剖 析 高 等 代 數(shù) 的 課 堂 教 學(xué)

□魏慧敏

( 大同大學(xué)大同師范分校，山西 大同 037039)

高等代數(shù)作為數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程之一,其教學(xué)目的在于培養(yǎng)學(xué)生抽象分析的思維能力和解決問(wèn)題的能力,并為學(xué)生后續(xù)課程的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)知識(shí)。在教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn),學(xué)生在學(xué)習(xí)高等代數(shù)的過(guò)程中并不是很輕松,這主要有以下幾個(gè)方面的原因。

一、雖然高等代數(shù)知識(shí)是中學(xué)代數(shù)知識(shí)的繼續(xù),但是知識(shí)的難度提到了一個(gè)更高的層次,使很多學(xué)生一接觸到“高等代數(shù)”課程,就對(duì)其產(chǎn)生了畏難情緒。

例如：對(duì)于多項(xiàng)式,中學(xué)代數(shù)中只淺顯的講到它的加、減、乘、除運(yùn)算法則。但在高等代數(shù)中除了拓寬多項(xiàng)式的含義,嚴(yán)格定義多項(xiàng)式的次數(shù)及加法、乘法運(yùn)算外,還進(jìn)一步講到多項(xiàng)式的整除理論及最大公因式理論。

對(duì)于多項(xiàng)式的因式分解, 中學(xué)只講解了其分解的常用方法。而高等代數(shù)首先用不可約多項(xiàng)式的嚴(yán)格定義解釋了“不可再分”的含義,接著給出了不可約多項(xiàng)式的性質(zhì)、唯一因式分解定理及其在有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域內(nèi)的判定。

對(duì)于方程來(lái)說(shuō), 中學(xué)代數(shù)中講的更淺顯，只涉及到方程的皮毛,如一元一次方程的求解、一元二次方程的求解和根與系數(shù)的關(guān)系以及二元一次、三元一次方程組的消元解法。而高等代數(shù)卻更深入的對(duì)n元和n次方程分別進(jìn)行了深入的研究，如講到復(fù)數(shù)域上一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系及根的個(gè)數(shù)，實(shí)系數(shù)一元n次方程根的特點(diǎn)，有理系數(shù)一元n次方程有理根的性質(zhì)及求法，并給出一元n次方程根的近似解法及公式解。再如講到線性方程組的行列式解法和矩陣解法，而中學(xué)里只涉及到方程組得消元法，還講到線性方程組解的判定及解與解之間的關(guān)系等。

中學(xué)數(shù)學(xué)里學(xué)習(xí)到的數(shù)、向量、內(nèi)積、坐標(biāo)、長(zhǎng)度等都只是為高等代數(shù)里數(shù)環(huán)、數(shù)域、向量空間中的向量、歐式空間中向量的內(nèi)積和長(zhǎng)度提供了例子，線段在平面上的正射影為歐式空間中正交補(bǔ)提供模型。顯然高等代數(shù)研究的代數(shù)系統(tǒng)不斷抽象化，并且概念的抽象化程度不斷提高，數(shù)學(xué)研究的對(duì)象急劇擴(kuò)大。

二、學(xué)生的數(shù)學(xué)觀念和思維有很強(qiáng)的局限性。高等代數(shù)的基本概念是由抽象的思想和公理化的方法建立起來(lái)的,具有較高程度的抽象化和嚴(yán)格性,學(xué)生對(duì)此感到難以理解。大量的符號(hào)運(yùn)算代替了過(guò)去的數(shù)字運(yùn)算,符號(hào)的內(nèi)涵也隨之?dāng)U展,這些都直接影響到學(xué)生的理解。

例如：中學(xué)代數(shù)中學(xué)習(xí)的數(shù)、方程、集合、元素以及幾何中學(xué)習(xí)的向量、平面等都是現(xiàn)實(shí)世界中能看到的數(shù)量關(guān)系和空間形式，而在高等代數(shù)中就向量而言，就和學(xué)生舊日思維中向量的概念大相徑庭，中學(xué)中的向量?jī)H僅指的是帶有方向的線段，而高等代數(shù)中的向量更加廣義了，向量空間里的元素都可叫做向量，因此線性變換、矩陣都是向量。如果學(xué)生此時(shí)不打開思維，仍舊停留在過(guò)去向量的概念中，就很難理解高等代數(shù)中拓展了的向量。還有集合的包含關(guān)系，多項(xiàng)式的整除關(guān)系，矩陣的等價(jià)、相似、合同關(guān)系都已不再是傳統(tǒng)意義的數(shù)量關(guān)系。

