兩個(gè)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的廣義投影同步及電路實(shí)現(xiàn)

堵 威，方建安，唐 漾，龔信禮，趙晨圓

0 引 言

盡管分?jǐn)?shù)階積分和整數(shù)階積分有著幾乎同樣的300年歷史，但是分?jǐn)?shù)階積分很長(zhǎng)一段時(shí)間都沒(méi)有引起足夠多的關(guān)注。由于分?jǐn)?shù)階混沌動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)具有比整數(shù)階系統(tǒng)更為復(fù)雜、豐富的動(dòng)力學(xué)特性，以及具有隨機(jī)性和不可預(yù)測(cè)性增加等優(yōu)點(diǎn)，這使得其在通信、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域中的應(yīng)用更加廣泛[1-4]。眾多分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)被應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階力學(xué)領(lǐng)域中。

最近，許多學(xué)者開(kāi)始研究分?jǐn)?shù)階混沌動(dòng)力系統(tǒng)。由于混沌系統(tǒng)的不可預(yù)測(cè)性和初值敏感性，為了使分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)可控，學(xué)者們紛紛將研究重心放到分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步問(wèn)題上。Li C G用兩個(gè)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)進(jìn)行了主從系統(tǒng)同步[5]，Lu J G研究了分?jǐn)?shù)階Lü系統(tǒng)的同步[6]。為了使同步問(wèn)題在實(shí)際中得到更廣泛地應(yīng)用，考慮到在實(shí)際非線性系統(tǒng)中會(huì)產(chǎn)生時(shí)間延遲而提出的時(shí)滯同步[7]以及為了使用一種同步來(lái)表述多種同步特性而提出的投影同步和廣義投影同步，成為眾多學(xué)者的研究熱點(diǎn)。其中，廣義投影同步可以用于將二進(jìn)制數(shù)字通信延伸到M進(jìn)制數(shù)字通信，從而實(shí)現(xiàn)快速通信。Tang Y用了active控制和自適應(yīng)方法來(lái)實(shí)現(xiàn)整數(shù)階混沌系統(tǒng)的投影同步[8]。另外，一些學(xué)者在分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的模擬電路實(shí)現(xiàn)方面做了一些工作，Ahmad W M推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階階數(shù)α從0.1到0.9的1/sα展開(kāi)式[9]，王發(fā)強(qiáng)設(shè)計(jì)了單元電路實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階階數(shù)α從0.1到0.9的1/sα展開(kāi)式[10]，并且應(yīng)用于單個(gè)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)。然而，隨著兩個(gè)達(dá)到廣義投影同步的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在保密通信[11]中的作用日益突出，迅速找到實(shí)現(xiàn)兩個(gè)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)廣義投影同步的一般方法，以及對(duì)兩個(gè)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步實(shí)現(xiàn)模擬電路的設(shè)計(jì)則越發(fā)顯得重要。這也將為今后在實(shí)際中的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。

基于上述討論，本文首先考慮了兩個(gè)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的廣義投影同步問(wèn)題，借助非線性觀測(cè)器，給出實(shí)現(xiàn)廣義投影同步的一般方法，并建立了相關(guān)數(shù)學(xué)模型來(lái)證明方法的有效性。其次，使用Matlab進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真，表明其合理性。最后，基于Multisim軟件平臺(tái)，設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)投影同步問(wèn)題的電路模型，確定元件參數(shù)，給出正確的電路仿真結(jié)果，從而滿足了工程的需要，為今后兩個(gè)達(dá)到同步的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在保密通信等領(lǐng)域的應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。

1 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)

1.1 分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)

有關(guān)分?jǐn)?shù)階微分的定義有很多。最常用的定義就是Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階微分：

為了求解方便，常用復(fù)頻域轉(zhuǎn)換法，即通過(guò)Laplace變換，（1）式可轉(zhuǎn)化為：

如函數(shù)f（t）的初始值均為零，則（2）式可表示為

對(duì)于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)，認(rèn)為n維連續(xù)時(shí)間分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)有如下形式：

