瀝青混凝土永久變形的鑒定與模擬

胡安平

（山西路橋第二工程有限公司，山西 臨 汾 0 41000）

瀝青混凝土路面主要有3種破壞機理：車轍、疲勞裂縫和熱裂縫。一般地，用于表征永久變形的破壞機理即車轍，是路面破壞中最嚴重的破壞現象。盡管車轍不是一種較精確的科學術語，不能表征路面變形的性質，但文章之所以論述車轍是因為其受瀝青協(xié)會的廣泛重視。

在重復荷載作用下的瀝青混凝土累積永久變形現象具有實際重要性。在路面縱向上產生一些向外推擠的凹槽，這時車轍（有時稱凹槽）很明顯。這種變形方式導致路面排水能力降低，造成水損壞，進一步使輪跡下方結構層厚度減少，致使路面易發(fā)生疲勞破壞。同時，由于凹槽內的路面積水，必須考慮行車安全。

路面車轍隨交通荷載的增加而逐步累積。雖然路基本質上可能對車轍有一定的影響，但本文關注的是永久變形最為明顯的來源，例如瀝青混凝土層的變形。為得到路基對路面車轍貢獻問題的分析結果及具體數字大小結果，需模擬分析土基瀝青層結構，如采用有限元法。分析的關鍵在于瀝青混凝土層的本質特征及模擬。

1 瀝青混凝土層的本質特征及模擬

第一種較明顯的瀝青混凝土層車轍模型是輪胎壓力作用下的路面壓密變形（壓實）。該模型中，材料不發(fā)生側向移動。物理上，車輪壓力下，該模型可視為瀝青混凝土層孔隙的減小，隨之由于路面的剪切變形而產生車轍。變形使路面材料從車輪下方側向移動并推擠到輪跡邊緣，可以在車轍附近清楚的觀察到材料隆起現象。對于壓實良好的路面，剪切變形成為首要的車轍機理，因為輪跡下方的路面壓密變形不是主要因素。

過去40年，瀝青路面的許多理論研究都致力于模擬材料的黏彈性，現在還有大量研究工作主要關注疲勞裂縫的分析和模擬。瀝青混合料的疲勞分析需要精確評定在每個加載至卸載周期內材料散失的能量，其中，瀝青混凝土的黏彈性模型在此具有重要的作用。另外，疲勞破壞與勁度的降低有關，很明顯，勁度降低50%就認為材料已經破壞了。

然而有關模擬瀝青路面永久變形的研究很少，例如由重復荷載作用引起的疲勞裂縫、車轍等，這是由輪載下材料的流變及隨之產生的永久變形而發(fā)生的?，F已推薦并廣泛采用了一種經驗理論公式，與荷載周期下的永久變形演化形式非常相似。Sousa模型（廣義Maxwell模型）以黏彈性和破壞為基礎，當荷載作用超出幾百個周期時，不能獲得重復荷載作用下的永久變形累積形式；其他模型都采用經典塑性理論，不能反映棘輪效應，也就是在恒定應力幅度下隨荷載周期數增加的而產生的累積永久變形。這些模型是唯象理論（塑性）和與試驗相似的經驗關系的結合，即塑性模型用于計算第一個荷載周期末的永久應變，隨之，假設出一種永久應變與對數曲線（模擬觀察得到的試驗結果，見后文所述）上的周期數之間的線性關系式，來計算在任意荷載周期下產生的永久應變。Olsson（2000）利用有限元項目ABAQUS分析路面結構的車轍。一種經典Drucker-Prager類塑性模型，與一種簡單蠕變規(guī)律相結合，用于模擬瀝青混凝土，但沒有材料模型與試驗觀測結果之間的定量比較。

由于瀝青混凝土具有典型的黏彈性性質，許多研究利用廣義Maxwell類模型來達到模擬永久變形的目的。Maxwell類模型與廣義Kelvin類黏彈性模型相反，它可以描述在一個荷載-無荷載周期內的永久變形，但由黏彈性理論并不能得到永久變形的大小和演變趨勢。

