理想變壓器特性方程教學(xué)方法討論

陳希有,劉鳳春,董維杰,李冠林

(大連理工大學(xué)電氣工程與應(yīng)用電子技術(shù)系,遼寧 大連 116023)

理想變壓器是電路理論課的必學(xué)內(nèi)容。作為一種理想化的電路元件,理想變壓器在建立電路模型、分析電路行為和綜合網(wǎng)絡(luò)函數(shù)等研究中發(fā)揮重要作用。在“電機(jī)與拖動(dòng)”等后續(xù)課程中,變壓器是重要內(nèi)容之一。因此,教學(xué)中應(yīng)使學(xué)生透徹理解理想變壓器主要特性以及這些特性的電磁學(xué)基礎(chǔ)和理想化條件等。目前,對(duì)理想變壓器特性的描述主要有三種典型方式:直接給出定義[1-3］、對(duì)線性互感進(jìn)行理想化[4-6］和對(duì)實(shí)際變壓器進(jìn)行理想化[7］。本文對(duì)比分析了這三種教學(xué)方式的特點(diǎn),詳細(xì)討論了理想變壓器特性方程在不同導(dǎo)出背景下的理想化假設(shè)條件。期望借助此文與讀者展開(kāi)更多交流。

1 用直接定義闡述理想變壓器的特性

這種方式類(lèi)似于定義電阻元件一樣直接定義理想變壓器特性:滿(mǎn)足下列代數(shù)關(guān)系的二端口元件稱(chēng)為理想變壓器,并用圖1表示。

式中,n稱(chēng)為理想變壓器的變比或電壓比,是理想變壓器的唯一參數(shù)。

圖1 理想變壓器的符號(hào)

這種教學(xué)方式可以直接觸及教學(xué)要點(diǎn),在教學(xué)時(shí)數(shù)較少的情況下是一種能夠有效節(jié)省時(shí)間的教學(xué)方法。但在教學(xué)實(shí)踐中常會(huì)遇到如下質(zhì)疑:

(1)理想變壓器與互感特性完全不同,為什么使用相似的符號(hào)?

(2)定義中沒(méi)有涉及電磁關(guān)系,那么如何理解同名端的涵義?

(3)變比等于匝數(shù)比,在沒(méi)有實(shí)際變壓器做原型的情況下,怎樣解釋匝數(shù)和匝數(shù)比?

(4)它既不儲(chǔ)能又不耗能的特性只能根據(jù)功率的計(jì)算結(jié)果得出,即

對(duì)這種特性的物理機(jī)理的解釋更是難以講清,只能強(qiáng)制學(xué)生暫時(shí)接受。

(5)在理想變壓器之前已介紹了理想電阻、理想電感、理想電壓源和理想電流源,它們都與實(shí)際電阻、實(shí)際電感、實(shí)際電壓源和實(shí)際電流源建立了密切的內(nèi)在聯(lián)系。相比之下,學(xué)生會(huì)問(wèn)到理想變壓器與實(shí)際變壓器存在怎樣的內(nèi)在聯(lián)系?

采用這種直接定義的方式,教師一時(shí)難以回答學(xué)生的上述質(zhì)疑,要待到學(xué)習(xí)磁路或變壓器時(shí)才能漸漸解釋清楚。

2 對(duì)線性互感進(jìn)行理想化

為避免使用直接定義導(dǎo)致高度抽象的教學(xué)弊端,一種可取的方法就是在線性互感模型的基礎(chǔ)上做進(jìn)一步抽象。在講授互感時(shí)已建立了互感的電磁關(guān)系,如圖2所示,其電路符號(hào)如圖3所示。

圖2 線性互感電磁關(guān)系示意圖

圖3 互感符號(hào)

為闡明理想變壓器特性方程的假設(shè)條件,需簡(jiǎn)述線性互感特性方程的建立過(guò)程。

我們?nèi)绻雎越橘|(zhì)的渦流損耗,假設(shè)耦合線圈周?chē)鸀榫€性磁介質(zhì),則每個(gè)繞組的總磁鏈等于自感磁鏈與互感磁鏈的代數(shù)和,這些磁鏈均與激發(fā)它們的繞組電流成正比,即

