組合KdV型方程孤立波的軌道穩(wěn)定性

張衛(wèi)國, 卜曉雙, 卞蘭蕓

(上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093)

由JB=T′(0)知B=-1,所以,可定義

1 問題的提出

組合KdV方程

可作為一維非線性晶格傳播波的模型[1-3].文獻(xiàn)[4]應(yīng)用約化攝動法于兩層流體界面近臨界情形也得到了方程(1),因此,方程(1)也是流體力學(xué)中的一個重要模型方程.文獻(xiàn)[1,5]通過初等積分法求出了方程(1)的漸近值為0的鐘狀孤波解,文獻(xiàn)[6]則得到了這種孤波解的近似解.文獻(xiàn)[7]得到了廣義組合KdV型方程

的漸近值為零的鐘狀孤波解.

已有不少文獻(xiàn)對KdV型方程的孤波解進(jìn)行了穩(wěn)定性研究,例如,文獻(xiàn)[8-13]利用變分法研究了KdV型方程

的孤波解的穩(wěn)定性,得到當(dāng)0＜p＜4時方程(3)的孤波解穩(wěn)定,p＞4時不穩(wěn)定的結(jié)論.文獻(xiàn)[14]對方程(3)的孤波解給出了當(dāng)0＜p＜4時軌道穩(wěn)定,p≥4時不穩(wěn)定的結(jié)論.文獻(xiàn)[15]研究了方程

的振蕩不穩(wěn)定性,得到線性不穩(wěn)定性發(fā)生在下列3種情況下:a.波速c固定,且p＞4,r足夠小;b.r固定,且p＞4,波速足夠大;c.r固定,且波速c和p都足夠大.

文獻(xiàn)[16-17]分別利用變分方法和Lyapunov方法研究了方程

的穩(wěn)定性,給出了使方程(4)的孤波解穩(wěn)定的充分條件.

容易看出,以往研究KdV型方程孤波解穩(wěn)定性的文獻(xiàn)大多集中于方程中僅含一個非線性項的情形.本文著重研究方程中含有兩個非線性項的組合KdV型方程(2)孤立波解的軌道穩(wěn)定性.關(guān)于軌道穩(wěn)定性的理論參見文獻(xiàn)[18-19].由于組合KdV型方程(2)比KdV型方程(3)多一個非線性項bu2pux,它的精確孤波解2002年才被求出[7],所以,以往文獻(xiàn)還沒有研究過方程(2)的孤波解的軌道穩(wěn)定性,甚至對作為原型方程的組合KdV方程(1)的孤波解軌道穩(wěn)定性研究的文獻(xiàn)也沒有找到.或許有人認(rèn)為,在其他條件不變的情況下,穩(wěn)定性主要會受最高次數(shù)非線性項的影響.既然KdV型方程(3)的孤波解當(dāng)0＜p＜4時軌道穩(wěn)定,p≥4時不穩(wěn)定,那么可料想,組合KdV型方程(2)的孤波解相應(yīng)地可能會在0＜p＜2時軌道穩(wěn)定,而在p≥2時不穩(wěn)定.但事實確并非如此.本文研究的結(jié)果表明,組合KdV型方程(2)的孤波解的軌道穩(wěn)定性不僅受最高次數(shù)非線性項bu2pux的影響,還受到另一非線性項aupux的影響.在b＞0,0＜p≤2情形,得出結(jié)論:對于方程(2)的恒正的孤波解u1(x-ct),當(dāng)a＞0時是軌道穩(wěn)定的,a＜0時是軌道不穩(wěn)定的;對于恒負(fù)的孤波解u2 (x-ct),當(dāng)a＜0時是軌道穩(wěn)定的,a＞0時是軌道不穩(wěn)定的.由此還可知,當(dāng)p=2,a＞0時,組合KdV型方程

的孤波解是軌道穩(wěn)定的.方程(5)與p=4時的方程(3)具有相同的最高次非線性項,前者的孤波解軌道穩(wěn)定,而后者的孤波解軌道不穩(wěn)定,本文指出了其中的原因,方程(5)中含系數(shù)a的這項具有促使穩(wěn)定化的作用.

