分層總和法計(jì)算地基沉降淺析

王 勇

1 概述

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)不少學(xué)者提出按國(guó)家規(guī)范GB 50007-2002建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計(jì)規(guī)范(以下簡(jiǎn)稱(chēng)國(guó)家規(guī)范)計(jì)算深基礎(chǔ)沉降時(shí)，常出現(xiàn)計(jì)算值比實(shí)測(cè)值高出很多的情況，因此有許多學(xué)者提出按基于Mindlin解的積分解求解比基于Boussinesq解的國(guó)家規(guī)范法要符合實(shí)際得多。但是不管是基于Mindlin解還是基于Boussinesq解的解答，都需要求出地基附加應(yīng)力，然后按分層總和法計(jì)算地基的變形，然而關(guān)于按Mindlin解求解后，再按分層總和法計(jì)算沉降時(shí)所需確定的地基變形計(jì)算深度及土層分層厚度等這些更為實(shí)際的問(wèn)題，卻少有學(xué)者對(duì)此做出探討，所見(jiàn)文獻(xiàn)都是繼續(xù)按照國(guó)家規(guī)范的方法確定地基計(jì)算深度，也沒(méi)有對(duì)土層進(jìn)行合理分層，如文獻(xiàn)[1][2]等。筆者通過(guò)電算與彈性理論解分析比較后發(fā)現(xiàn)，這樣計(jì)算將會(huì)與彈性理論解產(chǎn)生較大偏差，甚至?xí)a(chǎn)生危險(xiǎn)。因而本文旨在此問(wèn)題上做比較深入的探討，以期給工程人員設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)提供一些參考，下面先就分層總和法進(jìn)行論述。

2 分層總和法的缺陷

現(xiàn)行國(guó)家規(guī)范計(jì)算地基沉降的方法基礎(chǔ)都是分層總和法，本法計(jì)算的物理概念清楚，計(jì)算方法也很容易，易于在工程單位推廣應(yīng)用。但該方法本身一些假定與工程實(shí)際不符，同時(shí)也與經(jīng)典彈性解答的假定不一致。關(guān)鍵體現(xiàn)在假定土的變形條件為側(cè)限條件，即在建筑物荷載作用下，地基土層只產(chǎn)生豎向壓縮變形，側(cè)向不能膨脹變形，與經(jīng)典彈性理論的假定不一致，也與實(shí)際土有一定的差距。從本文下文可看出，當(dāng)?shù)鼗恋牟此杀葹?.4時(shí)，分層總和法計(jì)算沉降的結(jié)果比以Boussinesq為基礎(chǔ)的彈性理論解小18.5%左右，也就是說(shuō)，完全忽略側(cè)向變形分層總和法將產(chǎn)生18.5%左右的誤差。因此在運(yùn)用分層總和法計(jì)算地基沉降時(shí)，需要減小地基計(jì)算深度，當(dāng)然也不是越小越好，它存在一個(gè)臨界值，這個(gè)臨界計(jì)算深度將直接決定本方法的計(jì)算精度。由此國(guó)家地基規(guī)范給出了兩個(gè)計(jì)算地基變形深度的經(jīng)驗(yàn)公式，應(yīng)該說(shuō)，這兩個(gè)公式基本上能滿(mǎn)足工程要求，但是，從國(guó)家規(guī)范文獻(xiàn)[3]197頁(yè)給出的圖表可看出，計(jì)算的結(jié)果仍然具有較大的離散性，本文在下述中將對(duì)此做出分析，并為Mindlin積分解確定地基變形深度奠定基礎(chǔ)。

另外，文獻(xiàn)[4]提出分層總和法還存在假定基礎(chǔ)為完全柔性基礎(chǔ)的缺陷，此問(wèn)題Schleicher(1926年)曾做過(guò)分析，并指出剛性基礎(chǔ)的沉降比柔性基礎(chǔ)的沉降平均小7%左右，且列出了不同基礎(chǔ)形狀的具體差異，可參考文獻(xiàn)[5]，由于這個(gè)缺陷彈性理論同樣存在，本文不做更多探討。