再忽略導(dǎo)線銅損,并根據(jù)磁通的交鏈關(guān)系和電磁感應(yīng)定律,便得到如下特性方程組:

這一關(guān)系建立在電磁感應(yīng)定律基礎(chǔ)上,有明確的物理意義。它成立的必要條件是:線性無(wú)損磁介質(zhì)和不計(jì)導(dǎo)線銅損。

我們可進(jìn)一步解釋如下:如果存在磁滯損耗,則介質(zhì)便是非線性介質(zhì),磁鏈與激發(fā)它的電流不成正比,總磁鏈也不能用疊加的方法來(lái)計(jì)算;如果存在渦流損耗,則式(3)中的磁鏈還應(yīng)包含渦流產(chǎn)生的磁鏈。由于渦流是感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生的,所以渦流不是與磁鏈成正比,而是與磁鏈的時(shí)間變化率成正比。故此時(shí)總磁鏈不能僅表達(dá)成線圈電流的線性組合,還應(yīng)包含電流的時(shí)間導(dǎo)數(shù),但此時(shí)磁鏈與線圈電流仍屬線性關(guān)系。

據(jù)此推理:對(duì)線性磁介質(zhì),雖然在直流工作時(shí),滿(mǎn)足式(3)的磁鏈與電流關(guān)系,但在交流工作時(shí),如果有渦流損耗,卻不滿(mǎn)足式(4)的電壓與電流關(guān)系。

對(duì)線性互感進(jìn)行理想化以便建立理想變壓器的過(guò)程一般可按如下條件考慮[4］。

理想化條件一:忽略線圈漏磁,即全耦合,耦合系數(shù)k=1,互感系數(shù)為

這將導(dǎo)致式(4)中的系數(shù)行列式L1L2-M2=0,則兩式不再獨(dú)立,u1和u2必然存在內(nèi)在聯(lián)系。為尋此聯(lián)系,將式(5)代入式(4),可得

比較上述兩個(gè)電壓關(guān)系式,便得

再由電感與匝數(shù)的平方正比關(guān)系,可得

上式便是理想變壓器的特性方程之一,即電壓變換關(guān)系,它表明了u1和u2的內(nèi)在聯(lián)系。

由于上述關(guān)系是基于線性互感得到的,所以會(huì)自然想到,式(8)成立的必要條件應(yīng)是:線性無(wú)損磁介質(zhì)(磁導(dǎo)率不一定是無(wú)限大)、全耦合和無(wú)銅損。而事實(shí)上,式(8)的成立并不需要滿(mǎn)足線性無(wú)損磁介質(zhì)的條件,只需滿(mǎn)足全耦合和無(wú)銅損條件。這便產(chǎn)生了不一致的結(jié)論。見(jiàn)下節(jié)分析。

理想化條件二,兩自感同比趨于無(wú)限大,比值等于匝數(shù)比的平方,即

將上述條件代入互感方程(4)得

根據(jù)上述方程組中的任意一個(gè)方程都可得到

再計(jì)算從-∞到t的定積分得

由式(12)和式(13)得到理想變壓器的電流變換關(guān)系為

式(14)要求自感趨于無(wú)限大,在匝數(shù)和尺寸一定的條件下,只能是磁導(dǎo)率趨于無(wú)限大。亦即自感趨于無(wú)限大的假設(shè)等同于磁導(dǎo)率趨于無(wú)限大的假設(shè),而無(wú)限大磁導(dǎo)率的磁介質(zhì)可視為線性磁介質(zhì)的一種極端情況。

所以,基于上述對(duì)互感的理想化過(guò)程得出理想變壓器電流變換關(guān)系的必要條件是:無(wú)損耗、全耦合及磁導(dǎo)率為無(wú)限大。

這個(gè)條件包括了電壓變換所需要的條件,也就是說(shuō)電流變換所需條件比電壓變換所需條件來(lái)得更嚴(yán)格一些。故這個(gè)條件也就是基于線性互感推理得到的理想變壓器的理想化條件。