本文中的瀝青混凝土永久變形模型是以塑性理論為基礎。廣義塑性理論的一個關鍵特征是從某一應力狀態(tài)卸載然后再加載，永久變形會從低于卸載應力狀態(tài)的某一狀態(tài)開始累積，這是與經典塑性理論之間的重要區(qū)別，使得預測永久應變的累積大小隨加載周期數而增加。這是瀝青混凝土在重復加載和卸載時的典型力學行為，將在接下來繼續(xù)討論。

2 瀝青混凝土混合料性能

以下是瀝青混凝土混合料的幾點主要性能：①剪切荷載作用下混合料發(fā)生膨脹，結果使豎向受限試件在橫向荷載作用下產生豎向應力；②加載周期末產生殘余變形。

另外，在重復剪切荷載作用下，隨加載周期數增加而產生的永久變形累積在對數曲線上服從一種近似線性的力學行為。很多瀝青混凝土混合料都有這種情況，而且它表明，在線性曲線上，永久變形的累積大小與加載周期數的降低率之間符合多項式關系。這種力學行為對于在不同荷載狀態(tài)下的瀝青質及粒料較常見，它表明，隨加載周期數的增加，材料越不易產生永久應變，也就是說，材料發(fā)生硬化，抵抗永久變形的進一步累積。

以上提到的第一種性能，即在剪切荷載作用下瀝青材料發(fā)生膨脹的性能（多項式關系），與這種力學行為密切相關。粒料也有這種性能，當粒料相互滾動時同樣也會發(fā)生膨脹。瀝青材料的膨脹在一定程度上受其周圍材料的限制，使得混合料產生豎向應力，這時的混合料極其可能膨脹而產生較大豎向應力，而不易產生永久剪切變形從而導致車轍。該結論可視為集料的聯(lián)鎖力學行為，為控制瀝青混凝土混合料的車轍提供了穩(wěn)定的機理。如果塑性理論用于模擬瀝青混凝土，那么當建立表面加載公式時需考慮這個因素。

這種聯(lián)鎖力學行為是在恒定高度下進行重復簡單剪切試驗即RSST-CH中得到的，此力學行為也是為什么能成功辨別混合料將產生車轍的原因。RSST-CH試驗被廣泛采用為一種可靠的試驗來辨別混合料產生車轍的傾向。試驗采用直徑15 cm，高5 cm的柱狀試件。當一個橫向驅動器來施加橫向荷載時，保持試件高度不變，利用保持試件高度不變來模擬抵抗周圍材料的膨脹作用。驅動器以0.6 s的間歇時間循環(huán)施加橫向荷載，形成一個荷載周期T為0.1 s的半正弦函數。下面將繼續(xù)討論文章的模型發(fā)展所要重要考慮的內容。

3 模型的考慮因素

文章所提出的本構模型結合了前面所討論的原理，用廣義塑性理論分析了隨荷載周期數而增長的永久變形演變方式，所以該模型不是經過調整與試驗結果匹配的經驗公式而得到的，但這些經驗公式以不可逆熱力學理論為基礎，能代表在多向應力和應變狀態(tài)下的材料力學行為。此本構模型由一個彈性元系列和一個塑性元組成，在已構建的模型中，彈性公式表達了彈性應變張量和應力張量之間的相互關系。

模型的彈性元為三級超彈性，即應力與應變呈三次多項式關系。模型可以得到在剪切荷載作用下混合料的壓縮應力發(fā)展情況，這在RSST-CH試驗中也非常明顯，試驗記錄了法向力的演變情況，軸向力從試驗的最初一個周期開始演變，演變過程中無永久剪切應變。因此本文在模型的超彈性元中引入了聯(lián)結力學行為。如果利用塑性理論，通過塑性應變的演變過程來模擬材料膨脹，將會產生法向永久應變。如果產生了法向永久應變，在試驗的加載周期末，為了保持試件高度恒定，法向壓縮彈性應變將可能發(fā)生疊加效應。這種應變本身表現為一種法向壓縮應變，會隨加載周期數而增加。后文將提出塑性模型，繼續(xù)詳細討論這個結論。