1.2 基于非線性觀測(cè)器的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的廣義投影同步

廣義投影同步（GPS）是從系統(tǒng)通過(guò)一個(gè)比例因子和主系統(tǒng)達(dá)到同步。如（β為比例因子）。

引理：

以下自治系統(tǒng)：

對(duì)于廣義投影同步，基于觀測(cè)器方法，利用系統(tǒng)（4），假設(shè)系統(tǒng)（4）的輸出為：

β為比例因子。

即誤差系統(tǒng)可表示為：

為了使分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)達(dá)到同步，即（A-BK）=0，反饋增益 K的選擇必須使（A-BK）矩陣的特征值滿足引理。時(shí)，系統(tǒng)（7）是系統(tǒng)（5）的觀測(cè)器，即時(shí)，。在這種情況下，極點(diǎn)配置的技巧將被應(yīng)用于獲得理想的（A-BK）的特征值，從而決定增益K。

2 基于非線性觀測(cè)器法達(dá)到同步的混沌系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

應(yīng)用非線性觀測(cè)器法時(shí)，這里選取分?jǐn)?shù)階臨界混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。

整數(shù)階臨界混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：

取系統(tǒng)參數(shù)a=10，b=40，c=2.5，k=1，h=4時(shí)，對(duì)于（10）式，其分?jǐn)?shù)階數(shù)學(xué)模型為：

即：

同時(shí)，根據(jù)公式（8），響應(yīng)系統(tǒng)可以被寫(xiě)成：

對(duì)于比例因子β的選取，并沒(méi)有太多限制，這里取正負(fù)兩個(gè)有代表性的比例因子β＝2和β＝－1。β＝2時(shí)，為了滿足引理，確定矩陣的所有特征值，此時(shí)可求得從而可以寫(xiě)出響應(yīng)系統(tǒng)為：

同理：β＝－1時(shí)，響應(yīng)系統(tǒng)為：

3 基于Matlab的數(shù)學(xué)模型仿真

運(yùn)用Matlab進(jìn)行仿真，取階數(shù)q＝0.9。當(dāng)β＝2時(shí)，設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初值分別為下圖給出誤差隨時(shí)間的波形圖。其中。由圖1可以看出，誤差在經(jīng)過(guò)不到1s的時(shí)間后，趨近于0，兩個(gè)系統(tǒng)達(dá)到同步。圖2是β＝2時(shí)，系統(tǒng)（12）和（13）同步的吸引子?？梢?jiàn)，系統(tǒng)（13）狀態(tài)矢量的幅值是系統(tǒng)（12）的2倍，兩系統(tǒng)的相位為同相，即系統(tǒng)（13）和系統(tǒng)（12）的吸引子按指定的比例因子達(dá)到廣義投影同步。

圖1 β＝2時(shí)，系統(tǒng)（12）和（13）的同步誤差曲線

當(dāng) β＝－1時(shí)，設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初值分別為下圖給出誤差e1，e2，e3隨時(shí)間的波形圖。其中由圖3可以看出，誤差在經(jīng)過(guò)不到1s的時(shí)間后，趨近于0，兩個(gè)系統(tǒng)達(dá)到同步。圖4是β＝－1時(shí)，系統(tǒng)（12）和（13）同步的吸引子?？梢?jiàn)，系統(tǒng)（13）狀態(tài)矢量的幅值和系統(tǒng)（12）的相同，兩系統(tǒng)的相位為反相，即系統(tǒng)（13）和系統(tǒng)（12）的吸引子按指定的比例因子達(dá)到廣義投影同步。