上述過(guò)程將理想變壓器建立在線性互感基礎(chǔ)上,使理想變壓器有了確定的物理原型,并且建立了這兩種電磁耦合元件的內(nèi)在關(guān)系。但是從過(guò)程上看,仍然不易解釋理想變壓器為什么不能儲(chǔ)存能量?為什么理想化后互感的儲(chǔ)能特性消失了?在理想化過(guò)程中要保持n,對(duì)此也缺少說(shuō)理性。

3 對(duì)實(shí)際變壓器進(jìn)行理想化[7］

實(shí)際雙繞組變壓器通常是用良導(dǎo)體做成的兩個(gè)線圈繞在同一個(gè)磁導(dǎo)率很大的鐵磁材料即鐵心上制成的,如圖4所示。

圖4 實(shí)際變壓器電磁關(guān)系示意圖

由于高導(dǎo)磁材料的存在,線圈電流所激發(fā)的磁通主要集中在鐵心內(nèi)部,線圈漏磁通 Υ1σ和Υ2σ相對(duì)很小。

1)理想化第一步是忽略線圈漏磁和銅損。這樣,每個(gè)線圈的磁鏈 Χ1和 Χ2分別等于其匝數(shù)N1和N2與鐵心內(nèi)磁通Υ的乘積,即

2)理想化第二步認(rèn)為線圈無(wú)銅損。這樣,各線圈端口電壓等于感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的負(fù)值,按照?qǐng)D4中的參考方向得

由式(16)便得理想變壓器的電壓變換關(guān)系,即

從上述過(guò)程看,電壓變換關(guān)系成立的必要條件是線圈全耦合和無(wú)銅損。對(duì)是否存在鐵損和介質(zhì)是否為線性介質(zhì)沒(méi)有要求,而從互感推演時(shí),需要線性無(wú)損介質(zhì)?？梢?jiàn),從不同途徑推導(dǎo),需要不同的假設(shè)。

3)理想化第三步認(rèn)為鐵心的渦流損耗為零。于是,在圖4中沿路徑l應(yīng)用安培環(huán)路定律得

需要注意的是:如果存在渦流,則式(18)右邊還應(yīng)包括渦流產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì),這樣便得不到理想變壓器的電流變換關(guān)系。

4)理想化第四步認(rèn)為介質(zhì)磁導(dǎo)率μ※∞,(從而不存在磁滯現(xiàn)象。如果存在磁滯,則磁導(dǎo)率不會(huì)始終為無(wú)限大)。則鐵心內(nèi)磁場(chǎng)強(qiáng)度為

所以磁場(chǎng)強(qiáng)度沿閉合路徑的積分結(jié)果為

這樣便自然得到理想變壓器的電流變換關(guān)系為

式(20)清楚表明,電流變換關(guān)系成立的必要條件是磁導(dǎo)率μ※∞(不需勵(lì)磁電流)和不計(jì)渦流損耗,它并不需要全耦合和忽略線圈銅損的條件。所以理想變壓器的電壓變換關(guān)系和電流變換關(guān)系所需的假設(shè)條件是不同的,且二者不存在包含關(guān)系。

利用上述電磁原理來(lái)理解理想變壓器的非儲(chǔ)能特性也是很簡(jiǎn)單的。因?yàn)樵讦獭藜僭O(shè)下,磁場(chǎng)能量密度變?yōu)?/p>

這很好地說(shuō)明理想變壓器雖然存在線圈以及磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁通,但它卻是非儲(chǔ)能元件。

將電壓和電流變換關(guān)系合在一起,得到從實(shí)際變壓器到理想變壓器的理想化條件為:無(wú)損耗、全耦合及磁導(dǎo)率為無(wú)限大。

還需說(shuō)明,無(wú)限大磁導(dǎo)率并不意味著全耦合,全耦合也不一定需要無(wú)限大的磁導(dǎo)率。所以,后兩個(gè)條件是獨(dú)立的。

