基于雙樹小波通用隱馬爾可夫樹模型的圖像壓縮感知

練秋生 王 艷

(燕山大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院 秦皇島 066004)

1 引言

圖像壓縮感知(CS)是近幾年圖像處理領(lǐng)域的重大突破，它是由Donoho和Candes等人[1,2]在稀疏表示和優(yōu)化理論的基礎(chǔ)上提出的一種成像理論。其本質(zhì)是直接將采樣與壓縮相結(jié)合，在對圖像進(jìn)行隨機(jī)投影得到少量觀測值后，利用圖像表示的稀疏性先驗知識，從觀測值中恢復(fù)原始圖像的過程。圖像稀疏性是指其小波域只有少數(shù)與圖像邊緣紋理相對應(yīng)的系數(shù)不為零或具有較大值，而與圖像光滑部分相對應(yīng)的大多數(shù)系數(shù)為零或近似為零。CS理論利用圖像稀疏性先驗知識，所需觀測值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于Nyquist采樣定理所要求的數(shù)目。目前的CS重構(gòu)算法包括最優(yōu)化算法和貪婪算法兩大類。最優(yōu)化算法將重構(gòu)轉(zhuǎn)化為特定優(yōu)化問題，利用各類優(yōu)化算法對其求解，常用算法有凸優(yōu)化算法、非凸優(yōu)化算法及光滑?0范數(shù)(SL0)算法等。凸優(yōu)化算法用?1范數(shù)等價代替?0范數(shù)，將重構(gòu)轉(zhuǎn)化為帶約束的凸優(yōu)化問題，然后求其最優(yōu)解。迭代硬閾值法(IHT)[3]，凸集交替投影法(POCS)[4]，迭代加權(quán)法[5]等都屬于此類算法。非凸優(yōu)化算法[6]將?0范數(shù)轉(zhuǎn)化為?p(p＜1)范數(shù)，將重構(gòu)轉(zhuǎn)化為非凸優(yōu)化問題，然后求其最優(yōu)解，而光滑?0范數(shù)法[7]則通過構(gòu)建一個光滑函數(shù)來逼近?0范數(shù)，然后對光滑函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化實現(xiàn)重構(gòu)。貪婪算法在每次迭代過程中選取一個或幾個與觀測值余量最大相關(guān)的基，尋找一組與觀測值匹配的最稀疏基，從而實現(xiàn)信號的重構(gòu)。匹配追蹤(MP)、正交匹配追蹤法(OMP)及它們的各種改進(jìn)方法(如CoSaMP[8]，ROMP[9])均為此類算法。與傳統(tǒng)基于Nyquist采樣的重構(gòu)相比，CS是一個重大突破。但標(biāo)準(zhǔn)CS重構(gòu)只利用圖像稀疏性先驗知識，重構(gòu)自由度大。實際上，圖像的小波系數(shù)除具有稀疏性外，還具有一些結(jié)構(gòu)上的分布特征，如與邊緣紋理相對應(yīng)的大系數(shù)往往呈樹狀分布，小波系數(shù)幅值在尺度間呈指數(shù)衰減等，將這些先驗知識引入的CS重構(gòu)中可改善重構(gòu)效果，減少重構(gòu)所需的采樣值數(shù)目。Baraniuk在文獻(xiàn)[10]中提出了基于模型的CS重構(gòu)理論，證明了將描述信號小波系數(shù)分布的結(jié)構(gòu)模型引入到CS重構(gòu)理論的正確性及有效性，為基于模型的CS圖像重構(gòu)提供了理論依據(jù)。文獻(xiàn)[11]提出了TMP(Treebased Matching Pursuit)和TOMP(Tree-based Orthogonal Matching Pursuit)算法，將信號小波系數(shù)呈樹狀分布結(jié)構(gòu)用于MP或OMP算法中。這兩種算法先利用MP或OMP算法尋找位于小波樹頂端的大系數(shù)，然后沿著有大系數(shù)的子樹向下搜索它的子系數(shù)，而對于沒有大系數(shù)的子樹不再進(jìn)行搜索，與MP或OMP相比，此方法極大地縮小了搜索空間，減少了計算量，實現(xiàn)信號的快速重構(gòu)。文獻(xiàn)[12]提出了BOMP算法(Block-based Orthogonal Matching Pursuit)，將信號小波系數(shù)的塊分布模型引入到OMP算法中。TMP,TOMP和BOMP算法相比與標(biāo)準(zhǔn)的CS重構(gòu)有了較大改進(jìn)，但上述算法引入的模型較為簡單，不能精確刻畫信號小波系數(shù)的結(jié)構(gòu)分布特征，且上述算法對于一維信號的重構(gòu)效果較好，但對于圖像重構(gòu)，算法計算開銷大，重構(gòu)效果不理想。圖像小波域的隱馬爾可夫模型(HMT)能較為精確地描述圖像小波系數(shù)的分布特征，它已廣泛應(yīng)用于圖像去噪[13]和圖像復(fù)原[14]中。文獻(xiàn)[15]將該模型引入到一維信號的CS重構(gòu)中，采用重置權(quán)重的?1范數(shù)最優(yōu)化算法，直接將HMT模型參數(shù)引入的重置權(quán)重的修正中。但文獻(xiàn)[15]未對算法的合理性做相應(yīng)的理論推導(dǎo)，缺少理論依據(jù)。本文將HMT模型引入到圖像的CS的重構(gòu)中，從最大后驗概率(MAP)出發(fā)，經(jīng)過理論推導(dǎo)，將基于HMT的圖像重構(gòu)轉(zhuǎn)化為與標(biāo)準(zhǔn)圖像CS重構(gòu)形式相似的優(yōu)化問題，并提出采用基于貝葉斯優(yōu)化的凸集交替投影法(Projections Onto Convex Sets，POCS)求解該優(yōu)化問題。另外本文將具有更多方向選擇性的雙樹小波域通用HMT(universal HMT，uHMT)模型代替小波域HMT模型，省去了使用HMT模型的計算開銷巨大的訓(xùn)練過程。為進(jìn)一步提高圖像重構(gòu)質(zhì)量，本文對uHMT模型進(jìn)行修正，提出了改進(jìn)的uHMT模型(improved uHMT, iuHMT)，它能更精確刻畫小波系數(shù)的局部分布特性，實驗結(jié)果表明了算法的有效性。

