淺談地方師范院校代數(shù)課程體系的改革

劉 東， 高壽蘭

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州 313000）

淺談地方師范院校代數(shù)課程體系的改革

劉 東， 高壽蘭

（湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江湖州 313000）

近年來對(duì)高校代數(shù)學(xué)課程進(jìn)行教學(xué)改革的研究已經(jīng)被廣泛關(guān)注，但大都只是局限于某一門課程．本文則對(duì)地方師范院校代數(shù)學(xué)三門主要課程《高等代數(shù)》、《近世代數(shù)》和《初等數(shù)論》整體上進(jìn)行教學(xué)改革研究．將三門課程內(nèi)容進(jìn)行整合并重新編排體系后的教學(xué)實(shí)踐證明，不僅激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且豐富了代數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容．

代數(shù)學(xué)；課程；改革

隨著知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代和信息時(shí)代的到來，高等教育發(fā)生了很多變化，數(shù)學(xué)教育教學(xué)的改革也在不斷深入發(fā)展，涉及到課程重組、內(nèi)容改造、學(xué)時(shí)調(diào)整等各個(gè)方面．近年來，高校代數(shù)學(xué)的教學(xué)改革被廣泛關(guān)注，并取得了不少成果，其中把代數(shù)與幾何結(jié)合起來的改革較多（見［1］，［2］等），但這些成果大都局限于某一門課程（如［3］等）．《高等代數(shù)》、《近世代數(shù)》和《初等數(shù)論》是高師數(shù)學(xué)專業(yè)代數(shù)學(xué)方向的三門主干課程，它們之間的聯(lián)系非常緊密，內(nèi)容互相交叉．而三門課的現(xiàn)行教材基本上各自獨(dú)立，這就造成許多內(nèi)容重復(fù)講授，而有些各門課程間相互需要的內(nèi)容卻在教學(xué)過程中有所脫節(jié)．因此，僅對(duì)其中一門課程進(jìn)行改革往往收效甚微．所以，將《高等代數(shù)》、《近世代數(shù)》和《初等數(shù)論》三門課程的整體作為研究對(duì)象，綜合地對(duì)高師數(shù)學(xué)專業(yè)的代數(shù)學(xué)課程進(jìn)行教學(xué)改革就成為一件非常有意義的工作．

1 代數(shù)學(xué)課程體系的問題與現(xiàn)狀

結(jié)合高師院校的特點(diǎn)和筆者自己多年的教學(xué)實(shí)踐，我們認(rèn)為高師數(shù)學(xué)專業(yè)代數(shù)學(xué)方向課程設(shè)置和教學(xué)內(nèi)容目前主要存在如下問題：

（1）課程設(shè)置的問題．

按照現(xiàn)在的課程設(shè)置，一般高校大一開設(shè)《高等代數(shù)》，大三（或大二）開設(shè)《近世代數(shù)》，大四（或大三）開設(shè)《初等數(shù)論》（有的是選修課）．按照這樣的設(shè)置，三門課程教學(xué)各自獨(dú)立，所需學(xué)時(shí)較多，而對(duì)于多數(shù)高校，三門課程中除了《高等代數(shù)》的教學(xué)課時(shí)比較充足，效果較好以外，其他兩門課程的教學(xué)效果并不理想，《近世代數(shù)》的課時(shí)明顯偏少，內(nèi)容單薄，而《初等數(shù)論》是在第7或8學(xué)期開設(shè)，學(xué)生學(xué)習(xí)效果很差．這樣代數(shù)學(xué)的教學(xué)顯得頭重腳輕，更談不上選修一些代數(shù)學(xué)的補(bǔ)充內(nèi)容．同時(shí)在實(shí)際教學(xué)過程中也出現(xiàn)這樣一些問題：《高等代數(shù)》的多項(xiàng)式部分需要《初等數(shù)論》的整數(shù)的整除理論為基礎(chǔ)，《近世代數(shù)》的群、環(huán)等部分需要《初等數(shù)論》中的整數(shù)的整除、同余理論為基礎(chǔ)；《初等數(shù)論》的原根與指數(shù)理論、同余理論、代數(shù)數(shù)理論在《近世代數(shù)》中得到抽象、提高；《高等代數(shù)》與《初等數(shù)論》的學(xué)習(xí)過程中一直需要《近世代數(shù)》的思想方法作指導(dǎo)等．而在以往三門課程分別設(shè)置的情況下這些問題都難以解決．

