基于分形理論的湘江流域洪水分期研究

石月珍 ，李 淼 ，鄭仰奇

(1.長沙理工大學水利工程學院，湖南長沙410114;2.湖南省水沙科學與水災害防治重點實驗室，湖南長沙410114)

湘江流域地處濕潤多雨地區(qū)，降雨充沛。然而，由于降水時空分布極不均勻，70%的降雨量集中在汛期，大量的水資源在春夏以洪水的形式體現(xiàn)，而且年際豐枯變化很大，容易形成非澇即旱，旱澇交替發(fā)生的局面。毛德華等[1]的研究指出，1949—1998年間，湘江流域中下游區(qū)平均1.7 a發(fā)生一次洪澇災害。而1998年、1999年和2003年秋冬季曾遇特大干旱，湘江長沙段創(chuàng)歷史最低水位，自來水廠取水頻頻告急，2009年10月6日湘潭水文站最低水位25.06 m，更是創(chuàng)歷史新低。湘江流域水資源供需矛盾十分尖銳，嚴重阻礙了長株潭城市群兩型社會配套改革試驗區(qū)的建設。很多學者和專家提出了洪水資源化的管理理念并進行研究，取得了不少成果[2-4]。對于湘江流域，在保證防洪安全的前提下，利用流域蓄、滯洪工程對汛期洪水實行分期調(diào)度將是解決水資源供需矛盾，提高洪水資源利用效率的重要舉措。因此，對湘江流域汛期洪水進行合理分期就顯得尤為重要。

洪水具有季節(jié)性變化規(guī)律，在洪水資源利用過程中，必須考慮這種特性。目前洪水分期的劃分一般靠經(jīng)驗方法確定，將洪峰量級大體一致的時段劃分為一個分期，這種方法帶有主觀性。洪水流量隨季節(jié)、時間變化的過程是自然界中的一種復雜現(xiàn)象，在這種復雜現(xiàn)象的背后隱藏著特定的規(guī)律性，這種規(guī)律性在通常尺度不變規(guī)則下不易直觀觀測到，在分形理論特定尺度變換規(guī)則下，其規(guī)律性則顯而易見。且洪水點據(jù)系列具有隨機性、非線性、確定性和相似性，洪水點據(jù)系列的這些特性與分形理論研究的對象一致，因此可應用分形理論進行洪水分期的研究。

目前國內(nèi)外在分形研究中普遍的做法是在對研究對象自相似性的定性認識基礎上，根據(jù)lnNN(ε)—ln(ε)關(guān)系曲線中是否存在直線段即無標度區(qū)來判斷是否為分形的[5-9]。本文的研究即是在上述宗旨下進行的。

1 分形維數(shù)的計算

樣本集具有標度不變性是以分形維數(shù)來定量的，即分形維數(shù)是一個常數(shù)。在一個洪水分期中如果分形維數(shù)Dc是相近的，那么就稱為同一洪水分期[10]。一般選用容量維進行分維計算[11]，即對于一個時間序列且對任意ε，在尺度小于ε的不規(guī)則集下，觀察ε→0時其度量 N(ε)的變化。分形維數(shù)Dc可用下式表示:

顯然當ε≈0時，下式成立:

點繪lnN(ε)—ln(ε)圖形，如果曲線中間直線段存在，則可認為此序列為分形，直線段的斜率為Dc，即計算出分形維數(shù)。

Smally等[12]在計算新赫布里底群島地震譜系列的時間分維時，引入了一個新的量NN，即相對度量:

式中:N(ε)——絕對度量;NT——劃分的總時段數(shù)，NT≈T/ε，T——研究時段總長;ε——時段步長。作出 lnNN(ε)—ln(ε)關(guān)系圖 ，若直線段的斜率為b，則容量維Dm為:

式中:d——拓撲維，洪水流量散點分布在Q—t二維平面上，故d取2，則容量維Dm=2-b。

2 湘江流域洪水分期

2.1 傳統(tǒng)方法確定洪水分期

湘潭水文站是國家重要水文站和湘江干流控制站，集水面積 81 638 km2。本文以湘潭水文站1997—2007年汛期實測日流量資料(4月1日至9月10日)作為分析對象，取歷年汛期日最大流量作為研究系列樣本。