模型的塑性元以廣義塑性理論為基礎，描述了變形的不可恢復部分，特別是混合料的棘輪力學效應（隨加載周期數而增加的永久變形累積）。

4 彈性模型

超彈性材料是一種應變張量εij的標量式，為應變能量方程式，如下：

它與應力的潛在關系為：

超彈性以熱力學為基礎。為了模擬瀝青混凝土的彈性力學行為，提出了一種三級超彈性模型，即應力-應變關系式中應力為應變部分的三次方，因此，應變不變量在應變能量方程式中為四次方。簡單的一次方彈性（即線性彈性）模型不能獲得混合料在剪切荷載作用下的膨脹行為。應變能量方程式建立如下：

其中的三項應變不變量為：

應變部分之所以是一種多項式形式，是因為它的簡單性和完整性，此多項式的有效性將由模擬超彈性和完整模型的試驗結果來評價。

由連鎖規(guī)則得到應力張量為：

在式子中加入一些簡單代數，得到：

5 材料參數的鑒定

三級超彈性應力應變關系包括了9種材料參數，即a1~a9。本文利用最優(yōu)化非線性方案來獲取超彈性材料參數，其中利用本質關系和試驗結果建立了一個最小二乘方等式。試驗中還進行了單軸應變壓縮、體積壓縮和簡單剪切試驗，這些試驗在低應變水平下進行，以此將塑性效應最小化，并在溫度較低（4℃）時進行試驗，將黏滯作用最小化。由于試驗中沒有卸載，故假設所測得的應變?yōu)閺椥詰儭?/p>

5.1 單軸應變壓縮試驗

這個試驗中，試件周長保持不變時的應力為軸向應力。由于這種配置使試件產生側限應力，進而產生單軸應變狀態(tài)。該試驗的應變張量為：

因此可得到：根據等式（4）得到：

5.2 體積壓縮試驗

試驗的應變狀態(tài)為：

5.3 簡單剪切試驗

簡單剪切試驗與重復簡單剪切試驗（RSSR-CH）相似，其應變狀態(tài)為：

其中，N1，N2和N3分別為單軸試驗、體積試驗和剪切試驗的數據點數量。σ11，i為第i個由彈性模型的應力σ11得到的數據點，σ12，i為第i個由彈性模型的應力σ12得到的數據點，3個試驗同步擬合，從而得到一系列獨特的參數。采用同步擬合的方法，是因為3個試驗的試驗參數貢獻不一致，例如，簡單剪切試驗中，剪切應力僅僅取決于參數α2和α7。如果能得到一系列獨特的參數，對相同材料進行試驗，模型就可以成功用于預測試驗結果。后文中，將進行聯(lián)合模型的模擬，從其中一個試驗中獲得的參數可以正確預測得到其他試驗的試驗結果。

通過使用MATLAB最優(yōu)化工具來將最小二乘等式最小化，得到的參數值大小見表1。

表1 超彈性模型的參數值

圖1~圖3為分別利用單軸壓縮試驗，體積壓縮試驗和剪切試驗的試驗參數將Sousa（1994）的試驗結果和模型模擬結果進行比較的情況。各圖中，試驗結果與模型結果都非常一致；圖4為剪切試驗的軸向應力模型預測結果及剪切應變圖。