2 稀疏變換域的uHMT模型及其改進(jìn)

2.1 小波域HMT模型

圖像的小波系數(shù)分布具有以下特征：(1)小波系數(shù)的非高斯性分布：即只有極少數(shù)小波系數(shù)具有較為顯著的較大值，而絕大多數(shù)小波系數(shù)的幅值較小，近似為零。(2)小波系數(shù)狀態(tài)的尺度持續(xù)性：小波系數(shù)“大”或“小”的狀態(tài)具有在尺度間傳遞的特性。圖像小波域HMT模型[14]能有效描述小波系數(shù)的上述特性。圖像小波系數(shù)呈樹狀圖分布，其HMT模型為每個小波系數(shù)wi設(shè)置對應(yīng)的隱狀態(tài)變量Si。HMT模型采用混合高斯模型來模擬小波系數(shù)分布的非高斯性：如果已知第i個結(jié)點隱狀態(tài)變量的概率分布，則小波系數(shù)wi的概率密度與其他小波系數(shù)及隱狀態(tài)變量無關(guān)，即式中pSi(m)=p(Si=m)為隱狀態(tài)變量概率分布，它們滿足為高斯概率密度函數(shù)，m為小波系數(shù)隱狀態(tài)變量的一個實現(xiàn)，隱狀態(tài)變量在1,…,M中取值，本文中M=2。m=1的高斯成分具有較小的方差，刻畫與圖像光滑部分對應(yīng)的小波系數(shù)分布特征； m=2的高斯成分具有較大方差，刻畫與圖像邊緣紋理對應(yīng)的大系數(shù)的分布特征。