為了能更清楚地說(shuō)明分層總和法與彈性理論解的差異，本文給出Harr彈性理論解析解答，從而與分層總和法進(jìn)行比較分析。

3 Harr彈性位移解

1966年，Harr給出均質(zhì)半無(wú)限空間彈性體矩形面積表面上，受豎向均布荷載作用下，深度為z處的矩形角點(diǎn)下豎向位移解答(見(jiàn)圖1)，基于此解答國(guó)內(nèi)極少見(jiàn)到，本文在此給出具體解析表達(dá)式(原文可參考文獻(xiàn)[5]):

其中，L為基礎(chǔ)長(zhǎng)度;b為基礎(chǔ)寬度;E為彈性模量;z為計(jì)算點(diǎn)深度。

4 分層總和法與彈性位移解的比較

為了能更清晰說(shuō)明問(wèn)題，特舉實(shí)例如下:設(shè)一矩形基礎(chǔ)，基礎(chǔ)埋深為0，承受P=100 MPa豎向均布?jí)毫?，基礎(chǔ)長(zhǎng)和寬相等，L=b，并從1 m變化到20 m，基礎(chǔ)下為均質(zhì)土，土的彈性模量 E=7 MPa，為了與分層總和法的假定一致，令土的泊松比 μ=0，使用分層總和法計(jì)算時(shí)，令地基深度分別取到基底以下10 m，100 m，1 000 m深處，計(jì)算基礎(chǔ)中心點(diǎn)的豎向位移，兩種方法計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 分層總和法與Harr彈性位移解的比較 mm

從解答結(jié)果很明顯可以證明兩種解答在理論上的一致性，即當(dāng)土的計(jì)算深度趨近于無(wú)窮大時(shí)，分層總和法計(jì)算結(jié)果與彈性位移解答一致。另外一點(diǎn)，比較基礎(chǔ)寬度為20 m時(shí)，取不同計(jì)算深度的計(jì)算結(jié)果，也說(shuō)明了基礎(chǔ)寬度的大小對(duì)計(jì)算深度的取值有很大影響。繼上述例子，再比較泊松比μ取不同值的情況，令μ分別為0，0.2，0.4，運(yùn)用Harr彈性位移解計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 不同 μ值時(shí)Harr位移解的比較 mm

比較表2中計(jì)算結(jié)果，μ=0時(shí)的計(jì)算結(jié)果比 μ=0.4的計(jì)算結(jié)果高出18.5%，即不考慮側(cè)向變形的分層總和法(μ=0)比彈性理論解(一般工程上計(jì)算常取土的μ=0.4左右)高出18.5%左右。因此，在運(yùn)用分層總和法時(shí)，不能將計(jì)算深度取到無(wú)限大，而是要取到一個(gè)合理深度，才能與彈性理論和工程實(shí)際一致。計(jì)算結(jié)果也能證明文獻(xiàn)[6]中的說(shuō)法是不恰當(dāng)?shù)?，文獻(xiàn)[6]提到，“沉降計(jì)算的深度，理論上應(yīng)計(jì)算至無(wú)限大，工程上……在受壓層(計(jì)算深度處)以下的土層附加應(yīng)力很小，所產(chǎn)生的沉降量可忽略不計(jì)”。顯然這種說(shuō)法不恰當(dāng)，分層總和法計(jì)算至某一深度的根本原因是分層總和法本身不能考慮側(cè)向變形引起的。

另外，表1中計(jì)算結(jié)果，當(dāng)計(jì)算深度取至無(wú)限大時(shí)，運(yùn)用分層總和法應(yīng)力解求出的沉降與直接位移解求出的沉降相等，也證實(shí)了Harr解是均質(zhì)地基的正確解答。既然Harr解是均質(zhì)地基的正確解答，對(duì)于均質(zhì)地基來(lái)說(shuō)，Harr解也就可以檢驗(yàn)國(guó)家規(guī)范所給出的計(jì)算方法的正確性。