圖1 Sousa（1994）的試驗結果與模型模擬比較（單軸應變壓縮試驗）

圖2 Sousa（1994）的試驗結果與模型模擬比較（體積壓縮試驗）

圖3 Sousa（1994）的試驗結果與模型模擬比較（剪切試驗）

圖4 模型預測得到的簡單剪切試驗中剪切應變與軸向應力變差圖

這一系列試驗都沒有得到圖中有關這些變差的試驗結果，但不管怎樣，圖形還是表示出了模型模擬連鎖現象和膨脹性的能力。

6 塑性模型

經典塑性理論模型無法預估隨著荷載循環(huán)次數增加，亦即荷載重復作用達到一定的應力水平而導致的永久變形累積。因此，這些模型不能預估前文討論的棘輪力學行為；廣義塑性可以用于這一目的。在這種理論中，材料達到卸載開始的狀態(tài)之前，重復加載和塑性應變就開始累積。這一理論作為一種特殊的情況，包括了傳統(tǒng)和經典的塑性理論。這是一種基于熱力學內部變量的局部理論。

廣義塑性基于帶有內部變量的非彈性理論所共有的一個基本假定，即通過控制變量（盡管混合控制是可能的，但是還是比較典型的溫度和應力應變部分）及數量有限的內部變量來確定局部熱力學狀態(tài)。此外，因為這是一種與速率無關的理論，由內部變量導出的應力與應變之間的關系不依賴于速率。

廣義塑性理論和經典塑性理論的區(qū)別在于引入了有別于屈服平面的加載平面概念。此外，盡管屈服平面仍然存在，但是在廣義屬性中，并不需要一個屈服平面。加載平面可以定義為彈塑性材料彈性范圍的邊界。通過應力（或者在應變控制下的應變）張量和內部變量可以確定彈性范圍，并且將其定義為由目前的應力點能夠彈性的達到的應力所組成的區(qū)域。經典塑性是一種特例，其彈性范圍僅僅依賴于內部變量。屈服平面可以定義為應力空間中某一區(qū)域的邊界，在該區(qū)域中，卸載后的加載和再加載僅僅會產生彈性應變，這一區(qū)域稱之為彈性域并且是彈性范圍的一個子集。如果在目前的應力點下，有可能出現塑性變形，那么這個點就應該在加載平面上，并且應該在屈服平面上或在屈服平面以外。如果從屈服平面以外的點到屈服平面上或其以外的點發(fā)生彈性卸載，那么在再加載時就會立即出現塑性變形。最后，如果內部變量保持恒定，這一過程就可以定義為彈性的。

6.1 加載平面

從上文的討論可見，加載平面是廣義塑性概念的核心，并且這一理論模擬實際材料行為的能力主要依賴于對加載平面的選擇。本文研究中，基于以下考慮提出了模擬瀝青混合料的平面形式。瀝青及其黏結在一起的集料組成了瀝青混合料。由于集料的存在，瀝青混合料的行為在很多方面與砂土等顆粒類材料相似，其中之一就是兩種材料都會在剪切荷載的作用下發(fā)生膨脹。因此，這里提出的加載平面的形式類似于Vermeer為砂土建立的屈服平面。但是，必須注意到，這里的塑性模型是基于廣義塑性理論，而Vermeer模型是基于經典塑性理論。加載平面的表達式如下：

其中，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ為應力張量的不變量，定義為

其中，指出了雙重收縮，例如 σ∶σ=σijσij，i，j=1，2，3及其總和；H為各向同性硬化參數；k為各向同性硬化變量；α為參數。路面中的重復試驗以一種方向模擬交通條件，也就是說，路面交通朝向一個方向行駛。因此，僅僅考慮各向同性硬化就足夠了。如果要模擬雙向交通，那么在模型中就必須包括運動硬化。

6.2 流動法則

由于在非線性非彈性理論的演化方程中經常采用先驗的方式，Lubliner根據元素集理論和拓撲理論提出了廣義塑性理論的流動法則和內部變量演化方程式。流動法則如下：

其中，εi表示非彈性（這里就是塑性）應變；σ為應力張量；ξ為內部變量張量；λ為塑性流動方向；h強化了塑性狀態(tài)的定義性，因此，在塑性狀態(tài)下必須為正值，在彈性狀態(tài)下為0；v為加載平面上的法向張量；上方的點表示對時間求導；麥考利括號定義如下：