圖2 β＝2時(shí)，系統(tǒng)（12）和（13）的混沌吸引子:虛線為（13）的吸引子，實(shí)線為（12）的吸引子

圖3 β＝-1時(shí)，系統(tǒng)（12）和（13）的同步誤差曲線

圖4 β＝-1時(shí)，系統(tǒng)（12）和（13）的混沌吸引子:虛線為（13）的吸引子，實(shí)線為（12）的吸引子

4 基于Multisim的電路仿真

用Multisim軟件進(jìn)行電路設(shè)計(jì)，并進(jìn)行仿真。限于篇幅原因，仿真時(shí)只選用了比例因子β＝2的情形。

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為：

響應(yīng)系統(tǒng)為：

在這里，同樣選取階數(shù)q=0.9。

實(shí)現(xiàn)兩個(gè)系統(tǒng)的同步時(shí)，由混沌狀態(tài)圖可以看出在混沌狀態(tài)下信號(hào)的一般輸出電平達(dá)到近±60V。但是乘法器（如AD633）的最大工作電壓為10V，運(yùn)算放大器（如LM741）的最大工作電壓為±15V?？紤]到電路實(shí)現(xiàn)時(shí)的上述電壓限制，則進(jìn)行坐標(biāo)變換，將電路信號(hào)縮小到1/10。即做如下變換：

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

響應(yīng)系統(tǒng)方程轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

圖5 β＝2時(shí)的模擬電路圖

運(yùn)用基爾霍夫定理和模擬電路知識(shí)，則如圖5，得到驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)方程為：

響應(yīng)系統(tǒng)為：

設(shè)計(jì)參數(shù)如下表：

取R0=1KΩ，經(jīng)Multisim仿真后得到較好效果，仿真，響應(yīng)輸出u，v，w分別與驅(qū)動(dòng)輸出x，y，z的幅值比為2:1，即β＝2。實(shí)現(xiàn)了比例因子等于2的廣義投影同步。

5 結(jié)論

本文研究了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的廣義投影同步及其電路實(shí)現(xiàn)。首先，通過(guò)非線性觀測(cè)器，建立了相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，證明了其有效性。其次，選擇合適的參數(shù)和初值，采用Matlab進(jìn)行同步仿真，使得兩個(gè)分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步。最后，通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)钠骷?shù)，設(shè)計(jì)模擬電路，用Multisim進(jìn)行仿真實(shí)現(xiàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提出的方法，不僅是可行的而且是有效的，從而為今后兩個(gè)達(dá)到同步的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)在保密通信等領(lǐng)域的應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。

表1 元件參數(shù)表

[1]Bagley R L，Calico RA.Fractional order state equations for the control of viscoelastically damped structures[J].J Guid Control Dyn，1991，（14）:304-311.

[2]Koeller RC.Application of fractional calculus to the theory of viscoelasticity[J].J.ApplMech，1984，（51）:199.

[3]Sun H H，Abdelwahed AA，Onaral B.Linear approximation for transfer function with a pole of fractional order[J].IEEE Trans Autom Control，1984，（29）:441-444.

[4]Ichise M，Nagayanagi Y，Kojima T.An analog simulation of noninteger order transfer functions for analysis of electrode process[J].J Electroanal Chem，1971，（33）:253-265.

[5]Li C G，Liao X F，Yu J，Synchronization of fractional order chaotic systems[J]，Phys.Rev.E，2003，（68）.

[6]Lu J G，Chaotic dynamics of the fractional-order Lü system and its synchronization[J].Phys.Lett.A，2006，354:305-311.

[7]Tang Y，Qiu R H，F(xiàn)ang J A et.al，Adaptive lag synchronization in unknown stochastic chaotic neural networks with discrete and distributed time-varying delays[J].Phys.Lett A，2008，372:4425-4433.

[8]Tang Y，F(xiàn)ang J A，General methods for modified projective synchronization of hyperchaotic systems with known or unknown parameters[J].Phys.Lett A，2008，372:1816-1826.

[9]Ahmad W M，Sprott J C，Chaos in fractional-order autonomous nonlinear systems[J].Chaos，Solitons and Fractals，2003，（16）:339-351.

[10]王發(fā)強(qiáng)，劉崇新，分?jǐn)?shù)階臨界混沌系統(tǒng)及電路實(shí)驗(yàn)的研究[J].2006;55（8）:3922-06.

[11]汪學(xué)兵，張林華，李傳東，混沌同步及其在保密通信中的應(yīng)用[J].計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究，2007，（5）.