（2）教學(xué)量的增加與教學(xué)課時(shí)減少的矛盾．

近來，各門數(shù)學(xué)課程的學(xué)時(shí)在不斷壓縮，《近世代數(shù)》課程就由每周4課時(shí)減為3課時(shí)．但由于數(shù)學(xué)學(xué)科自身的迅速發(fā)展，很多新的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想要充實(shí)到各門課程，并要傳授給學(xué)生．這就使得教學(xué)量大與學(xué)時(shí)不夠的矛盾愈來愈突出．而這三門課程中許多內(nèi)容是前后逐步引入、加深從而發(fā)展起來的．特別指出的是這三門課程中的整除理論、同余理論、代數(shù)數(shù)理論、因式分解理論等在代數(shù)學(xué)教學(xué)中顯得尤其重復(fù)，浪費(fèi)了許多課時(shí)．如何對(duì)課程的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行優(yōu)化、整合，更好的把它們當(dāng)作一個(gè)整體而不是三個(gè)個(gè)體進(jìn)行教學(xué)，既可以節(jié)省課時(shí)，又能取得較好教學(xué)效果，這就是本課題研究的立足點(diǎn)．

（3）三門專業(yè)課之間的教學(xué)相互脫節(jié)．

《高等代數(shù)》、《初等數(shù)論》與《近世代數(shù)》本就是互為緊密聯(lián)系的一個(gè)整體，但是在現(xiàn)在的課程體系安排中則很少體現(xiàn)，教學(xué)中一般交叉性的學(xué)習(xí)研究很少．這就造成了有的學(xué)生往往只對(duì)其中部分課程、部分內(nèi)容感興趣，對(duì)數(shù)學(xué)的理解不夠深刻，不利于學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)．這樣在代數(shù)學(xué)這一傳統(tǒng)方向上學(xué)生的學(xué)與教師的教都顯得愈來愈困難，再加上代數(shù)學(xué)的抽象性，許多學(xué)生都放棄了代數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)．事實(shí)上，這三門課的聯(lián)系是非常緊密的，在教學(xué)中如何加強(qiáng)這三門課程之間的內(nèi)在聯(lián)系也是當(dāng)前教學(xué)研究中一個(gè)很重要的問題．

2 代數(shù)學(xué)課程體系設(shè)置的改革設(shè)想

綜合以上出現(xiàn)的各種問題與矛盾，從總體上對(duì)高師數(shù)學(xué)專業(yè)代數(shù)學(xué)主干課程《高等代數(shù)》、《近世代數(shù)》和《初等數(shù)論》系統(tǒng)地進(jìn)行綜合改革，是當(dāng)前擺在我們面前的一個(gè)十分迫切的任務(wù)．對(duì)這些課程的課程設(shè)置、教材建設(shè)與教學(xué)改革進(jìn)行研究論證，調(diào)整課程設(shè)置、適時(shí)編寫打通這三門課程的一體教材、結(jié)合現(xiàn)代教學(xué)方法進(jìn)行教學(xué)改革是一項(xiàng)很有意義的工作．事實(shí)上有的學(xué)校已經(jīng)在這方面做出了許多嘗試，如中國(guó)科技大學(xué)、清華大學(xué)都在第一學(xué)期開設(shè)一個(gè)周二學(xué)時(shí)的《初等數(shù)論》的短課（見［4］）．但是針對(duì)普通師范院校的學(xué)生，這樣的改革還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠．結(jié)合高師院校的特點(diǎn)和多年的代數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐，我們主要進(jìn)行以下幾個(gè)方面的改革．

（1）合理地根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)，進(jìn)行代數(shù)學(xué)課程體系設(shè)置的改革．

