例談在變化中尋找臨界條件

朱連生

(德興一中 江西德興 334200)

臨界現(xiàn)象是物理中常見的現(xiàn)象,也是高考熱點(diǎn)之一.很多同學(xué)對(duì)此問題無從下手,或者知道找臨界條件,但只是靜態(tài)地停留在一個(gè)狀態(tài)(點(diǎn))去研究臨界問題,而不是認(rèn)真細(xì)致地研究變化的過程、以及各物理量發(fā)生變化的規(guī)律,很難發(fā)現(xiàn)事物發(fā)展的本來面目.

現(xiàn)以一道試題為例.

【試題】一彈簧一端固定在傾角為37°光滑斜面的底端,另一端拴住一質(zhì)量m1=4 kg的物塊P.Q為一重物,已知Q的質(zhì)量m2=8 kg.彈簧的質(zhì)量不計(jì),勁度系數(shù)k=600N/m.系統(tǒng)處于靜止,如圖1所示.現(xiàn)給Q施加一個(gè)方向沿斜面向上的力F,使它從靜止開始沿斜面向上做勻加速直線運(yùn)動(dòng).已知在前0.2 s時(shí)間內(nèi),F為變力;0.2 s以后,F為恒力.求力F的最大值與最小值.(g=10m/s2)

圖1

本題得分率相當(dāng)?shù)?全部做對(duì)的同學(xué)即使在重點(diǎn)班也是鳳毛麟角.歸納起來,主要有以下兩種錯(cuò)解方式.

錯(cuò)解一:以PQ整體為研究對(duì)象,由系統(tǒng)原先靜止時(shí)受力分析,有

當(dāng)PQ一起沿斜面勻加速上滑至二者恰好脫離時(shí),彈簧為原長,則一起上滑的位移

解得

PQ剛從斜面上一起向上勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)

P

Q剛分離時(shí)

錯(cuò)解二:以PQ整體為研究對(duì)象,當(dāng)系統(tǒng)原先靜止時(shí)受力分析,有

當(dāng)PQ一起沿斜面勻加速上滑至恰好脫離時(shí),PQ之間的壓力為零,P受力平衡,有

PQ剛從斜面上一起向上勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)

PQ剛分離時(shí)

究其錯(cuò)誤原因,都在于不善于找出PQ恰好脫離這一臨界狀態(tài)下所滿足的條件.解法一太武斷,想當(dāng)然地認(rèn)為PQ剛脫離時(shí)彈簧為原長;解法二停留在一個(gè)狀態(tài)(點(diǎn))去研究臨界問題,對(duì)各物理量的變化缺乏細(xì)致地分析,認(rèn)為PQ剛脫離時(shí)受力平衡,即a=0,以致于難以找到解決問題的有效方法.

臨界現(xiàn)象在物理中常見.當(dāng)物體由一種物理狀態(tài)變?yōu)榱硪环N物理狀態(tài),存在一個(gè)過渡的轉(zhuǎn)折點(diǎn),這時(shí)所處的狀態(tài)通常稱為臨界狀態(tài),與之相關(guān)的物理?xiàng)l件則稱之為臨界條件.題干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脫離”等詞語對(duì)臨界狀態(tài)給出了明確的暗示.審題時(shí),一定要抓住這些特定的詞語,發(fā)掘其內(nèi)在規(guī)律,找出臨界條件.然而,臨界條件通常具有一定的隱蔽性,靈活性較大.那么如何求解臨界問題呢?反思之余,下面結(jié)合筆者在教學(xué)工作中的一點(diǎn)心得體會(huì)與大家共同交流、探討.

解決臨界問題,最重要的是要抓住臨界問題的臨界條件,必須細(xì)致分析各物理量的變化情況,在變化中去研究,即不能停留在一個(gè)狀態(tài)(點(diǎn))去研究臨界問題,而是要研究變化的過程、變化的各物理量,尋找臨界條件,具體基本思路如下.

1 認(rèn)真審題,聯(lián)想物理情境,弄清問題中物理過程變化的細(xì)節(jié)

審題時(shí),應(yīng)力圖還原該題的物理情境,弄清物理過程的細(xì)節(jié),分析整個(gè)過程中有幾個(gè)階段,在一些變化的過程中,物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系如何發(fā)生變化.比如,物體所處的平衡狀態(tài)的破壞,物體運(yùn)動(dòng)方向的改變,繩子的斷裂,某物體跟另一物體相脫離或相對(duì)滑動(dòng),圓周運(yùn)動(dòng)物體通過最高點(diǎn),帶電粒子通過電場(chǎng)或磁場(chǎng)的邊界,光線從光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì)時(shí)折射角等于90°等,往往會(huì)出現(xiàn)臨界狀態(tài),這就要求我們作認(rèn)真細(xì)致地分析.

【例1】如圖2所示,在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上,沿半徑方向放置兩個(gè)用細(xì)線相連的質(zhì)量均為m的小物體A、B,它們到轉(zhuǎn)軸的距離分別為rA=20 cm,rB=30 cm.A、B與盤面間最大靜摩擦力均為重力的0.4.試求:

(1)當(dāng)細(xì)線上開始出現(xiàn)張力時(shí),圓盤的角速度ω0.

(2)當(dāng)A開始滑動(dòng)時(shí),圓盤的角速度ω.