再如：向量空間、歐式空間雖然叫做“空間”，但絕不是和中學(xué)里的空間一樣，是學(xué)生能感知到的空間形式，它們是一類抽象性極強(qiáng)的沒(méi)有直觀意義的空間形式。又對(duì)于 “坐標(biāo)”，中學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)到的坐標(biāo)能看得見，能摸得著，能感知的到的東西，學(xué)生理解起來(lái)毫不費(fèi)勁，而高等代數(shù)中任何向量都有坐標(biāo)，而且依據(jù)不同的基會(huì)有不同的坐標(biāo)，如果學(xué)生還把坐標(biāo)的概念停留在直觀上就很難接受新的坐標(biāo)概念。這說(shuō)明：高等代數(shù)是應(yīng)用抽象量化方法來(lái)研究關(guān)系、結(jié)構(gòu)和模式的。

三、課堂教學(xué)和教學(xué)內(nèi)容的枯燥和乏味使學(xué)生找不到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣,減少了學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。因此，教師在教學(xué)中的主導(dǎo)地位決定了其教學(xué)方法和學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性密切相關(guān),所以教師嫻熟的教育技能、對(duì)教學(xué)內(nèi)容的合理把握以及合理的語(yǔ)言藝術(shù)對(duì)啟發(fā)學(xué)生的思維，培養(yǎng)智能，提高課堂效果有著至關(guān)重要的作用。

1.傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式是教師在臺(tái)上講,學(xué)生在臺(tái)下聽,教學(xué)的目的和功能只有一個(gè),那就是傳授書本知識(shí)。這種“注入式”已不適應(yīng)現(xiàn)代教育的要求,不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)和創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)，也已不適應(yīng)現(xiàn)代化的教學(xué)要求，所以改進(jìn)教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力刻不容緩?？梢試L試多元化教學(xué)模式，如：?jiǎn)l(fā)式講解法，在高等代數(shù)中講到多項(xiàng)式的帶余除法時(shí),可引導(dǎo)學(xué)生回憶整數(shù)的帶余除法,然后進(jìn)行類比,再由他們自己導(dǎo)出多項(xiàng)式的帶余除法,這樣既達(dá)到了教學(xué)的目的,又培養(yǎng)了學(xué)生的開拓創(chuàng)造性思維,起到了良好的教學(xué)效果，要比單一的說(shuō)教式好得多。講到線性變換和矩陣時(shí)，可利用兩個(gè)基之間的過(guò)渡矩陣來(lái)引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生找出它們之間的共同點(diǎn)，進(jìn)行類比、歸納、總結(jié)性的學(xué)習(xí)，達(dá)到能把知識(shí)融會(huì)貫通的境地。

學(xué)生登臺(tái)講解法，有選擇的將一些較簡(jiǎn)單的內(nèi)容拿出來(lái)，將學(xué)生分成若干小組進(jìn)行自學(xué)和討論，然后讓每個(gè)小組的代表登臺(tái)講解，即調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，鍛煉了他們的語(yǔ)言表達(dá)能力，還能加深他們對(duì)基本概念和公式的理解，活躍了課堂氣氛，一舉多得。

提問(wèn)法，對(duì)有些內(nèi)容設(shè)計(jì)一些問(wèn)題，先把問(wèn)題布置下去，再上課時(shí)就這些問(wèn)題提問(wèn)學(xué)生，如講到L(V)時(shí)，設(shè)計(jì)的問(wèn)題如下：①L(V)是由什么元素做成的集合？②L(V)中定義的加法是什么？③關(guān)于它所定義的加法封閉嗎？給出證明。④L(V)中定義的純量乘法是什么？⑤關(guān)于它所定義的純量乘法封閉嗎？給出證明。⑥L(V)是向量空間嗎？這樣提問(wèn)下來(lái)，學(xué)生就把L(V)理解得很清楚了。