近年來，傳統(tǒng)的《高等代數(shù)》、《初等數(shù)論》與《近世代數(shù)》三門代數(shù)學(xué)課程的設(shè)置矛盾日益突出．甚至在一段時(shí)期由于教學(xué)時(shí)間的緊縮，取消了《初等數(shù)論》這一必修課程．這樣在代數(shù)學(xué)這一傳統(tǒng)方向上學(xué)生的學(xué)與教師的教都顯得愈來愈困難．而代數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)直接決定學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，所以這個(gè)問題越發(fā)顯出其嚴(yán)重性．為了解決這個(gè)問題需要對(duì)這三門課程的課程設(shè)置進(jìn)行改革，理順三門課程之間的關(guān)系，需要根據(jù)三門課程內(nèi)容的實(shí)質(zhì)合理地進(jìn)行科學(xué)設(shè)置，建立一套合理的代數(shù)學(xué)課程體系，既有利于代數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，更有利于學(xué)生整體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．為此，我們將三門課的主要內(nèi)容按如下順序進(jìn)行教學(xué)：整數(shù)的整除理論（另外補(bǔ)充自然數(shù)、復(fù)數(shù)的有關(guān)知識(shí)）……行列式、矩陣、線性方程組……向量的線性關(guān)系、線性空間……多項(xiàng)式……線性變換……歐氏空間……整數(shù)的同余理論初步、等價(jià)關(guān)系……群、環(huán)、域初步……整數(shù)的同余理論續(xù)……群、環(huán)、域初步的進(jìn)一步討論……初等數(shù)論補(bǔ)充……近世代數(shù)補(bǔ)充．

（2）結(jié)合三門課程的特點(diǎn)，逐步編寫適合現(xiàn)在教學(xué)需求的教材、講義．

在前幾年基礎(chǔ)課教材建設(shè)的基礎(chǔ)上，把《高等代數(shù)》、《初等數(shù)論》、《近世代數(shù)》（四個(gè)學(xué)期內(nèi)容）統(tǒng)一編寫為一套教材《代數(shù)學(xué)》的四個(gè)分冊(cè)（分別在1－4各學(xué)期開設(shè)）．這樣就能把三門課程的內(nèi)容理順．不論教師的教，還是學(xué)生的學(xué)，都遵循一個(gè)逐步提高的原則，按照內(nèi)容的實(shí)質(zhì)，逐步加深、提高，體現(xiàn)現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的需求．而且內(nèi)容整編以后若保持原學(xué)分、課時(shí)基本不變，則可以增加許多教學(xué)內(nèi)容，而增加的這些內(nèi)容正是進(jìn)行代數(shù)學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的關(guān)鍵內(nèi)容，對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)教材研究也有重要的指導(dǎo)作用．若這套教材編寫成功，將很好地整合和優(yōu)化現(xiàn)在代數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，將極大的緩解教材與教學(xué)內(nèi)容的矛盾，緩解學(xué)時(shí)與教學(xué)量的矛盾．這必將為高師院校數(shù)學(xué)專業(yè)課程的教學(xué)提供很好的幫助．

（3）積極穩(wěn)妥地進(jìn)行更新教學(xué)內(nèi)容的嘗試．

近年來，代數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入一個(gè)高速時(shí)期，而傳統(tǒng)的內(nèi)容某些方面已經(jīng)不適應(yīng)教學(xué)的需要．這就需要在教學(xué)過程中盡量把一些國(guó)內(nèi)外成熟的教學(xué)研究成果融入教學(xué)中，同時(shí)突出知識(shí)的應(yīng)用性．在《代數(shù)學(xué)1－4》的教學(xué)過程中，除了保持在數(shù)學(xué)基本訓(xùn)練上嚴(yán)格要求的傳統(tǒng)外，要更注重因材施教，注重應(yīng)用背景與相關(guān)成果的介紹，注重整個(gè)課程體系的建立，以培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．這樣就能更好地解決教材落后于教學(xué)內(nèi)容的矛盾．如在《代數(shù)學(xué)4》中，可以補(bǔ)充“尺規(guī)作圖”等部分內(nèi)容，介紹了“尺規(guī)作圖”中的幾何三大難題（三等分角、圓化方、倍立方）．一方面，這體現(xiàn)了近世代數(shù)的巨大威力，因它本身就是近世代數(shù)應(yīng)用的一個(gè)極好例子；另一方面，對(duì)數(shù)學(xué)系學(xué)生而言，這也是一個(gè)“必知”的內(nèi)容，對(duì)指導(dǎo)他們將來的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有很大的幫助．

3 新課程體系將帶來數(shù)學(xué)思想方法的提升

在大學(xué)代數(shù)課程中許多數(shù)學(xué)思想方法的形成是一個(gè)螺旋式的逐步提高的過程，如果三門課的教學(xué)脫節(jié)，則許多重要的代數(shù)思想方法得不到提升和發(fā)展．下面我們就代數(shù)中一些思想方法的形成過程分析新課程體系的作用．限于篇幅，這些思想方法不能展開敘述．