(3)當(dāng)A即將滑動(dòng)時(shí),燒斷細(xì)線,A、B運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何?(g取10m/s2)

圖2

分析:很多同學(xué)對(duì)于本題束手無策.然而通過研究各物理量的動(dòng)態(tài)變化過程,不難發(fā)現(xiàn),最初圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)角速度較小,A、B隨著圓盤做圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力較小,可由A、B與盤面間靜摩擦力提供.由于rB>rA,由公式F=mω2r可知,B所需向心力較大;當(dāng)B與盤面間靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí)(此時(shí)A與盤面間靜摩擦力還沒有達(dá)到最大),若繼續(xù)增大轉(zhuǎn)速,則B將做離心運(yùn)動(dòng),從而拉緊細(xì)線,使細(xì)線上出現(xiàn)張力,轉(zhuǎn)速越大,細(xì)線上張力越大,使得A與盤面間靜摩擦力增大.當(dāng)A與盤面間靜摩擦力也達(dá)到最大時(shí),A將開始滑動(dòng).概括地講,本題中A、B間若沒有細(xì)繩連接,則當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到B可開始滑動(dòng)時(shí),A并不滑動(dòng),這時(shí)A、B間距離增大;若A、B間有繩連接,當(dāng)B即將滑動(dòng)(Ff達(dá)到Ffm)時(shí)繩才有張力,且之后直到A即將滑動(dòng)前,B所受的摩擦力都為最大靜摩擦力.

解:

(1)對(duì)B

代入數(shù)據(jù)得

(2)分析A開始滑動(dòng)時(shí),A、B受力情況如圖3所示,根據(jù)牛頓第二定律

對(duì)A

對(duì)B

其中

聯(lián)立式(2)、(3)(4)解得

圖3

(3)燒斷細(xì)線,FT消失,A與盤面間靜摩擦力足以提供向心力使A繼續(xù)隨圓盤做圓周運(yùn)動(dòng),而B由于Ffm不足以提供向心力而做離心運(yùn)動(dòng).

2 尋找過程中變化的物理量,探求各物理量的變化規(guī)律

某一過程中,涉及的物理量主要是力、加速度、速度、位移等.在分析此類問題的時(shí)候,主要抓住力的變化,因?yàn)榱κ菦Q定物體運(yùn)動(dòng)的主要因素.要著重分析力的大小變化規(guī)律、方向變化規(guī)律、受力數(shù)目的變化、力的性質(zhì)的變化(如靜摩擦力轉(zhuǎn)化為滑動(dòng)摩擦力)等;同時(shí)還要兼顧加速度、速度、位移等的變化情況.這些變化往往蘊(yùn)含著臨界狀態(tài)的出現(xiàn),此時(shí)有利于我們找到臨界條件.

【例2】一塊木板靜止在光滑水平面上,木板質(zhì)量M=4 kg,小滑塊m=1 kg,小滑塊在木板的右端,它與木板的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.4,g=10m/s2,如果用一個(gè)水平向右的力作用在木板M上,則

(1)滑塊與木板發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)的力F至少要多大?

(2)如果F=5N時(shí),滑塊的加速度是由4N的摩擦力提供,而木板的加速度是F-f=1N的合力來提供,這樣不是滑塊的加速度大于木板的加速度嗎?這樣不是會(huì)使滑塊在右端滑落嗎?可事實(shí)上這是不可能的,為什么?

解析:隨著作用在木板的水平外力的增大,系統(tǒng)的加速度增大,滑塊僅依靠靜摩擦力產(chǎn)生加速度,直到靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力,此時(shí)能產(chǎn)生的最大加速度是多大,這個(gè)加速度就是相對(duì)滑動(dòng)的臨界加速度.本例中,力F作用在木板上,則小滑塊僅受靜摩擦力能產(chǎn)生的最大加速度是μg=4m/s2.因此使小滑塊相對(duì)木板滑動(dòng)的最小拉力 μg(m+M)=20 N.若拉力F<20N,則小滑塊相對(duì)木板靜止,僅依靠靜摩擦力產(chǎn)生加速度;若F>20N,則小滑塊相對(duì)木板滑動(dòng).

3 確定臨界狀態(tài),分析臨界條件

顯然,分析變化過程,確定物理量變化的規(guī)律,是解決問題的關(guān)鍵,從而確定臨界狀態(tài),挖掘隱含的臨界條件,利用已學(xué)的物理規(guī)律表達(dá)各物理量之間的關(guān)系.當(dāng)然要求解臨界問題,還經(jīng)常涉及到一些極值問題,往往伴隨不等式的應(yīng)用,自然而然也就會(huì)牽涉到一些與之相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí):三角函數(shù)、定積求和、定和求積、二次方程判別式等.

由此,對(duì)文章伊始提出的考試題,若在變化的過程中,分析臨界條件,可知PQ剛要脫離時(shí)PQ之間的壓力為零,但a不為零,因?yàn)榇饲耙恢毖匦泵鎰蚣铀龠\(yùn)動(dòng).不難得到正確解答.

正確解法:以PQ整體為研究對(duì)象,對(duì)系統(tǒng)原先靜止時(shí)受力分析,有

當(dāng)PQ一起沿斜面勻加速上滑至恰好脫離時(shí),PQ之間的壓力為零,以P為研究對(duì)象,進(jìn)行受力分析 ,可得

PQ剛從斜面上一起向上勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)

PQ剛分離時(shí)

1 張傳霞.創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí).西安:陜西人民出版社,2007.57

2 王朝銀.步步高高考總復(fù)習(xí).哈爾濱:黑龍江教育出版社,2009.60,77