對于λ=v時的關聯(lián)流動法則，塑性流動方程式為：

關聯(lián)流動法則在預估顆粒類材料過高的塑性膨脹時有一些缺陷。此外，從等式（22）和（23）可見，對于簡單剪切試驗中的瀝青混合料，關聯(lián)流動法則只能余個法向塑性應變。由于試件的高度保持恒定，需要在塑性應變中加入額外的彈性應變，從而使加載循環(huán)末期的總法向應變?yōu)?；這也就意味著，需要對試件施加法向壓力。但是，很明顯，在試驗中并沒有這樣的殘余壓力。根據上述解釋，尤其是不能預估法向塑性應變的缺點，對瀝青混合料提出了非關聯(lián)的流動法則。在這種情況下，潛在的塑性與加載方程和λ=μ的情況有所不同，其中μ為潛在塑性函數g的梯度，這里假定為von Mises類：

那么非彈性應變速率為：

帶入等式27中的g有：

最后，根據重復加載下觀測得到的永久剪應變的演化情況選擇h的形式，流動法則的最終形式為：

其中，β為應力維數參數；x，l，m為3個其他參數。6.3 硬化法則

在廣義塑性理論中，內部變量的演化方式如下：

這里，h采用與流動法則中相同的形式，從而無需引入其他參數；在廣義塑性理論的框架中，不排除流動法則和硬化法則有相同的形式。硬化變量的演化等式為：

其中，所有字母與流動法則中的意義相同。

通過將應變分解為彈性和非彈性（這里為塑性）部分，前述模型方程可以更改為：

其中，彈性部分由三階超彈性模型控制，非彈性部分由塑性模型控制。這種分解過程中采用了小應變假設。提出的模型是一個完全的非線性材料模型（即，由非線性模型控制彈性應變和非彈性應變）但同時也是一個幾何級數的線性模型。通過試驗中觀察得到的應變大小，可以判別這一結論，見圖5。由于多次加載循環(huán)后的永久應變，路面中可以發(fā)現明顯的車轍現象。

圖5

7 數值實現

應用非線性方程組的數值解可以實現對模型的模擬和實現。目前在計算中出現的主要問題為：使[0,T]成為有意義的時間區(qū)間。當時間tn在區(qū)間[0,T]時，假定總應變張量εn，塑性應變部分εni以及硬化變量kn已知。那么確定彈性應變張量為：

使u為時段{tn，tn+1}的位移增量?；镜挠嬎銌栴}就轉變?yōu)楂@取與塑性本構方程式的形式一致的tn+1。這一問題是應變驅動的，總的應變張量按照下式變化：

使用無條件穩(wěn)定的且為一階準確的向后歐拉準則，可以即時離散化內部變量的演化方程。得到的方程組如下：

前面的方程組必須依據加載-卸載標準求解。這里，廣義塑性理論的結構與經典塑性理論相比，具有計算方面的優(yōu)勢。這種優(yōu)勢源于未使用屈服表面及協(xié)調條件。經典塑性理論中的演化方程式定義了一個單方面約束的演化問題，與此不同，廣義塑性理論中的演化方程定義了一個普通微分方程系統(tǒng)。這個系統(tǒng)并不受到一致條件強化的約束。對這一方程組的求解，可以采用Panoskaltsis等提出的步驟。

加載-卸載算法的標準如下所示：

如果fn+1≤0，就處于彈性狀態(tài)；

如果fn+1＞0，就處于塑性狀態(tài)。

此外，

如果 vn+1：（σn+1-σn）＜0，為彈性卸載；

如果 vn+1：（σn+1-σn）＝0，為中性加載；

如果 vn+1：（σn+1-σn）＞0，為塑性加載；

通過預測-校正算法，可以求解離散的方程組。

7.1 預測階段

凍結內部變量，則該問題可以視為彈性的。那么，可以得到如下的試驗關系式：

7.2 校正階段

經典的彈塑性案例中，算法的校正階段包括了一個朝向屈服平面的松弛過程，這一過程不斷演化，即稱之為返回映射的過程，與此不同，在廣義塑性案例中，校正階段包括了對等式（36）和（37）的直接求解過程。利用相應的算法，將麥考利括號帶入到這些等式中。利用多維的Newton-Raphson法則，可以求解這一方程組。