（1）代數(shù)運(yùn)算：從復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算到矩陣、多項(xiàng)式運(yùn)算，再到剩余類、置換的運(yùn)算等，最后到抽象的代數(shù)運(yùn)算，這就是代數(shù)課程體系中代數(shù)運(yùn)算這一思想的主要形成過程．

（2）代數(shù)系統(tǒng)：從最簡(jiǎn)單的數(shù)環(huán)、數(shù)域到多項(xiàng)式環(huán)、矩陣環(huán)、向量空間，抽象到群、環(huán)、域等概念，再返回到初等數(shù)論中進(jìn)行運(yùn)用．

（3）映射與函數(shù)：從最初的映射、函數(shù)到向量空間的線性變換、歐氏空間的各種特殊線性變換，再到抽象代數(shù)中的代數(shù)同態(tài)等，這是一個(gè)逐步提高抽象的過程．

（4）等價(jià)關(guān)系與分類：整數(shù)同余、矩陣等價(jià)、矩陣合同、矩陣相似、抽象的等價(jià)關(guān)系．

（5）整除的思想：唯一分解、最大公因式、帶余除法等概念與理論從整數(shù)，到多項(xiàng)式環(huán)、到抽象的整環(huán)，步步抽象提高．

（6）元素的階與生成元．

（7）極小多項(xiàng)式：實(shí)數(shù)的極小多項(xiàng)式、矩陣的極小多項(xiàng)式、抽象元素的極小多項(xiàng)式．

（8）向量空間：向量空間——擴(kuò)域．

（9）向量的線性關(guān)系：從具體到抽象．

（10）同余：整數(shù)同余到一般同余．

（11）N次單位根：多項(xiàng)式理論、循環(huán)行列式計(jì)算、其生成的群．

（12）代數(shù)數(shù)與超越數(shù)：從第一次接觸數(shù)域時(shí)就可以體會(huì)集合的區(qū)別，到初等數(shù)論的代數(shù)數(shù)與超越數(shù)，最后到域的擴(kuò)張中的一般理論．

以上這些線雖然是隱形的，但貫穿整個(gè)代數(shù)課程的教學(xué)過程中．而且這些思想方法的形成過程都是一個(gè)逐步抽象，及時(shí)提高應(yīng)用的過程．在教學(xué)中及時(shí)總結(jié)這些方法，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)一定能起到較大的促進(jìn)作用．

總之，隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，代數(shù)學(xué)發(fā)展呈現(xiàn)出抽象化、綜合化趨勢(shì)，因而，其難度也就越來越大．這使得代數(shù)學(xué)的更新、提高，與學(xué)生的可接受性之間不可避免地產(chǎn)生尖銳矛盾．顯然，我們不應(yīng)該為了遷就學(xué)生的接受能力而不提高代數(shù)學(xué)的現(xiàn)代化水準(zhǔn)．但是，我們也不應(yīng)該不顧學(xué)生的實(shí)際水平而片面地追求現(xiàn)代化內(nèi)容，要處理好課程內(nèi)容的現(xiàn)代化水準(zhǔn)與學(xué)生的可接受性之間的關(guān)系，在學(xué)生可接受的前提下，最大限度地改革代數(shù)學(xué)課程內(nèi)容體系，提高其現(xiàn)代化水平，對(duì)于提高代數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量一定能起到較大作用．

［1］ 張肇?zé)耄~正麟．“代數(shù)與幾何”課程及教材的若干設(shè)想與初步實(shí)踐［J］．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，8（3）：90－94．

［2］ 陳繼華．幾何代數(shù)的結(jié)合與線性代數(shù)課程改革的思考［J］．中國(guó)電力教育，2008，7（4）：44－45．

［3］ 顧沛．“抽象代數(shù)”教學(xué)中的素質(zhì)教育［J］．大學(xué)數(shù)學(xué)，2006，22（3）：9－13．

［4］ 馮克勤．高校代數(shù)教學(xué)的一些實(shí)踐與思考［J］．高等數(shù)學(xué)研究，2006，9（4）：2－5．

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1672-1454（2010）增刊1-0129-03

浙江省新世紀(jì)教改項(xiàng)目（yb07109，zc09063）；湖州師范學(xué)院教改重點(diǎn)項(xiàng)目（2009JY006）