Gamma過程退化失效可靠性分析

孫中泉，趙建印

（海軍航空工程學院 a.科研部；b.兵器科學與技術(shù)系，山東 煙臺 264001）

0 引言

可靠性是產(chǎn)品的一個重要的質(zhì)量特性，它在滿足用戶“需求”方面起著極為重要的作用。傳統(tǒng)的可靠性分析方法分析的對象為壽命數(shù)據(jù)，即產(chǎn)品的失效時間，通過對壽命數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析確定產(chǎn)品的壽命分布，進而確定產(chǎn)品的可靠性特征量。隨著科技的不斷進步，設(shè)計、制造方法以及使用材料的不斷提高與改善，產(chǎn)品的可靠性越來越高，壽命越來越長，這使得產(chǎn)品在較短的時間內(nèi)很難失效，由于得不到足夠的失效數(shù)據(jù)，使得基于壽命數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析的可靠性分析結(jié)果精度很差，理論與實際脫離，僅利用壽命數(shù)據(jù)評價產(chǎn)品可靠性變得非常困難。在某些情況下，如果產(chǎn)品的失效是由于其某些性能指標隨時間不斷退化而引起的，那么可以使用性能退化分析代替?zhèn)鹘y(tǒng)的失效數(shù)據(jù)分析來進行產(chǎn)品的可靠性評估。

實際上，相對于失效數(shù)據(jù)來說，產(chǎn)品的退化數(shù)據(jù)包含更多的可靠性信息[1]。另外，通過產(chǎn)品的退化信息進行可靠性分析更節(jié)省試驗時間和費用。

所謂退化失效是指產(chǎn)品在以往的存儲或工作過程中，產(chǎn)品的功能表征量隨時間的延長而逐漸緩慢地下降，直至達到無法正常工作的狀態(tài)（通常規(guī)定一個判定的臨界值，即退化失效標準），產(chǎn)品退化過程一般是一個單調(diào)的過程。已經(jīng)有一些學者對基于退化數(shù)據(jù)的可靠性分析方法進行了研究，文獻[1]的工作對退化失效模型的一些問題做了討論，而且在相當一般的條件下，提出了一些解決問題的方法；文獻[2]的工作更進一步，采用多重多元回歸模型來描述產(chǎn)品的退化過程，該模型包含了文獻[1]所給出的模型；文獻[3]利用退化信息對 ILF（Integrated Logic Family，一種新一代海底電纜的組件）進行了可靠性評估；文獻[4]對一些相關(guān)的研究做了較好的總結(jié)。以上文獻的研究主要利用隨機系數(shù)或混合系數(shù)的回歸模型來描述產(chǎn)品的退化量。但是，由于受到產(chǎn)品材料、應(yīng)力以及環(huán)境的隨機因素的影響，產(chǎn)品的退化過程一般可認為是一個隨機過程，因此可以利用隨機過程對產(chǎn)品退化失效進行建模。文獻[5-6]采用布朗運動可用來描述產(chǎn)品退化量的增長，通過求解該過程首次達到失效閾值時間的分布來獲取產(chǎn)品的失效分布。根據(jù)該隨機過程，某一時間段內(nèi)的退化量服從正態(tài)分布，不能保證退化量的增長是單調(diào)遞增的。因此，對于描述單調(diào)變化的退化過程來說，該過程并不很合適。

對于退化量的描繪，Gamma過程是更為合適的，它能保證退化量是單調(diào)遞增的。根據(jù)以上分析，為更好地描繪產(chǎn)品的退化失效，本文給出了一個基于隨機Gamma過程的退化失效模型。

1 退化失效模型

設(shè)產(chǎn)品的性能參數(shù)為y (t)，它隨使用時間的增加逐漸單調(diào)下降，產(chǎn)品初始性能值記為y0，它是一個已知量。另記 w(t)=y (t)?y0，表示到t時刻產(chǎn)品累積退化量的大小。由于退化量單調(diào)上升，對于任意的ti、tj，如果 tj＞ti，必有 w(tj)?w(ti)＞0。