為討論方便起見,現(xiàn)引述文獻(xiàn)[7]中的有關(guān)結(jié)果.

引理1 假設(shè)c＞0.

a.若b＞0或b≥0,且a＞0,則方程(2)有鐘狀孤波解

其中

其中

文獻(xiàn)[7]已指出,在引理1的a條件下,式(6)中括號內(nèi)函數(shù)ψ1(ξ)恒正,在引理1的b條件下,式(7)中括號內(nèi)函數(shù)ψ2(ξ)恒負(fù).

2 驗證方程(2)及其孤波解滿足軌道穩(wěn)定性理論的要求

方程(2)可寫成哈密頓系統(tǒng)

其中,X=H2(R),它的對偶空間為X*=H-2(R).

反對稱算子

X上的內(nèi)積為

X與X*間存在自然同構(gòu),I∶X→X*,定義為〈If,g〉=(f,g),其中

設(shè)T是X上具有單參數(shù)的酉算子群,定義為T(s)u(?)=u(?-s) ?s∈R,u(?)∈X(9)顯然,

由JB=T′(0)知B=-1,所以,可定義

由式(9)可知,引理1中方程(2)的孤波解式(6)和式(7)可寫成T(ct)ui(x)(i=1,2).現(xiàn)考慮孤立波解T(ct)ui(x)的軌道穩(wěn)定性.為不使重復(fù),取定φc(x)為u1(x)和u2(x)兩者之一.驗證T(ct) φc(x)滿足Grillakis-Shatah-Strauss提出的軌道穩(wěn)定性理論的要求.

首先,由文獻(xiàn)[20]中的定理1和定理2即可推知文獻(xiàn)[20]中的系統(tǒng)(3.1)初值問題解的存在性.

引理2[20]設(shè)s≥2,對于任意固定的 u0∈Hs(R),方程(2)存在唯一的解u∈C([0,∞); Hs(R)),滿足u(0)=u0.

又易證,由式(8)和式(10)定義的E(u),Q(u)分別滿足

其次,可證引理3.

引理3 φc是方程(2)的有界態(tài)解,且滿足

證明 因為φc滿足方程(2),代入方程(2)得

對式(11)兩邊積分可得

因為,當(dāng)x→∞時,φc,φcx,φcxx→0,所以,C= 0,即

所以

現(xiàn)定義算子Hc:X→X*,Hc=E″(φc)-cQ″(φc),其中

經(jīng)計算得

易知Hc是一個自共軛算子,Hc=H*c,這意味著I-1Hc為在X上的有界自共軛算子,Hc的特征值由那些使得Hc-λ I不可逆的實數(shù)λ組成.

由式(11)可知,λ=0是Hc的一個特征值.

經(jīng)上述分析可以證明引理4成立.

引理4 對每一個c∈(c1,c2),Hc僅有一個負(fù)的簡單特征值,且它的核空間由T′(0)φc張成,它的其余的特征植是正的、有界的,而且遠(yuǎn)離于0.

證明 因為x=0是φcx的唯一零點,由Sturm-Liouville定理知,0是Hc的第二特征值,故Hc只有一個負(fù)特征值-σ2,它對應(yīng)的特征函數(shù) χ滿足

于是,可對Hc進(jìn)行譜分解.令

對?0≠p∈P,根據(jù)文獻(xiàn)[18]中的引理可知,對滿足(p,χ)=(p,φcx)=0的任意實函數(shù)p∈H1(R),存在正數(shù) β＞0,使得且β與p無關(guān),則〈Hcp,p〉＞0.

因此,空間X可分解為直和X=N+Z+P,其中,Z為Hc的核空間,N是一個有限維空間,P為一個閉子空間.

定義d(c)=E(φc)-cQ(φc),R→R.由于引理2～4成立,據(jù)文獻(xiàn)[18]可以得到定理1.

定理1 設(shè)u1(x-ct),u2(x-ct)是引理1中給定的方程(2)的孤波解,其中,系數(shù)p,a,b及波速分別滿足引理1中的假設(shè).取定 φc(x)為u1(x)和 u2(x)之一,那么,若 d″(c)＞0, T(ct)φc(x)是軌道穩(wěn)定的;若d″(c)＜0,T(ct)φc (x)是軌道不穩(wěn)定的.

