單星多普勒變化率無(wú)源定位精度分析*

曹東波,張 敏,姜文利

(國(guó)防科技大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410073)

0 引言

單星無(wú)源定位作為一種空間電子偵察技術(shù)手段,具有成本低、系統(tǒng)簡(jiǎn)單、研發(fā)周期短等優(yōu)點(diǎn)。但現(xiàn)有的單星測(cè)角定位系統(tǒng),一般利用基線干涉儀獲取目標(biāo)方位信息,對(duì)衛(wèi)星的載荷、側(cè)向通道的相位一致性以及星載平臺(tái)的姿態(tài)控制和測(cè)量精度要求較高,定位精度不高。

利用多普勒頻率變化率作為測(cè)量量進(jìn)行無(wú)源定位,是一種快速、高精度的單站無(wú)源定位新技術(shù)。它僅利用衛(wèi)星在不同位置對(duì)同一個(gè)輻射源測(cè)量得到的多普勒變化率實(shí)現(xiàn)定位,對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)測(cè)控和通道特性無(wú)特殊要求,是一種低成本、低載荷、低功率需求的單星無(wú)源偵察定位系統(tǒng),易于工程實(shí)現(xiàn)。研究表明,利用測(cè)量多普勒變化率實(shí)現(xiàn)無(wú)源定位的定位精度取決于多普勒變化率測(cè)量精度、載波頻率測(cè)量精度、高程假設(shè)誤差、衛(wèi)星星歷誤差等因素。本文在簡(jiǎn)要介紹基于多普勒變化率的單星無(wú)源定位原理的基礎(chǔ)之上,推導(dǎo)了參數(shù)測(cè)量精度與定位精度之間的關(guān)系,仿真分析了不同測(cè)量精度條件下定位誤差的分布情況。

1 定位原理

地面輻射源在工作過(guò)程中,必然有信號(hào)輻射到太空,高速運(yùn)動(dòng)的低軌電子偵察衛(wèi)星從其所在區(qū)域上空通過(guò)時(shí),該衛(wèi)星上的天線接收機(jī)即可接收到地面輻射源的信號(hào)?？紤]到衛(wèi)星與輻射源之間存在相對(duì)運(yùn)動(dòng),在衛(wèi)星上接收到的信號(hào)將受到多普勒效應(yīng)的影響,通過(guò)數(shù)字信號(hào)處理和數(shù)據(jù)處理即可獲得信號(hào)多普勒變化率信息。由于不同時(shí)刻多普勒變化率與目標(biāo)位置具有對(duì)應(yīng)關(guān)系,結(jié)合輻射源位于地球表面這一先驗(yàn)信息的約束,即可多次測(cè)量解算出輻射源的位置。

假設(shè)如圖1所示,在地心直角坐標(biāo)系中,設(shè)衛(wèi)星位置ro=[xo,yo,zo]T,衛(wèi)星速度為vo=[vox,voy,voz]T,衛(wèi)星加速度為a o=[aox,aoy,aoz]T。地面固定輻射源的坐標(biāo)為r T=[x,y,z]T,輻射源速度為v T=0,輻射源加速度為a T=0,載波頻率為f0,載波波長(zhǎng)為λ。

圖1 單星單通道定位模型示意圖

在不考慮相對(duì)論效應(yīng)下,衛(wèi)星接收機(jī)接收到的信號(hào)中包含了相對(duì)徑向速度調(diào)制的多普勒頻率分量,即:

式中,c為電磁波在介質(zhì)中的傳播速度,﹒r為目標(biāo)與衛(wèi)星的徑向速度。

式中,r=r o-r T為目標(biāo)與衛(wèi)星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)位置矢量,v=v o-v T為目標(biāo)與衛(wèi)星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度矢量,r=((xo-x)2+(yo-y)2+(zo-z)2)1/2為目標(biāo)與衛(wèi)星的距離。

式(1)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到多普勒變化率為:

式(2)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到目標(biāo)與衛(wèi)星的徑向加速度為:

式中,a=d v/d t=a o-a T為目標(biāo)與衛(wèi)星的相對(duì)運(yùn)動(dòng)加速度矢量。

將式(4)代入式(3)得多普勒變化率為:

對(duì)地面靜止輻射源,衛(wèi)星在飛過(guò)目標(biāo)上空的在t1～tN時(shí)刻,接收機(jī)測(cè)量得到N個(gè)觀測(cè)值:

人們通常習(xí)慣于采用地球大地坐標(biāo)系表示輻射源的位置。本文采用WGS-84地球模型,目標(biāo)位置坐標(biāo)用地球大地坐標(biāo)系中經(jīng)緯高(L,B,H)表示,它和地心直角坐標(biāo)系有如下的轉(zhuǎn)換關(guān)系[1]:

式中,R=a(1-e2sin2B)-1/2為地卯酉圈曲率半徑,a=6378.136km為地球的長(zhǎng)半軸,e=0.081819190842552為第一偏心率。通過(guò)(7)式,目標(biāo)位置坐標(biāo)(x,y,z)被限制在地球的球面上,從而也構(gòu)成了一個(gè)定位方程。