第三種教學(xué)方法所涉及的電磁學(xué)原理,在大學(xué)物理課中已經(jīng)奠定了相應(yīng)的基礎(chǔ)。所以,這種教學(xué)方法可以使得不同課程內(nèi)容之間融匯貫通,能夠加深對(duì)理想變壓器物理背景的理解。也能較好地處理第一種方法中遇到的質(zhì)疑。不足之處是所需教學(xué)時(shí)間較長(zhǎng),涉及到的基本概念較多。

4 和磁路教學(xué)呼應(yīng)

對(duì)大部分電氣工程及其自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)的學(xué)生來(lái)說(shuō),在電路理論課中還要學(xué)習(xí)磁路知識(shí)。在學(xué)習(xí)過(guò)程中,嚴(yán)格地建立了圖5所示的實(shí)際雙繞組變壓器的相量等效電路,其中含有理想變壓器。通過(guò)令某些等效參數(shù)為零,便可得到理想變壓器方程。銅損且繞組為全耦合,則得到理想變壓器的電壓變換方程。

圖5 雙繞組變壓器等效電路

若令G0=0,B0=0,,即不計(jì)鐵損且磁導(dǎo)率μ為無(wú)限大,則得到理想變壓器的電流變換方程﹒I1=﹒I2/n 。

這又一次說(shuō)明了電壓變換方程和電流變換方程所需要的假設(shè)條件是不一樣的。

從上述得到的理想變壓器假設(shè)條件是:①忽略功率損耗;②全耦合;③磁導(dǎo)率無(wú)限大。呼應(yīng)了第3節(jié)的結(jié)論。

由于圖5是實(shí)際變壓器的相量模型,所以在上述假設(shè)條件下,理想變壓器特性方程的相量形式是成立的,在任意時(shí)變電壓和電流條件下是否還存在這樣的變換關(guān)系,對(duì)此缺少說(shuō)理性。相比之下,第3節(jié)的教學(xué)方法卻沒(méi)有這樣的質(zhì)疑,因?yàn)榈?節(jié)的電壓變換關(guān)系和電流變換關(guān)系是在滿(mǎn)足假設(shè)條件的基礎(chǔ)上,基于基本的電磁規(guī)律建立的。

5 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)比分析了時(shí)下常用的理想變壓器特性方程的三種教學(xué)方法及其特點(diǎn)?？筛鶕?jù)專(zhuān)業(yè)性質(zhì)、教學(xué)時(shí)數(shù)、教學(xué)基本要求及教師個(gè)性等選擇其一講授。在后兩種方法中,雖然電壓變換關(guān)系的必要條件不同,電流變換關(guān)系的必要條件也不同,但將兩個(gè)變換關(guān)系進(jìn)行綜合,得到理想變壓器的必要條件卻是一致的。

理想變壓器雖然屬于經(jīng)典的電路理論內(nèi)容,但對(duì)其所采取的教學(xué)方法仍值得努力探索,愿以此拋磚引玉,并希望得到讀者的積極反饋。

本文在成稿過(guò)程中,中國(guó)工程院院士俞大光對(duì)變壓器的理想化步驟提出了有益建議;北京航空航天大學(xué)雷銀照教授對(duì)磁介質(zhì)的性質(zhì)問(wèn)題給出了詳細(xì)解釋。他們的基本觀點(diǎn)都被作者所采納。在此,對(duì)二位老師的熱情幫助表示由衷的謝意。

[1］燕慶明.電路分析教程(第2版),北京:高等教育出版社,2007年6月

[2］陳洪亮,張峰,田舍平.電路基礎(chǔ),北京:高等教育出版社,2007年5月

[3］李瀚蓀.電路分析基礎(chǔ)(第四版(下冊(cè))),北京:高等教育出版社,2006年5月

[4］邱關(guān)源.電路(第四版),北京:高等教育出版社,1999年6月

[5］于歆杰,朱桂萍,陸文娟編著.電路原理,北京:清華大學(xué)出版社,2007年3月

[6］董維杰,白鳳仙.電路分析,北京:科學(xué)出版社,2007年8月

[7］陳希有.電路理論基礎(chǔ)(第三版),北京:高等教育出版社,2004年1月