3 組合KdV型方程鐘狀孤波解的軌道穩(wěn)定性

為考慮組合KdV型方程鐘狀孤波解的軌道穩(wěn)定性,由定理1可知,只需考察d(c)=E(φc)-cQ(φc)二階導(dǎo)數(shù)d″(c)的符號.這里

3.1 b=0時KdV型方程孤波解的軌道穩(wěn)定性

在引理1的式(6)和式(7)中,令b=0,可得:

a.若a＞0,則KdV型方程

有孤波解

據(jù)式(12)有

根據(jù)式(16)可得,對于KdV型方程(13)的孤波解式(14),有

故得定理2.

定理2 當(dāng)0＜p＜4時,不論a＞0或a＜0, KdV型方程(13)的孤波解式(14)都是軌道穩(wěn)定性的;當(dāng)p＞4時,KdV型方程(13)的孤波解式(14)是軌道不穩(wěn)定性的.

定理2與文獻(xiàn)[9-10,14]中的結(jié)論相同.從式(17)可清楚地看出,p=4使d″(c)=0,此時,本文所用軌道穩(wěn)定性判別法失效.

3.2 b≠0的情形

首先考察方程(2)的孤波解式(6)的軌道穩(wěn)定性判別式d″(c).式(6)可改寫為

其中,ξ=x-ct.

在式(12)中取φc(x)=u1(x),則有

為討論d″(c)的正負(fù)號,注意式(18)中被積函數(shù)關(guān)于c的導(dǎo)數(shù),得

由于d1+d2cosh2(d3x)→∞(當(dāng)x→∞),當(dāng)0＜p≤2時,是當(dāng)x→∞時趨于0的有界函數(shù).由式(19)可知,具內(nèi)閉一致收斂性.故根據(jù)含參量積分的求導(dǎo)方法,當(dāng)0＜p≤2時,有

利用分部積分方法可得

再利用積分中值公式,并將式(21)代入式(20),得

其中,x*∈R.

由于

且

將式(24)和式(25)代入式(23),可得

經(jīng)計算可得

將式(27)～(29)代入式(26),即得

再將式(30)代入式(22),可得關(guān)于孤波解u1(x-ct)軌道穩(wěn)定的判別式

現(xiàn)研究方程(2)的孤波解式(7)的軌道穩(wěn)定性判別式.

其中

于是,有

將以上各式代入式(33),得

根據(jù)式(27)～(30),有

根據(jù)式(31)和式(34),且知引理1中關(guān)于u1 (x-ct)恒正,而u2(x-ct)的表達(dá)式(7)中ψ2(ξ)恒負(fù),可以推出結(jié)論:

a.對于u1(x-ct),當(dāng)a＞0時,d″(c)＞0,當(dāng)a＜0時,d″(c)＜0;

根據(jù)以上述結(jié)論和定理1,得到定理3.

定理3 設(shè)b＞0,0＜p≤2.

a.組合KdV型方程(2)的孤波解u1(x-ct).當(dāng)a＞0時是軌道穩(wěn)定的,a＜0時是軌道不穩(wěn)定的;

b.組合KdV型方程(2)的孤波解u2(x-ct).當(dāng)a＜0時是軌道穩(wěn)定的,a＞0時是軌道不穩(wěn)定的.

根據(jù)定理3,在方程(2)中取p=2,可知組合KdV型方程(5)的鐘狀孤波解當(dāng)a＞0時是軌道穩(wěn)定的.又根據(jù)前面的討論及文獻(xiàn)[14]可知,若在方程(5)中令a=0,則KdV型方程

的鐘狀孤波解是不穩(wěn)定的.究其內(nèi)在原因,考慮式(18),當(dāng)p=2時,利用式(25)直接可得

由式(35)可知,當(dāng)a=0時,d′(c)關(guān)于c為常數(shù),自然有d″(c)=0;當(dāng)a≠0時,d′(c)隨著a的增加而減少,隨著c的增加而增大,所以,方程(5)中含a的這項的出現(xiàn)減弱了不穩(wěn)定性,起到了某種穩(wěn)定化的作用.

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