2 定位計(jì)算方法

通過(guò)(6)及(7)聯(lián)立,可求解出目標(biāo)位置。在零高程假設(shè)情況下,采用在經(jīng)緯度上進(jìn)行網(wǎng)格搜索計(jì)算的方法來(lái)快速確定目標(biāo)輻射源位置[2]。該算法無(wú)需初始值,也不需要對(duì)協(xié)方差陣求逆,算法過(guò)程如下:

1)根據(jù)多個(gè)時(shí)刻觀測(cè)器位置的中心點(diǎn),計(jì)算觀測(cè)器軌跡在地面投影中心位置——中心星下點(diǎn)的位置。

2)以觀測(cè)器載體在地面的中心星下點(diǎn)為中心,在觀測(cè)器載體可能的地球球面探測(cè)范圍經(jīng)緯度[±L m ax,±B max]內(nèi),均勻劃分M×M個(gè)網(wǎng)格點(diǎn),其中L max和B max為目標(biāo)最大可能的經(jīng)度、緯度。

3)計(jì)算網(wǎng)格劃分線。將觀測(cè)器軌跡在地面投影的第一點(diǎn)X 1和最后一點(diǎn)XN連接成一條直線將步驟2)的M×M個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)劃分為兩部分,分為直線左下部分的網(wǎng)格點(diǎn)和直線右上部分的網(wǎng)格點(diǎn)。

4)分別計(jì)算每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的代價(jià)函數(shù)。對(duì)于每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的經(jīng)緯度,假定其海拔高度為h,計(jì)算其對(duì)應(yīng)在地心固定坐標(biāo)系下的三維位置(x,y,z),如果目標(biāo)位于該點(diǎn),則可根據(jù)星歷推算得到在任意tk時(shí)刻的理論頻率變化率值﹒fd(tk),再結(jié)合實(shí)際測(cè)量得到的頻率變化率(t),k=1,…,N,計(jì)算該點(diǎn)的代價(jià)函數(shù):k

5)分別搜索右上部分網(wǎng)格點(diǎn)和左下部分網(wǎng)格點(diǎn)的代價(jià)函數(shù)J(x,y,z)峰值點(diǎn),找到其對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)位置。

由于等多普勒頻率變化率定位曲面的對(duì)稱(chēng)性,與地球相交于兩點(diǎn),得到兩個(gè)關(guān)于星下點(diǎn)航跡對(duì)稱(chēng)的定位點(diǎn),因此存在著定位模糊問(wèn)題,可利用其它信息剔除虛假信息得到唯一的目標(biāo)位置。進(jìn)行網(wǎng)格搜索時(shí),網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)M越大,估計(jì)越接近最小均方估計(jì)。當(dāng)M較大時(shí),為減小運(yùn)算量,還可考慮采用多級(jí)搜索的辦法。

3 定位誤差的計(jì)算方法

從式(6)中可以看到,影響地面輻射源目標(biāo)定位精度的因素主要包括:多普勒變化率測(cè)量誤差、載頻測(cè)量誤差、衛(wèi)星星歷誤差。當(dāng)采用在經(jīng)緯度上進(jìn)行網(wǎng)格搜索計(jì)算方法求解輻射源位置時(shí),定位精度還受到高程假設(shè)誤差的影響。下面對(duì)定位誤差進(jìn)行分析:

由式(7)可得[3]:

求全微分,得:

對(duì)式(6)求全微分,得:

合并式(9)、(10),并寫(xiě)成矩陣形式為:

假設(shè)各測(cè)量誤差及定軌誤差不相關(guān),RdZ為多普勒變化率與高程假設(shè)協(xié)方差陣,R d X1為載頻測(cè)量協(xié)方差陣,R d X2為衛(wèi)星位置協(xié)方差陣,R d X3為衛(wèi)星速度協(xié)方差陣,R d X4為衛(wèi)星加速度協(xié)方差陣,則定位誤差的協(xié)方差矩陣為:

式中,C-1=(QTQ)-1QT。

衛(wèi)星等航天器的運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)足一定的軌道約束條件,衛(wèi)星的加速度由其位置、速度矢量即可確定[4]。為便于分析,這里僅在二體問(wèn)題下討論,此時(shí)衛(wèi)星的加速度由其位置矢量即可確定。在二體問(wèn)題下,根據(jù)萬(wàn)有引力定律可知[5]:

式中,μ=3.986004415e14m3/s2為地球引力常數(shù),Φk=[φxk(xok,yok,zok),φyk(xok,yok,zok),φzk(xok,yok,zok)]T。

對(duì)上式求其全微分得:

若衛(wèi)星位置定軌精度為10m數(shù)量級(jí),利用式(12)得到的衛(wèi)星加速度的精度為1e-5ms-2數(shù)量級(jí)。從后文的仿真也可以看到,此數(shù)量級(jí)的加速度引起的定位誤差很小。故式(10)可簡(jiǎn)化為:

用水平分量來(lái)衡量定位精度時(shí),將式(15)經(jīng)如下變換:

根據(jù)式(16)計(jì)算定位面上每點(diǎn)(L,B)的定位水平誤差,可以得到理論誤差的GDOP(Geometric Dilution of Precision)[7]分布為:

4 仿真結(jié)果及分析

在無(wú)特別說(shuō)明情況下,仿真選取的基本參數(shù)如下:載頻變化率測(cè)量精度σ1為1H z/s,高程假設(shè)精度σ2為0.1km,載頻測(cè)量精度σ3為1MH z,衛(wèi)星位置精度σ4為0.030km,衛(wèi)星速度精度σ5為0.001km/s。在測(cè)量定位參數(shù)期間,假設(shè)輻射源的載頻沒(méi)有發(fā)生捷變,且每隔10s進(jìn)行一次測(cè)量。

利用STK(Satellite Tool Kit)仿真軟件獲取衛(wèi)星運(yùn)行的星歷數(shù)據(jù)[8]。假設(shè)衛(wèi)星高度400km;輻射源載頻為1.3GHz;雷達(dá)轉(zhuǎn)速6r/min,測(cè)量起始時(shí)刻衛(wèi)星在地心直角坐標(biāo)系中的衛(wèi)星的位置為(-3173.3291,4921.6562,3412.9999)km,初始速度為(-0.7948,4.035,-6.5580)km/s,初始加速度為(0.0046,-0.0062,-0.0044)km/s2。圖中*代表衛(wèi)星星下點(diǎn)軌跡。

圖2為不同測(cè)量精度條件下輻射源水平定位精度。由圖可知,單星僅測(cè)多普勒變化率無(wú)源定位的誤差是關(guān)于衛(wèi)星星下點(diǎn)軌跡成對(duì)稱(chēng)分布的。通過(guò)圖(a)與(c)可知多普勒變化率測(cè)量精度對(duì)系統(tǒng)定位精度影響最大,要實(shí)現(xiàn)快速高精度單星無(wú)源定位,多普勒變化率的測(cè)量精度最好達(dá)到1Hz量級(jí)。通過(guò)圖(a)與(b)可以看出,高程假設(shè)誤差會(huì)引入一定的定位誤差,特別是在星下點(diǎn)附近產(chǎn)生的誤差較大。通過(guò)圖(a)與圖(d)可以看出載頻測(cè)量對(duì)定位誤差分布影響不大。從圖(e)、(f)中可以看出,衛(wèi)星星歷誤差對(duì)定位誤差分布影響很小,且隨著衛(wèi)星定軌技術(shù)的發(fā)展,衛(wèi)星位置定軌精度可達(dá)到10m量級(jí),速度定軌精度可達(dá)到1m量級(jí),甚至更小,因此星歷誤差對(duì)單星多普勒變化率定位精度的影響幾乎可以忽略。

圖2 定位精度仿真結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

單星測(cè)多普勒變化率無(wú)源定位方法具有有效載荷小、研發(fā)周期短、對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)無(wú)特殊要求等特點(diǎn)。本文重點(diǎn)分析了采用各種測(cè)量精度對(duì)定位精度的影響,通過(guò)仿真發(fā)現(xiàn),在現(xiàn)有的測(cè)量條件及測(cè)量精度下,衛(wèi)星星歷誤差、高程假設(shè)誤差、頻率測(cè)量精度對(duì)定位誤差分布的影響較小;多普勒變化率的測(cè)量精度對(duì)定位誤差分布的影響最大,是實(shí)現(xiàn)快速高精度單星無(wú)源定位的關(guān)鍵因素。本文的工作對(duì)單星定位系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和工程應(yīng)用具有一定的參考價(jià)值?！?/p>

[1] 邊少鋒,柴洪洲,金際航.大地坐標(biāo)系與大地基準(zhǔn)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2005.

[2] 張敏,馮道旺,郭福成.基于多普勒變化率的單星無(wú)源定位[J].航天電子對(duì)抗,2009,25(5):11-13.

[3] 林雪原,劉建業(yè).北斗雙星定位系統(tǒng)改進(jìn)及其算法研究[J].空間科學(xué)學(xué)報(bào),2003,23(2):149-154.

[4] 劉利生,吳斌,楊萍.航天器精確定軌與自校準(zhǔn)技術(shù)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2005.

[5] 張守信.外彈道測(cè)量與衛(wèi)星軌道測(cè)量基礎(chǔ)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,1992.

[6] 鐘單星,鄧新蒲,周一宇.基于WGS-84橢球模型的衛(wèi)星測(cè)時(shí)差定位精度分析[J].電子對(duì)抗技術(shù),2002,17(5):18-21.

[7] 孫仲康,郭福成,馮道旺,等.單站無(wú)源定位跟蹤技術(shù)[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2008.

[8] 楊穎,王琦.STK在計(jì)算機(jī)仿真中的應(yīng)用[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2005.