小波系數(shù)狀態(tài)沿尺度的持續(xù)性可采用隱狀態(tài)變量沿尺度的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率表征：任一結(jié)點小波系數(shù)的隱狀態(tài)僅依賴于其父結(jié)點ρ(i)的隱狀態(tài)，這種依賴關(guān)系由條件概率=p(m| S=r)來表Si| Sρ(i)ρ(i)征，它構(gòu)成了此結(jié)點狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。上述參數(shù)、、μi,m、加上根結(jié)點處隱狀態(tài)變量概率分布pS1(m)構(gòu)成了HMT模型參數(shù)，記為θ。文獻(xiàn)[16]假設(shè)同一級小波系數(shù)具有相同的模型參數(shù)，因此參數(shù)個數(shù)近似為4J(J為小波分解的級數(shù))，它們可以通過EM算法訓(xùn)練得到。已知小波系數(shù)w和模型參數(shù)θ，可通過Upward-Downward算法獲得小波系數(shù)的后驗概率p(Si=m|w, θ)。在HMT模型下，由于小波變換的正交性，小波3個子帶相互獨(dú)立，小波系數(shù)的聯(lián)合概率分布可表示為

2.2 小波及雙樹小波域uHMT模型

上述HMT模型在使用中需經(jīng)過大量的訓(xùn)練才能獲得具體的參數(shù)值，計算量較大。文獻(xiàn)[17]提出一種小波域通用HMT(universal HMT，uHMT)模型，它根據(jù)圖像小波系數(shù)的幅值沿尺度呈現(xiàn)指數(shù)衰減特性得到HMT模型的各級高斯成分方差有以下關(guān)系：式中j表示小波變換級數(shù)，j=1,2,…,J 。小波系數(shù)的“大”或“小”的狀態(tài)持續(xù)性沿尺度呈指數(shù)增強(qiáng)的特性，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可表示如下：

根據(jù)上述特性將HMT模型參數(shù)由原來的4J個減少為9個，即文獻(xiàn)[17]提出的小波域uHMT模型參數(shù)為

該模型參數(shù)對于大多數(shù)自然圖像都是適用的，因此用uHMT代替HMT能省去計算量較大的訓(xùn)練步驟，有效減少了計算開銷。

普通的正交或雙正交2維小波變換的方向選擇性差(只有水平、垂直和對角線3個方向)，并且不具有平移不變性，它不能實現(xiàn)圖像幾何信息(如邊緣和紋理)的最優(yōu)表示。為提高圖像壓縮感知系統(tǒng)的性能，本文應(yīng)用具有六方向選擇性和平移不變性的雙樹小波[18]來實現(xiàn)圖像稀疏表示。雙樹小波有實小波和復(fù)小波兩種，為減少冗余度和計算量，本文應(yīng)用冗余度為2的雙樹實小波。雙樹小波的uHMT模型參數(shù)與小波uHMT模型參數(shù)類似，經(jīng)過對多幅圖像的訓(xùn)練獲得雙樹小波域uHMT模型參數(shù)為

2.3 改進(jìn)的uHMT(iuHMT)模型

上述uHMT模型將同級所有小波系數(shù)的uHMT模型的高斯成分簡化為具有相同的方差。然而由于小波系數(shù)的分布具有局部性，不同子帶不同位置的高斯成分方差并不相同，且成分方差與小波系數(shù)的局部能量相關(guān)?；谶@一特性本文提出了局部自適應(yīng)性的改進(jìn)uHMT模型(iuHMT,improved uHMT)，將高斯成分的方差與小波系數(shù)的局部能量相關(guān)聯(lián)。設(shè)w為圖像小波系數(shù)或雙樹小波系數(shù)，圖像的噪聲為2σ，則某點處小波系數(shù)wi的局部能量表示為：，其中Ni是以i點為中心的鄰域，M為鄰域大小，本文取M=3×3。wi兩個高斯成分的方差可分別表示為：則iuHMT模型的參數(shù)可改為：θ=。其中參數(shù)kS和kL分別表示兩個高斯成份的方差與該點小波系數(shù)局部能量的比例關(guān)系。通過對多幅圖像的統(tǒng)計結(jié)果，kL為0.1，kS分別為0.2和0.25時小波與雙樹小波域的iuHMT性能最好。本文中小波域的iuHMT模型的參數(shù)取值為