如前所述，傳統(tǒng)洪水分期的劃分一般靠經(jīng)驗確定，即將洪水量級大體一致的時段劃分為一個分期。具體做法為:以湘潭水文站1997—2007年歷年汛期實測日最大流量數(shù)據(jù)為基礎，繪制以時間為橫軸，流量值為縱軸的流量過程散點圖，如圖1所示。

圖1 湘潭水文站歷年汛期實測日最大流量散點

從圖2—4可以看出，lnNN(ε)—ln(ε)曲線中有直線段存在，可初步斷定洪水點據(jù)序列為分形。此外，還可看出，汛期各分期 lnNN(ε)—ln(ε)關(guān)系曲線簇中，A，B曲線的直線段斜率大體一致，而C曲線中直線段的斜率與A，B曲線的直線段斜率相差較大。因此，可認為B曲線對應的時期作為一個分期。據(jù)此，本文將湘潭水文站汛期洪水分期劃分為3段。表1列出了湘潭水文站汛期洪水分期結(jié)果。按照傳統(tǒng)經(jīng)驗統(tǒng)計分析，由圖1可以看出，洪水分期分界點大概在5月10日，7月31日前后。如果洪水期劃分為3個洪水分期，那么第一個分期從4月1至5月9日，稱為前汛期;第二分期從5月10至7月31日，稱為主汛期;第三分期從8月1日至9月10日，稱為后汛期。

圖2 前汛期lnNN(ε)—ln(ε)曲線關(guān)系變化情況

表1 分形分析法得到的湘江湘潭水文站洪水分期結(jié)果

圖3 主汛期lnNN(ε)—ln(ε)曲線關(guān)系變化情況

圖4 后汛期lnNN(ε)—ln(ε)曲線關(guān)系變化情況

2.2 分形法確定洪水分期

在一定的切割水平下，用尺度變換法求容量維數(shù)。具體步驟為:

(1)取樣本點據(jù)系列:X1，X2 ，…，Xi，…，Xn。

(2)根據(jù)樣本點據(jù)的跨度，確定總時段長T。

(3)取定能反映某一洪水分期的樣本固定值YQ。

(4)取某一時段長ε作為時間尺度，量度樣本值Xi超過YQ的時段數(shù)N(ε)。

(5)根據(jù)總時段長T和時間尺度ε，計算相對的時間尺度 NT=T/ε。

(6)計算相對量度值 NN(ε)=N(ε)/NT。

(7)計算 lnNN(ε)，ln(ε)，并將點據(jù)〔ln(ε)，lnNN(ε)〕點在 lnNN(ε)—ln(ε)相關(guān)圖上，獲得一個點。

(8)取不同的時間尺度ε，重復上述(4)—(7)步，獲得一系列點。

(9)在一系列點中，確定所存在的直線段，并求直線的斜率b，即可計算出總時段長為T的樣本分形的容量維數(shù)Dm=2-b。

(10)重復上述(1)—(9)步，得到不同總時段長為T的樣本分形的容量維數(shù)Dm，如Dm在某一時段T左右為基本相等，則這個 T時段即為分形法確定的一個洪水分期。

圖2列出了在一定切割水平下，湘潭水文站汛期各分期lnNN(ε)—ln(ε)關(guān)系曲線的變化情況。

2.3 傳統(tǒng)方法與分形法確定洪水分期結(jié)果比較

從圖1及其分析結(jié)論對比表1可以看出，傳統(tǒng)法與分形法確定的湘潭水文站洪水分期大體一致。與傳統(tǒng)方法相比，用分形理論劃分洪水分期，其結(jié)果相對較為客觀，受經(jīng)驗和人為影響較小，但分析計算的工作量較大。

3 結(jié)論

(1)水文現(xiàn)象的隨機性、非線性、確定性和相似性具有分形特性，以此作為應用分形理論劃分洪水分期的依據(jù)。本文利用分形理論確定了湘江湘潭水文站汛期洪水的分期，結(jié)果比較客觀、合理。

(2)由于選取樣本、切割水平以及水文序列本身的復雜性，洪水汛期的分期可能不同，更深入的水文序列時空分布的確定性、規(guī)律性及應用有待更深入的研究。

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