5 國(guó)家規(guī)范法與Harr解的比較

問(wèn)題描述同上，因一般工程計(jì)算中，常取泊松比μ=0.4左右，這里也取μ=0.4。設(shè)按國(guó)家規(guī)范5.3.6條確定的計(jì)算深度的方法稱(chēng)為方法1，按國(guó)家地基規(guī)范5.3.7條確定的計(jì)算深度的方法稱(chēng)為方法2，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 國(guó)家規(guī)范法與Harr彈性位移解的比較 mm

比較表3中數(shù)據(jù)可看出，當(dāng)基礎(chǔ)寬度較小(b≤4 m)時(shí)，三種方法計(jì)算結(jié)果相差較小，當(dāng)基礎(chǔ)寬度超過(guò)4 m時(shí)，國(guó)家規(guī)范計(jì)算的結(jié)果比Harr位移解要小;當(dāng)基礎(chǔ)較寬超過(guò)8 m時(shí)，三種方法差異較大，就是國(guó)家規(guī)范規(guī)定的兩種方法之間都有不小的差距;在基礎(chǔ)寬度為20 m時(shí)，相差達(dá)11.9%，國(guó)家規(guī)范方法1比Harr解小34.9%，而且這種差距隨著基礎(chǔ)寬度增大呈上升趨勢(shì)，即基礎(chǔ)寬度越大，差距越大。

不過(guò)由此而判斷國(guó)家規(guī)范給出的計(jì)算深度的方法比實(shí)際工程計(jì)算的結(jié)果偏小也是比較武斷的，因?yàn)閷?shí)際工程的基礎(chǔ)都有一定的埋深，即使是淺基礎(chǔ)也不例外。根據(jù)Mindlin解可以知道，基礎(chǔ)埋深可使地基豎向應(yīng)力顯著減小。由于國(guó)家規(guī)范方法是以Boussinesq積分解來(lái)計(jì)算地基豎向附加應(yīng)力的，即它不考慮基礎(chǔ)埋深對(duì)豎向附加應(yīng)力顯著減小的效應(yīng)，從而使得國(guó)家規(guī)范計(jì)算的結(jié)果要比Mindlin解計(jì)算的結(jié)果偏大。

綜上分析可知，相對(duì)彈性理論而言，國(guó)家規(guī)范方法計(jì)算深度取得較小，使得計(jì)算結(jié)果偏小;實(shí)際基礎(chǔ)的埋深，又使得計(jì)算結(jié)果偏大，兩者綜合起來(lái)就使得規(guī)范比較符合實(shí)際，但同時(shí)也使得計(jì)算結(jié)果離散性較大，即有時(shí)會(huì)偏大，有時(shí)偏小，基礎(chǔ)寬度較小、地基埋深較淺時(shí)會(huì)偏大，反之則會(huì)偏小。

至此，可以很清晰地理解分層總和法與地基計(jì)算深度之間的關(guān)系，從而為Mindlin積分解確定地基深度提供了理論依據(jù)。

6 基于Mindlin積分解的應(yīng)力解和位移解及兩種解答之間的比較

1957年徐志英首次提出了Mindlin豎向應(yīng)力解對(duì)矩形面積荷載積分的解答，1995年，袁聚云等又提出了其他應(yīng)力方向的積分解答，具體解析表達(dá)式可參考文獻(xiàn)[1]或文獻(xiàn)[2]，本文引用文獻(xiàn)[1]中解答?；贛indlin積分解的矩形面積位移解由張子明于1986年提出，并運(yùn)用影響函數(shù)法推導(dǎo)出了圓形、環(huán)形等面積上作用豎向均布荷載時(shí)地基位移的一般計(jì)算式，具體計(jì)算式可參見(jiàn)文獻(xiàn)[8]，而后陳于1996年提出了非均布荷載(三角形面積)的位移解答，可參考文獻(xiàn)[9]，本文引用該文獻(xiàn)中均布荷載的解答。為方便敘述，本文將徐志英提出的基于Mindlin積分解的豎向應(yīng)力解簡(jiǎn)稱(chēng)為XZY應(yīng)力解，張子明提出的基于Mindlin積分解的豎向位移解稱(chēng)為ZZM位移解。為確定XZY應(yīng)力解運(yùn)用分層總和法計(jì)算豎向位移時(shí)所需確定的地基計(jì)算深度，同上文，本文給出具體計(jì)算實(shí)例進(jìn)行分析說(shuō)明，先比較兩種方法。