Gamma分布為常用壽命分布之一，它具有形狀參數(shù)和尺度參數(shù)兩個參數(shù)，其形狀參數(shù)取不同值時，Gamma分布形狀多樣，可表征多種數(shù)據(jù)變化特性。因此，這里我們利用Gamma分布來描述退化量的隨機性，利用隨機Gamma過程來描述退化量隨時間變化的情況。即假設(shè){w(t),t ≥ 0}為一個隨機Gamma過程，它具有如下特性：

1）w(0)=0；

2）對任意的τ＞t，w(τ)?w(t)服從Gamma分布 Ga (α (τ)?α (t),λ(t))；

3）w(t)具有獨立增量，即任意對于 t1＜t2＜…tn(n＞2)，諸增量 w(t2)?w(t1),…,w(tn)?w(tn?1)相互獨立。

根據(jù)以上分析，退化量 w(t)服從Gamma分布Ga (α (t),λ(t))，其密度函數(shù)為

使用Gamma過程描述產(chǎn)品退化時，假設(shè)Gamma分布中的尺度參數(shù)λ (t)不隨時間變化，即λ(t)≡ λ，而形狀參數(shù)為時變參數(shù)。經(jīng)驗表明，一般情況下t時刻退化量的期望與時間的冪成正比，故設(shè)α (t)=ktb。因此，t時刻退化量 w(t)的分布密度為

記產(chǎn)品的失效閾值為l，產(chǎn)品失效時間為T，根據(jù)退化失效的定義，則

即失效時間為性能退化量首次達到失效閾值的時刻。也就是

該Gamma過程首達時的分布即為產(chǎn)品的失效分布。一般情況下很難利用解析方法求得Gamma過程首達時分布，因而可考慮采用仿真的方法求解。這里我們利用Monte-Carlo仿真模擬退化量的增長過程來求產(chǎn)品的失效時間，由仿真產(chǎn)生的一組失效數(shù)據(jù)進一步可求產(chǎn)品失效分布的經(jīng)驗函數(shù)，并基于此進行可靠性統(tǒng)計推斷。可按如下步驟仿真產(chǎn)生一個失效時間：

1）積退化量w=0，t=0；

2）產(chǎn)生服從Gamma分布函數(shù)Ga(α (t)?α (t?1),λ)的隨機數(shù)wt，該隨機數(shù)即為t時刻單位時間內(nèi)的產(chǎn)品退化量的大小，令 w=w+wt；

3）累積退化量w與失效閾值l的大小，如果w ≥ l，則執(zhí)行4），否則返回2）；

4）T為品的失效時間。

2 參數(shù)估計

設(shè)有m個樣品做性能退化試驗，分別在t1＜t2＜…＜tn時刻對樣品進行測量并記錄其性能退化量的大小，通過退化試驗可得到數(shù)據(jù){wij;i=1,2,…,m,j=1,2,…,n}，其中 wij表示第i個樣品的第j次測量時測得的累積退化量的值。模型(2)中未知參數(shù)為λ、k、b，下面我們利用試驗數(shù)據(jù)來估計它們。

產(chǎn)品t時刻的退化量大小 w(t)服從Gamma分布，分布的尺度參數(shù)不隨時間變化，形狀參數(shù)是時變參數(shù)，t時刻的退化量的均值和方差分別為

對固定j，j=1,2,…,n，由數(shù)據(jù){wij;i=1,2,…,m}可求得第j次測量時刻產(chǎn)品退化量均值和方差的估計值由于則利用可求得λ的估計值

對上式兩邊取對數(shù)，有

基于模型通過Monte-Carlo仿真即可獲得產(chǎn)品的失效分布。

3 實例分析

金屬化膜脈沖電容器是一種高可靠性器件，許多的激光慣性約束核聚變（ICF）試驗裝置，例如國外的NIF、OMEGA 或國內(nèi)的神光III 等強激光裝置[7-8]，均采用是該種電容器來提供泵浦能量。該型電容器元件是由兩張單面蒸涂厚約20～100 nm的薄金屬（鋁或鋁合金）的有機膜繞卷而成的，電流的引出是由元件兩端面噴以金屬層來實現(xiàn)的，由于膜在生產(chǎn)過程中不可避免地存在帶有雜質(zhì)或缺陷的區(qū)域，從而使得這些區(qū)域的耐電強度較低，形成“電弱點”。在外施電壓不斷作用下，電弱點處薄膜會首先被擊穿而形成放電通道，當薄膜被擊穿的同時，電荷通過擊穿點形成大電流，引起局部高溫，擊穿點處的薄金屬層會迅速蒸發(fā)并向外擴散使絕緣恢復，這樣，局部擊穿不會影響到整個電容器，電容器仍然可以使用，這一過程稱為“自愈”[9]，單次自愈過程所造成的僅是電容量極微小的損失。在使用過程中電容器不斷發(fā)生自愈，電容不斷降低，當電容下降量超過預定閾值時電容器將發(fā)生退化型失效。對于工作在高場強下的金屬化膜電容器來說，一般退化型失效模式的失效閾值取為5%[10]。