雙樹小波域的iuHMT模型的參數(shù)取值為

iuHMT的模型參數(shù)比uHMT少兩個，并且由于高斯成分的方差具有局部性和自適應(yīng)性，它能更精確描述小波或雙樹小波系數(shù)的分布特征。

3 基于雙樹小波uHMT模型的壓縮感知圖像重構(gòu)

3.1 圖像壓縮感知

設(shè)信號x的稀疏變換為x=Ψw，Ψ為信號的稀疏基，w為信號的稀疏系數(shù)。采用投影矩陣Φ對信號進(jìn)行投影，得到信號的觀測值y=Φx。理論證明只要Θ=ΦΨ滿足限制等容性[1,2](Restricted Isometry Property, RIP)，利用觀測值y，即可重構(gòu)信號x。信號x的重構(gòu)可表示為求解以下優(yōu)化問題：

式中η為觀測噪聲。式(3)表示在滿足觀測值條件下，尋找x的非零變換系數(shù)最少的解，即x的最稀疏解。由于上述優(yōu)化問題是一個典型的NP-hard問題，通常采用?1范數(shù)等價代替?0范數(shù)[1,2]，即優(yōu)化問題式(3)等價為

求解上式的典型算法包括迭代硬閾值法(IHT)和迭代軟閾值法(IST)。

3.2 重構(gòu)模型的推導(dǎo)

引入HMT模型后，根據(jù)最大后驗概率(MAP)準(zhǔn)則，壓縮感知圖像重構(gòu)可表示為

式中f(w| y)為小波系數(shù)的條件概率密度，y=ΦΨw +η為圖像x的觀測值，η為高斯白噪聲：η～N(μ, σ2)。根據(jù)貝葉斯公式式(5)等價為

式中f(w)和f(y)分別為w和y的概率密度函數(shù)，f(y)為常數(shù)，f(w)即為式(2)表示的HMT模型的聯(lián)合概率密度函數(shù)。由于η=y?ΦΨw 為高斯分布，因此有

對式(6)右端取自然對數(shù)得

將式(2)，式(7)代入式(8)并去掉常數(shù)項得

將式(9)的右邊乘?1有

根據(jù)拉格朗日乘子法，式(12)可以寫成下列形式：

式(13)與式(4)類似，均為在滿足觀測值條件下尋找滿足要求的最優(yōu)解，關(guān)鍵區(qū)別為式(4)是只利用了信號的稀疏性先驗知識，而式(13)則包含了HMT模型蘊(yùn)含的稀疏性和樹結(jié)構(gòu)分布先驗知識。

3.3 重構(gòu)算法的實現(xiàn)

式(13)為凸優(yōu)化問題，本文采用基于貝葉斯優(yōu)化的凸集交替投影(POCS)算法求解，優(yōu)化問題涉及以下兩個凸集：

POCS算法交替向兩個凸集C1和C2進(jìn)行投影， C1和C2的交點即為式(13)的最優(yōu)解：

POCS算法迭代步驟如下：

(1)將第t次迭代的結(jié)果wt向C1投影：

(2)利用梯度下降法將β向C2投影：

梯度下降法需在每次迭代中在下降方向上尋找最優(yōu)步長，即進(jìn)行一次線性優(yōu)化搜索，計算開銷較大。本文采用貝葉斯優(yōu)化[17]代替梯度下降法。令λ=diag(λi)，其中λi為