問(wèn)題描述同上，增加基礎(chǔ)埋深，設(shè)基礎(chǔ)埋深為3 m，同上述比較方法，在XZY應(yīng)力解基礎(chǔ)上用分層總和法計(jì)算基礎(chǔ)沉降時(shí)分別取基礎(chǔ)變形計(jì)算深度為10 m，100 m，1 000 m，另外為了計(jì)算比較精確，本文取分層厚度為0.25 m，兩種方法計(jì)算時(shí)，泊松比都取為0，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4。

表4 XZY應(yīng)力解與ZZM位移解的比較 mm

從表4中計(jì)算結(jié)果可發(fā)現(xiàn)兩種解答在理論上的一致:只要計(jì)算深度無(wú)窮增大，基于XZY應(yīng)力解的分層總和法將和ZZM彈性位移解完全相等，計(jì)算的結(jié)果同分層總和法與Harr位移解的比較(見(jiàn)第4節(jié)描述)結(jié)果完全一樣，從而在理論上也證明了兩種解答的正確性。因而，ZZM解也就可以檢驗(yàn)按分層總和法計(jì)算地基沉降的XZY應(yīng)力解的正確性，從而可確定地基的計(jì)算深度。下面給出不同計(jì)算深度時(shí)按分層總和法計(jì)算工程實(shí)際地基沉降(μ=0.4)的XZY應(yīng)力解和ZZM彈性位移解的比較，從而為確定地基計(jì)算深度有一個(gè)比較清晰的認(rèn)識(shí)。

問(wèn)題描述同上，基礎(chǔ)埋深為3 m，泊松比取0.4，分層厚度仍然取0.25 m，基礎(chǔ)計(jì)算深度分別取10 m，100 m，1 000 m，運(yùn)用基于XZY應(yīng)力解的分層總和法計(jì)算基礎(chǔ)中心點(diǎn)沉降，ZZM位移解作為檢驗(yàn)方法，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表5。

表5 μ=0.4時(shí)不同計(jì)算深度XZY應(yīng)力解的比較 mm

比較表4與表5可發(fā)現(xiàn)泊松比對(duì)深基礎(chǔ)沉降的影響并不大，泊松比取0.4時(shí)僅比泊松比取0時(shí)小7%左右，不及表面荷載作用差距大，因影響較小，在此不再詳細(xì)敘述泊松比的影響。

從表5計(jì)算結(jié)果中可看出，基礎(chǔ)計(jì)算深度的大小對(duì)計(jì)算結(jié)果影響很大。當(dāng)計(jì)算深度為10 m時(shí)，基于XZY應(yīng)力解的分層總和法計(jì)算結(jié)果要比彈性位移解小，當(dāng)計(jì)算深度為100 m時(shí)，又比彈性位移解要大。因此同半無(wú)限體表面問(wèn)題一樣，要使兩者解答一致，同樣存在一個(gè)臨界計(jì)算深度問(wèn)題。為同國(guó)家規(guī)范方法相比較，下面給出按規(guī)范方法確定計(jì)算深度的計(jì)算結(jié)果。

7 國(guó)家規(guī)范法與ZZM解的比較

問(wèn)題描述同上，基礎(chǔ)埋深仍為3 m，泊松比取0.4，分層深度仍取每層0.25 m，按國(guó)家規(guī)范5.3.6條確定的計(jì)算深度的方法稱(chēng)為方法1，按國(guó)家規(guī)范5.3.7條確定的計(jì)算深度的方法稱(chēng)為方法2，直接按地基規(guī)范法(不考慮基礎(chǔ)埋深，也不考慮土的泊松比)的計(jì)算結(jié)果稱(chēng)為方法3，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表6。