利用以上模型，我們下面對強激光裝置所用的某型金屬化膜脈沖電容器進行可靠性分析。共有8臺電容器進行性能退化試驗，電容器每充放電1 000次做一次測量，共運行了10 000次。

圖1給出了電容器的容值退化量隨時間的變化情況，圖中橫坐標為充放電次數(shù)，縱坐標為電容器容值。

圖1 電容器容值退化情況

將以上各估計值帶入到式(2)即可獲得退化量的分布密度函數(shù)，基于該函數(shù)，利用仿真方法獲取退化量到失效閾值的一組首達時，即失效時間，利用這一組失效時間可進一步求得電容器失效分布的經(jīng)驗函數(shù)。

另外，由于經(jīng)驗函數(shù)在工程上不好應(yīng)用，而雙參數(shù)的Weibull分布可以表示故障率遞增、遞減或恒定的故障類型，具有很好的靈活性，因而可以用雙參數(shù)的Weibull分布擬合該經(jīng)驗函數(shù)，雙參數(shù)的Weibull分布函數(shù)及其密度函數(shù)為

圖2 電容器失效概率曲線

圖3 Weibull 失效分布概率密度曲線

4 小結(jié)

由于受到其內(nèi)部結(jié)構(gòu)、材料特性、應(yīng)力以及工作環(huán)境等因素的隨機影響，產(chǎn)品的退化一般可認為是一個隨機過程，并且該退化過程一般是單調(diào)變化的，當退化量首次達到其失效閾值時產(chǎn)品便會發(fā)生退化失效。根據(jù)退化過程的特點，本文給出了一個基于隨機Gamma過程的退化失效模型，以及模型參數(shù)的估計方法，由于采用解析方法求解退化量首達時的分布存在一定難度，因而本文給出了一個基于仿真的求解方法。文章最后利用所得模型對強激光裝置所用某型金屬化膜脈沖電容器進行了可靠性分析并給出了可靠性評估結(jié)果，該結(jié)果表明所給模型在工程中是適用的。

[1]LU C J,MEEKER WQ.Using degradation measures to estimate a time-to-failure distribution[J].Technometrics,1993,35(2)∶161-174.

[2]CRK V.Reliability assessment from degradation data[C]//Proceedings Annual Reliability and Maintainability Symposium.2000∶155-161.

[3]CAREY M B,KOENIG R H.Reliability assessment based on accelerated degradation∶a case study[J].IEEE Trans.On Rel,1991,40(5)∶499-506.

[4]MEEKER W Q,ESCOBAR L A.Statistical Methods for Reliability Data [M].John Wiley &Sons,1998.

[5]SESHADRI V.The Inverse Gaussian Distribution[M].NY∶Springer,1999.

[6]WHITMORE G A,SCHENKELBERG F.Modelling accelerated degradation data using wiener diffusion with a time scale transformation[J].Lifetime Data Analysis,1997∶27-43.

[7]ENNIS J B,et al.Self-healing pulse capacitors for the national ignition facility(NIF)[C]//Proceeding of 12th IEEE International Pulsed Power Conference.Monterey,USA,1999∶118.

[8]周丕章,郭良福,陳德懷,等.激光聚變主放大器能源系統(tǒng)述評[J].強激光與粒子束,2003,15(4)∶346-351.

[9]代新,林福昌,李勁,等.高場強下金屬化膜脈沖電容器失效的原因[J].高電壓技術(shù),2000,26(5)∶27-29.

[10]孫權(quán),鐘征,周經(jīng)倫,等.自愈式金屬化膜脈沖電容器耗損失效模型[J].強激光與粒子束,2004,16(8)∶1000-1004.