng)溫度一定時(shí), 隨著振幅的增大, 線性強(qiáng)化材料索網(wǎng)或彈性材料索網(wǎng)的非線性自振頻率將增大. 這說明索網(wǎng)非線性振動呈“硬彈簧”特性. 與一般結(jié)構(gòu)不同, 由于索網(wǎng)在振動過程中索力不斷變化導(dǎo)致其剛度變化, 故實(shí)際上它屬于非線性硬化剛度體系.

溫度變化對鋼絲索網(wǎng)振動時(shí)程曲線影響不大, 且隨著溫度升高索網(wǎng)時(shí)程曲線運(yùn)動將滯后；而溫度變化對線性強(qiáng)化材料索網(wǎng)振動時(shí)程曲線幾乎無影響, 但溫度變化對彈性材料索網(wǎng)的非線性振動的影響稍大些. 在索網(wǎng)截面積相同的條件下, 彈性材料索網(wǎng)結(jié)構(gòu)層間接觸力小于線性強(qiáng)化材料索網(wǎng)層間接觸力. 振幅的增大將使索網(wǎng)層間接觸力變大, 溫度的升高將使索網(wǎng)層間接觸力變小.

[1] 沈世釗. 中國懸索結(jié)構(gòu)的發(fā)展[J]. 工業(yè)建筑, 1994, 24(6): 3-9.

[2] 賈乃文. 線性強(qiáng)化材料索網(wǎng)的振動分析[J]. 力學(xué)與實(shí)踐, 2001, 23(3): 46-47.

[3] 楊慶山, 孫學(xué)東. 橢圓平面雙曲拋物面索網(wǎng)的自振特性[J]. 哈爾濱建筑大學(xué)學(xué)報(bào), 1997, 30(4): 35-40.

[4] 石永久, 吳麗麗, 王元清．單層索網(wǎng)體系非線性自振特性研究[J]．振動工程學(xué)報(bào), 2006, 19(2): 173-178.

[5] 馮若強(qiáng), 武岳, 沈世釗．單層平面索網(wǎng)結(jié)構(gòu)非線性頻率簡化計(jì)算方法研究[J]. 工程力學(xué), 2007, 24(10): 87-91.

[6] 尚仁杰, 李謙, 吳轉(zhuǎn)琴, 等. 基于最小能量原理的矩形平面預(yù)應(yīng)力索網(wǎng)結(jié)構(gòu)大變形自由振動研究[J]. 振動與沖擊, 2007, 26(9): 158-161.

[7] 賈乃文. 非線性空間結(jié)構(gòu)力學(xué)[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2002: 38-42.

Nonlinear vibration of rectangular two-layer cable net

GUO Zuo-jie

( The Radio & Television University of Changde, Changde 415000, China)

The research on nonlinear vibration property is of vital importance for further investigation on the wind-indu- ced responses of rectangular two-layer cable net. Thus it was studied that the nonlinear natural vibration of rectangular two-layer cable net. Meanwhile the nonlinear vibration governing equation was presented on the basis of considering te- mperature changing .And the approximate solution of nonlinear natural vibration of rectangular two-layer cable net and the cable’s contacting forces were given by use of the Galerkin principle and L-P method. Then something that affect its nonlinear vibration, such as the amount of temperature changing, linear hardening, as well as vibrational amplitude were discussed with example, and the work been done providing theoretical basis for seismic design of rectangular two-layer cable net. The result indicates that frequency of rectangular two-layer cable net will decreases, which resulted in the inc- reases of temperature, the vibration of rectangular two-layer cable net belongs to the nonlinear system, and its frequencies vary with the amplitude of vibration, which shows hard spring characteristic, its nonlinear vibration frequency is higher than linear vibration frequency, and its nonlinear vibration frequency in linear hardening status is lower than that in linear elastic status.

linear hardening; rectangular two-layer cable net; nonlinear vibration

O 322

A

1672-6146(2010)03-0077-04

10.3969/j.issn.1672-6146.2010.03.020

2010-08-22

郭作杰(1963-), 男, 副教授, 研究方向?yàn)榻Y(jié)構(gòu)力學(xué).