總之，教學(xué)模式可以多元化，這需要教師在教學(xué)中依據(jù)具體情況、具體學(xué)生進(jìn)行可行性的發(fā)揮，達(dá)到教育的目的。

2.語(yǔ)言是教師向?qū)W生進(jìn)行思想教育，傳授知識(shí)的重要工具，在教學(xué)中對(duì)教學(xué)內(nèi)容的把握，并如何用生動(dòng)形象、通俗易懂的語(yǔ)言把知識(shí)傳播給學(xué)生直接影響著學(xué)生的接受程度。

首先教師本人要做到吃透教材，看到本質(zhì)，進(jìn)得去，出得來(lái)，游刃有余。如高等代數(shù)中在講到向量空間的時(shí)候,由于這個(gè)概念本身很抽象,如果直接從定義講起, 學(xué)生很難理解。此時(shí)不如先把這個(gè)抽象的概念具體化,告訴學(xué)生其本質(zhì)就是一個(gè)集合，然后引導(dǎo)學(xué)生逐層深入地進(jìn)行挖掘,這樣就降低了學(xué)生理解的難度,更便于對(duì)知識(shí)的掌握。再如講到矩陣,矩陣對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)全新的概念,理解起來(lái)頗有困難,但只要把它和中學(xué)中的數(shù)聯(lián)系起來(lái),告訴學(xué)生其實(shí)可以把矩陣看成是一種數(shù),所以有和數(shù)一樣的內(nèi)容,如存在“1”,“0”及“負(fù)數(shù)”等,然后再引入:矩陣?yán)锏摹?”就是單位矩陣, 矩陣?yán)锏摹?”就是零矩陣, 矩陣?yán)锏摹柏?fù)數(shù)”就是負(fù)矩陣,而它們和數(shù)里的“1”,“0”及“負(fù)數(shù)”有相似的性質(zhì):任意n階矩陣與n階單位矩陣之積仍是n階矩陣，任意n階矩陣與零矩陣之和仍是n階矩陣，任意n階矩陣與其負(fù)矩陣之和是零矩陣，矩陣的運(yùn)算滿足加法的交換律、結(jié)合律，加法和乘法的分配律。但是也有不同的性質(zhì)，即不滿足乘法的交換律以及兩個(gè)非零矩陣的積可以是零等。通過(guò)這樣的講解，學(xué)生很容易就理解了矩陣，并記憶深刻，再后面的知識(shí)就迎刃而解了。

其次，要注意教學(xué)語(yǔ)言的準(zhǔn)確性，生動(dòng)性，語(yǔ)音、語(yǔ)調(diào)的抑揚(yáng)頓挫性，從語(yǔ)言上抓住學(xué)生的注意力，激發(fā)他們的興趣，產(chǎn)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力。如在講到線性變換中的零變換、單位便換、負(fù)變換時(shí)，可設(shè)置懸念，問(wèn)學(xué)生若把線性變換看作數(shù)的話，它的“1”,“0”及“負(fù)數(shù)”是什么？然后通過(guò)學(xué)習(xí)讓他們從中找到答案，這樣就通過(guò)巧設(shè)懸念增加了語(yǔ)言的生動(dòng)性，豐富了學(xué)生的想象力，深化了他們的思維。而使得課堂教學(xué)也不再那么枯燥、乏味。再如可適當(dāng)在教學(xué)中穿插一些幽默，運(yùn)用一些比喻來(lái)活躍課堂氣氛，達(dá)到以情動(dòng)人，使學(xué)生從情感中受到啟發(fā)，受到感染，這對(duì)幫助他們理解題意，正確理清思路極為重要。

最后，要想使學(xué)生感興趣，還得讓它們了解高等代數(shù)這門課程的魅力，而在高等代數(shù)中體現(xiàn)出來(lái)的將雜亂無(wú)序整理為有序，使經(jīng)驗(yàn)升華為規(guī)律，追求物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)潔統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達(dá)式等都是數(shù)學(xué)美的具體表現(xiàn)，也是人類對(duì)美感的追求。如向量的廣義，就可以讓我們的思維插上翅膀，任意的在想象的空間里馳騁。通過(guò)開發(fā)學(xué)生對(duì)高等代數(shù)美感的認(rèn)識(shí)，既提高了教師的品味，也使學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得一種美的享受，產(chǎn)生濃厚的興趣。

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