校正階段變量的初值是試驗中求解的數值。這樣有，

其中，括號中的上標表示迭代次數。

算法采用了Newton-Raphson法則來求解時間tn+1時塑性方程的最終應力，時間tn+1時的各向同性硬化變量值以及時間tn+1時的非彈性應變值。

非線性方程（k）迭代的殘值為：

8 模型模擬和預估

最終模型的參數是a1~a9以及x，l，H，α，η和m；這些參數可以通過非線性優(yōu)化過程獲得，這一過程類似于前文介紹的獲取彈性參數a1~a9的過程。優(yōu)化過程的目標函數為：

式中：N：數據點的數量；

采用前文提出的預估-校正算法，可以計算出非彈性應變εij。綜合（超彈性-塑性）模型的結果，見圖5。圖形表明了在兩個RSST-CH試驗中，隨著循環(huán)次數變化永久剪切應變演化的試驗結果，這兩個試驗中一個的剪應力大小為8psi，另一個為10psi。模型能夠擬合剪應力為8psi的試驗結果；即可以確定等式（40）所示的目標方程的最小值以及一系列參數。參數的數值，見表2。利用這些參數，就可以確定剪應力為10psi時模型的預估值。見圖5，對于兩種應力大小，模型預估值和試驗測試值之間的相關性較好。要求在不同的應力水平下使用同樣的參數集合使本構模型符合試驗結果是非常重要的，因為在諸如路面結構的邊界值問題中（其中本構模型將會用于預估路面變形），路面上不同的點處于不同的應力狀態(tài)。

表2 模型參數數值

9 結論

提出了瀝青混合料永久變形的本構模型。瀝青路面的重要病害之一，即車轍，主要源于瀝青混合料層的永久變形，因此十分需要這種本構模型。根據現有的理論，并不存在模擬和預估循環(huán)加載下永久變形的模型。過去，大量的模擬工作主要主要著眼于瀝青混合料的性能方面，而為了描述永久應變隨著循環(huán)次數的演化，需要使用一維經驗公式。

提出的本構模型包括了帶有一系列塑性模型的非線性超彈性模型，其中的塑性模型是建立在廣義塑性理論基礎上的。在模擬隨著加載循環(huán)次數增加而引發(fā)的永久應變累積的過程中，與經典塑性相比，廣義塑性結構具有一定的優(yōu)勢。在試驗室對瀝青混合料進行重復加載的試驗中可以發(fā)現這種現象，通常稱之為棘輪效應。選擇三階超彈性模型并模擬了在剪應力作用下瀝青混合料的膨脹現象。塑性部分的流動法則與阻止加載循環(huán)末期法向應力的發(fā)展無關。

建立了求解模型方程式的數值方法。這種方法基于向后的歐拉方法以及預估-校正算法。使用Newton Raphson迭代算法可以求解離散方程。與經典塑性相比，在數值計算方面，建立在廣義塑性理論基礎上的模型具有明顯的優(yōu)勢。

模型模擬結果與試驗結果進行了對比，對比結果之間有很好的相關性。在不同應力水平下同樣的參數集合可以用于預估重復剪切試驗的結果。對路面有限元分析而言，這一點非常重要。參考文獻：

［1］喬英娟，閆守河，郭忠印，王哲人.基于側向位移法的瀝青層流動性車轍分析.同濟大學學報（自然科學版），2009，07

［2］蘇凱，孫立軍.瀝青混凝土永久變形預估方法研究.建筑材料學報，2007，05

［3］居浩.瀝青路面車轍計算模型及參數研究.石油瀝青，2008，05

［4］袁峻，賈璐，孫立軍.瀝青混合料永久變形特性試驗方法評價.重慶交通大學學報（自然科學版）2008，04