根據(jù)式(15)得到t+1w的第i個分量為

將λi的值代入并化簡得

式(17)即為文獻(xiàn)[17]給出的HMT模型的貝葉斯優(yōu)化結(jié)果。貝葉斯優(yōu)化方法根據(jù)模型參數(shù)，對系數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計優(yōu)化 ，避免了每次迭代過程對步長的優(yōu)化搜索，減小了計算量。

基于雙樹小波iuHMT模型的壓縮感知重構(gòu)算法具體步驟包括：

(1)初始化：設(shè)置最小誤差Emin和最大迭代次數(shù)tmax, w1=ΨTΦTy ，t=1。

(2)利用式(14)將wt投影到C1得到β。式中Φ表示PDCT(Permuted Discrete Cosine Transform)投影，Ψ和ΨT表示雙樹小波變換及其逆變換。

(3)利用穩(wěn)健中值算子估計β所含噪聲的方差σ2。

(4)利用雙樹小波域iuHMT模型參數(shù)及Upward-Downward算法估計β的隱狀態(tài)變量后驗概率pSi(m)。

(5)將β投影到C2，即利用式(17)獲得wt+1。

(6)xt+1=Ψwt+1，若||xt+1?xt||＜Emin或t＞tmax則轉(zhuǎn)移到下一步，否則令t=t+1轉(zhuǎn)到(2)繼續(xù)執(zhí)行。

(7)輸出重構(gòu)圖像xt+1。

4 實驗結(jié)果

為驗證算法有效性，本文將基于uHMT模型和iuHMT模型的圖像壓縮感知重構(gòu)與標(biāo)準(zhǔn)的圖像壓縮感知重構(gòu)算法進(jìn)行比較。本文實驗選取barbara,boat, couple, hill, lena, man, fingerprint 7幅512×512的標(biāo)準(zhǔn)灰度圖像進(jìn)行重構(gòu)。實驗中分別用DWTIHT, DWTuHMT, DWTiuHMT, TDWTIHT,DTDWTuHMT, DTDWTiuHMT表示小波域的IHT重構(gòu)、小波域uHMT模型重構(gòu)、小波域iuHMT模型重構(gòu)、雙樹小波域IHT重構(gòu)、雙樹小波域uHMT模型重構(gòu)及雙樹小波域iuHMT模型的重構(gòu)。其中小波域的uHMT及iuHMT重構(gòu)算法將上部分算法實現(xiàn)中步驟(2)的雙樹小波變換改為Daubechies4正交小波變換，步驟(4)中的參數(shù)相應(yīng)改為小波域的模型參數(shù)值。

表1為DWTuHMT、DWTiuHMT和DWTIHT算法在不同采樣率下重構(gòu)的峰值信噪比(PSNR)比較。表中平均值一欄為各算法在各個采樣率下7幅圖像重構(gòu)PSNR的平均值，黑體數(shù)字表示較高的PSNR。由表1可以看出在采樣率為20%，30%和40%時DWTuHMT算法重構(gòu)的PSNR平均值要比DWTIHT算法的PSNR平均值分別高出1.39 dB,2.12 dB和2.50 dB，DWTuHMT算法重構(gòu)效果明顯優(yōu)越于DWTIHT算法；在采樣率10%，DWTuHMT相比DWTIHT高出0.25 dB。在4種采樣率下，DWTiuHMT重構(gòu)的PSNR平均值較DWTIHT分別高5.31 dB，5.34 dB，5.24 dB，4.93 dB，較DWTuHMT分別高5.06 dB，3.95 dB，3.12 dB，2.43 dB，充分體現(xiàn)了基于iuHMT模型重構(gòu)的優(yōu)越性。表2 為DTDWTuHMT, DTDWTiuHMT和DTDWTIHT算法對7幅圖像重構(gòu)PSNR平均值的比較。從表2可以看出在采樣率為20%、30%、40%時，DTDWTuHMT算法重構(gòu)PSNR平均值比DTDWTIHT算法分別高出1.03 dB，1.51 dB，1.74 dB。在4種采樣率下，DTDWTiuHMT重構(gòu)的PSNR平均值比DTDWTIHT分別高出了1.30 dB，2.46 dB，2.39 dB，2.20 dB之多，較DTDWTuHMT也分別高出了1.13 dB，1.43 dB，0.88 dB，0.46 dB?；贒TDWTiuHMT模型的重構(gòu)圖像PSNR的平均值比DTDWTuHMT模型高0.97 dB，同樣體現(xiàn)了基于iuHMT模型重構(gòu)算法的優(yōu)越性。將表1中DWTuHMT、DWTiuHMT算法對各圖像的重構(gòu)PSNR與表2中DTDWTuHMT, DTDWTiuHMT算法對各圖像的重構(gòu)PSNR進(jìn)行比較可以看出，DTDWTuHMT在4種采樣率下重構(gòu)PSNR平均值比DWTuHMT分別高出4.82 dB，4.17 dB，3.32 dB，2.47 dB；DTDWTiuHMT的重構(gòu)PSNR平均值比DWTiuHMT分別高出了0.89 dB，1.65 dB，1.06 dB，1.50 dB，充分表明雙樹小波比普通小波更適合于壓縮感知。