表6 國(guó)家規(guī)范法與ZZM彈性位移解的比較 mm

比較方法1，方法2與ZZM彈性解可看出按規(guī)范方法確定地基計(jì)算深度的計(jì)算結(jié)果比ZZM彈性位移解要小，尤其是基礎(chǔ)寬度較大時(shí)，最大差距達(dá)到28.9%，如果按此進(jìn)行設(shè)計(jì)，很有可能會(huì)發(fā)生危險(xiǎn)，因此，這一點(diǎn)足以引起工程設(shè)計(jì)人員的廣泛重視與注意。

比較方法3與ZZM彈性位移解，可明顯看出，當(dāng)基礎(chǔ)寬度不大時(shí)，直接按國(guó)家規(guī)范法計(jì)算，將使結(jié)果偏大2倍左右，但當(dāng)基礎(chǔ)寬度在8 m左右時(shí)，計(jì)算結(jié)果反而比較接近彈性位移解，當(dāng)大于8 m時(shí)，又會(huì)使計(jì)算結(jié)果偏小，當(dāng)然，這僅是針對(duì)基礎(chǔ)埋深為3 m的情況，如果基礎(chǔ)埋深更大，這種差距也會(huì)繼續(xù)增大。

綜上分析可知，運(yùn)用在XZY應(yīng)力解基礎(chǔ)上用分層總和法計(jì)算基礎(chǔ)沉降時(shí)，地基計(jì)算深度受到多方面的影響，包括基礎(chǔ)寬度、基礎(chǔ)埋深、土的泊松比以及其他一些本文未涉及的因素:如土的物理性質(zhì)等諸多因素，要想得出一個(gè)合理的沉降計(jì)算深度公式非常不易。根據(jù)本文敘述的邏輯方式，只能通過(guò)程序?qū)崿F(xiàn)，即先在均質(zhì)地基的情況下，使基于XZY應(yīng)力解的分層總和法與ZZM位移解相等，由此確定地基的計(jì)算深度，再根據(jù)確定的計(jì)算深度，在XZY應(yīng)力解基礎(chǔ)上用分層總和法計(jì)算基礎(chǔ)沉降。程序的編制并不難，在電算較為普及的今天用這種方法計(jì)算應(yīng)該不成問(wèn)題。另外，從表6也可看出，如按規(guī)范法確定地基深度并給出一定的修正系數(shù)也應(yīng)該能夠滿(mǎn)足工程要求。

8 規(guī)范方法確定地基計(jì)算深度的修正

筆者通過(guò)多次試算，認(rèn)為按規(guī)范法確定地基計(jì)算深度可以借鑒，但需進(jìn)行一些修正。試算結(jié)果認(rèn)為，地基深度宜符合下式要求:

其中，ΔS′n為在計(jì)算深度范圍內(nèi)第i層土的計(jì)算變形值;ΔS′i為在由計(jì)算深度向上取厚度為Δz的土層計(jì)算變形值，Δz的涵義可參考文獻(xiàn)[1]，依此計(jì)算式與ZZM彈性位移解的比較見(jiàn)表7。

表7 本文推薦方法與ZZM彈性位移解的比較 mm

比較表7中數(shù)據(jù)可看出，當(dāng)基礎(chǔ)寬小于4 m時(shí)，本文推薦方法比彈性解要大，差異最大不超出6%，當(dāng)基礎(chǔ)寬度大于4 m時(shí)，本文方法比彈性解要小，在基礎(chǔ)寬度20 m范圍內(nèi)，差異最大不超過(guò)7%。按照此式可根據(jù)基礎(chǔ)寬度的不同給出修正系數(shù)，如寬度為1 m時(shí)，修正系數(shù)為0.95，寬度為20 m時(shí)，修正系數(shù)為1.05等，如能結(jié)合具體工程實(shí)例進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，將能給出更為恰當(dāng)?shù)男拚禂?shù)，在此不再多議。

9 基礎(chǔ)埋深對(duì)地基沉降的影響

本文運(yùn)用彈性位移解，分析使規(guī)范計(jì)算偏大的因素——基礎(chǔ)埋深對(duì)沉降計(jì)算的影響。問(wèn)題描述同上，土的泊松比取0.4，基礎(chǔ)埋深分別取0 m，3 m，6 m，10 m時(shí)，彈性位移解的計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表8。

表8 基礎(chǔ)埋深對(duì)地基沉降的影響 mm

從表8中數(shù)據(jù)可看出，地基沉降隨基礎(chǔ)的埋深顯著減小，從基礎(chǔ)埋深為0 m到基礎(chǔ)埋深為3 m時(shí)，基礎(chǔ)埋深對(duì)地基沉降的減小作用非常明顯，3 m～6 m時(shí)，埋深對(duì)地基沉降影響不如在0 m～3 m范圍內(nèi)大，但仍有較大的影響，而6 m～10 m時(shí)，埋深對(duì)地基沉降的影響已較弱，僅在基礎(chǔ)寬度較大時(shí)，才有較大的影響。另外，從與國(guó)家規(guī)范方法計(jì)算結(jié)果比較也可看出，國(guó)家規(guī)范方法由于不能考慮基礎(chǔ)埋深、土的泊松比而與彈性解有很大的出入。

10 結(jié)語(yǔ)

1)本文從分層總和法本身存在的缺陷出發(fā)，分析了現(xiàn)行國(guó)家規(guī)范法計(jì)算地基沉降與彈性理論解在理論上的差異以及與工程實(shí)測(cè)沉降產(chǎn)生偏差的根本原因，闡明了基礎(chǔ)寬度、基礎(chǔ)埋深、土的泊松比等因素對(duì)地基沉降的影響，并證實(shí)了基于Mindlin積分解的徐志英解比基于Boussinesq解的積分解合理得多，因后者沒(méi)有考慮基礎(chǔ)的埋深、土的泊松比對(duì)分層總和法的影響。在運(yùn)用徐志英解求出各分層的豎向附加應(yīng)力之后，本文提出繼續(xù)按國(guó)家規(guī)范所給出的地基變形深度計(jì)算公式將不再適合徐志英解，應(yīng)該按本文所介紹的方法編制程序確定地基計(jì)算深度，同時(shí)也推薦了修正的計(jì)算公式。

2)從本文給出的算例可清楚看出，基于Mindlin解的徐志英解比基于Boussinesq解的積分解合理得多，但仍然存在地基變形深度確定的問(wèn)題，本文雖然給出了推薦計(jì)算公式，但并不十分合理，這需要結(jié)合理論計(jì)算結(jié)果和工程實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，對(duì)理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行修正，才能更加適合工程要求，當(dāng)然如果能按本文介紹方法進(jìn)行編程計(jì)算，結(jié)果應(yīng)該會(huì)相當(dāng)合理。

3)本文給出的所有例子都是在均質(zhì)地基上計(jì)算的，但針對(duì)的問(wèn)題都是非均質(zhì)地基，因?yàn)檫@是分層總和法較彈性位移解優(yōu)越的根本所在。如果是均質(zhì)地基，直接應(yīng)用ZZM位移解將非常方便，ZZM位移解也可以對(duì)分層總和法計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

4)在應(yīng)用基于Mindlin解的積分解時(shí)，本文在引言中曾提到了分層問(wèn)題，但在文中并未加以討論，給出的計(jì)算結(jié)果都是在取分層厚度為0.25 m的基礎(chǔ)上計(jì)算而來(lái)，實(shí)際計(jì)算時(shí)，分層厚度的取值對(duì)結(jié)果會(huì)有一定的影響，尤其當(dāng)分層厚度超過(guò)1 m時(shí)會(huì)有較大偏差，究其原因在于，當(dāng)用角點(diǎn)法計(jì)算豎向附加應(yīng)力時(shí)，不同于規(guī)范給出的“平均附加應(yīng)力系數(shù)”方法，理解了規(guī)范給出的兩種附加應(yīng)力系數(shù)之間的差異，就不難理解分層厚度的影響，建議按文獻(xiàn)[1]29頁(yè)表5.3.6選取。另外，本文僅討論了矩形面積的積分解，其他形狀的積分解可參考文獻(xiàn)[6]。

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