表1 小波域uHMT、iuHMT重構(gòu)與IHT重構(gòu)PSNR的比較

表2 雙樹小波域的iuHMT、uHMT重構(gòu)與IHT重構(gòu)PSNR的比較

圖1為采樣率為20%時各種算法對barbara重構(gòu)結(jié)果的局部圖像。圖1(a)為小波域IHT算法重構(gòu)的圖像，該圖像紋理信息丟失嚴(yán)重，且含有大量噪聲；圖1(b)為小波域的uHMT模型重構(gòu)圖像，與圖1(a)相比，該圖像恢復(fù)了更多的紋理信息，重構(gòu)效果有明顯改善；圖1(c)為小波域的iuHMT模型重構(gòu)圖像，與圖1(a)，1(b)相比，紋理信息進(jìn)一步增多，且所含噪聲進(jìn)一步降低；圖1(d)為雙樹小波域的IHT重構(gòu)圖圖像，它恢復(fù)了較多的紋理信息，但圖像過度平滑，造成模糊失真；圖1 (e)為雙樹小波域uHMT算法的重構(gòu)圖像，包含了更豐富的紋理信息，圖像更清晰，有效改善了圖1(d)的模糊失真；圖1(f)為雙樹小波域iuHMT算法的重構(gòu)效果圖，與其余5幅圖像相比，它的紋理和邊緣信息最清晰，視覺效果最好。

5 結(jié)論

標(biāo)準(zhǔn)的壓縮感知重構(gòu)只是利用了小波系數(shù)稀疏性的先驗知識，而未利用小波系數(shù)分布結(jié)構(gòu)特征的先驗知識。本文提出一種基于雙樹小波域改進(jìn)uHMT模型的圖像壓縮感知重構(gòu)算法，將有效描述圖像小波系數(shù)分布的HMT模型引入的圖像的壓縮感知重構(gòu)。從最大后驗概率出發(fā)，經(jīng)過理論推導(dǎo)，將基于HMT的重構(gòu)轉(zhuǎn)化為型如標(biāo)準(zhǔn)壓縮感知重構(gòu)的優(yōu)化問題，并提出采用基于貝葉斯優(yōu)化的POCS算法對優(yōu)化問題求解。本文還提出了基于雙樹小波域的uHMT模型，與小波相比，雙樹小波能更加有效地描述圖像的幾何信息，且采用uHMT模型省去了HMT模型所需的計算量巨大的訓(xùn)練過程，提高了重構(gòu)質(zhì)量和重構(gòu)速度。另外本文對uHMT進(jìn)行了改進(jìn)，提出參數(shù)個數(shù)更少，更能精確描述雙樹小波變換系數(shù)分布特征的iuHMT模型，進(jìn)一步提高了圖像重構(gòu)質(zhì)量。

圖1 采樣率為20%時barbara重構(gòu)效果比較

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