一個帶間隙連接結構對梁基頻漂移影響研究

衛(wèi)洪濤，孔憲仁

（哈爾濱工業(yè)大學 衛(wèi)星技術研究所，哈爾濱 150001）

0 引言

隨著航天技術的進步，航天器構造趨向于復雜化，其結構的非線性振動是航天工程領域一直都非常感興趣的課題，尤其是航天器地面振動試驗中的頻率漂移現(xiàn)象得到了研究人員的重點關注。航天器的基頻在星箭力學環(huán)境中是最重要的參數(shù)之一，因此研究航天器頻率漂移的機理對于航天工程具有重要意義，不但能夠為航天器的設計和制造提供重要參考價值，而且可以為抑制已經(jīng)做好的航天器的頻率漂移提供解決思路。一般認為，航天器的組成材料，如蜂窩夾層板以及某些組合的連接結構存在非線性因素，是整個航天器頻率漂移的主要原因。

本文研究了一個一端夾支、另一端帶非線性連接結構的梁的非線性振動，主要目的是研究連接結構的非線性對整梁振動的幅頻響應的影響。非線性邊界條件下梁振動研究，前人的文獻中已經(jīng)有很多涉及了，如A. Ferri等在一系列的文章中[1-5]研究了梁的兩端在不同邊界支撐條件下的振動情況：文獻[1]提出了一個航天器上的套筒連接結構的力學模型，該模型考慮了連接結構的間隙、阻尼及干摩擦力；文獻[2]利用簡化的套筒連接結構研究了柔性梁系統(tǒng)的振動，利用單振型近似及數(shù)值方法得到了系統(tǒng)的幅頻響應；文獻[3]研究了阻尼和摩擦邊界條件對梁的振動的影響，分別對3種不同的摩擦力情況進行了討論；文獻[4]研究的連接結構模型考慮了面內的彈簧力、梁與套筒內壁摩擦導致的面內摩擦力、套筒連接引入系統(tǒng)的橫向剪切彈力及端點彎矩，利用線性振型，用伽遼金近似法研究了一端夾支、另一端具有套筒連接邊界條件的梁的振動，著重討論了系統(tǒng)的阻尼與連接結構模型參數(shù)之間的關系；文獻[5]考慮了一個具有特殊邊界條件的梁的振動，利用諧波平衡法和多振型近似數(shù)值積分法，研究了系統(tǒng)響應和邊界條件參數(shù)之間的關系，對比了單振型和多振型研究對結果的影響。A. Ferri等的工作在研究間隙的存在對系統(tǒng)響應的影響方面涉及比較少。S. M. Wiedemann研究了幾種非線性邊界條件下梁的振型，并且提出了一種求任意邊界條件梁的振型的方法[6]。在研究梁振動系統(tǒng)中間隙對系統(tǒng)振動的影響方面，有如下代表：F. C. Moon等研究了一端夾支、另一端具有阻擋的懸臂梁的受迫振動，采取了類似振型轉換的方法即單振型近似法和伽遼金方法，利用一個特殊點的振幅連續(xù)簡化了系統(tǒng)的振動方程（這里稱其為連續(xù)振型法以區(qū)別于振型轉換法），揭示了系統(tǒng)在此研究下的混沌振動[7]；H. Chuang研究了一端夾支、另一端具有帶間隙的單線性彈簧阻擋的非線性振動，總結了在其以前的文獻研究中的兩種方法即力積分法和振型轉化法，并分別利用這兩種方法對其模型進行了數(shù)值研究，討論了阻擋彈簧的剛度與間隙大小對系統(tǒng)響應的影響[8]。

本文的研究主要基于A. Ferri的簡化套筒連接模型，僅考慮端點的橫向剪切彈力，給連接結構引入了間隙，利用改進的振型轉化法以及連續(xù)振型方法，即采用伽遼金法推導了此條件下梁的運動方程，并且針對一個算例，討論了連接結構的間隙對梁的幅頻響應的影響。

1 系統(tǒng)建模

本文用以研究間隙對梁的非線性振動影響的系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 梁系統(tǒng)結構圖Fig. 1 Schematic diagram of the beam system structure

在圖1中：F為均布載荷激勵力；P(t)為端點所加的預緊力；Δ為所加間隙；K為橫向剪切反力剛度。與文獻[8]不同的是，這里的端點邊界條件為上下均有彈簧提供端點反力。

1.1 梁的運動方程

圖1所示邊界條件的梁系統(tǒng)，根據(jù)端點位移的大小其運動方程有兩種：懸臂梁運動方程和受連接結構限制的梁運動方程。當端點在間隙內運動時，系統(tǒng)可以認為是懸臂梁；當端點接觸到連接結構的內壁時，是具有非線性連接結構的梁系統(tǒng)。

首先考慮梁連接結構處無預緊力P( t)作用時的情況，帶預緊力的情況在下文中闡述。系統(tǒng)的運動方程可以表達為：

1）懸臂梁

2）非線性連接結構梁[4]

在(2)式中：V(t)為端點彈簧提供的橫向反力；δ( x - L)為狄拉克函數(shù)；在下文的數(shù)值求解時，令激勵力F( x,t)沿x方向無變化即 F( x,t) = Fc os(Ω t)，其中F為幅值；ρA為單位長度質量；A為梁橫截面積；I為慣量；E為彈性模量。利用伽遼金法求上述方程的近似解，不失一般性，假設時間t1之前梁的端點在間隙內運動，也就是系統(tǒng)運動在懸臂梁狀態(tài)，則梁上任一點的橫向位移可以表示為

式中?n(x)為懸臂梁振型，an( t)為各階振型的振幅，此時，端點位移 -Δ ＜w( L, t)＜Δ。假設t1至t2時間段為梁的端點與連接結構的內壁接觸時間段，也就是系統(tǒng)運動處在受限運動狀態(tài)，那么此段時間內，梁上任一點橫向位移可以表示為

其中

1）懸臂梁

2）非線性連接結構梁

在(6)、(7)式中：

對于一個實際的算例，引入系統(tǒng)參數(shù)后對上面的微分方程組進行數(shù)值求解，當系統(tǒng)振動在懸臂梁和受限振動狀態(tài)之間轉換時，需要知道轉換后方程的初值，即t1+、t2+時刻的位移和速度（作者按：t1、t2時刻為滿足切換條件的時刻，是整個時間區(qū)間上的一點；而 t1+、t2+是表示過了切換時刻的時刻，如果用時間區(qū)間表示：(0,t1-) t1(t1+,∞)），利用振型的正交性由(4)式得到

將(3)、(5)式代入(8)式中，利用振型的正交性可以得到在t1+時刻受限運動狀態(tài)各振型方程的初值：

當時刻t2梁的端點從受限狀態(tài)回到懸臂梁狀態(tài)時，有

考慮在系統(tǒng)端點處施加預緊力時，僅需在 (1)、(2)式右端加入常量力P，后續(xù)處理步驟不變，且轉換狀態(tài)時系統(tǒng)初值也不受影響。即：

1）懸臂梁（帶預緊力）

2）非線性連接結構梁（帶預緊力）

后續(xù)處理方法如(3)式至(13)式。

1.2 受限振動梁振型

在套筒連接結構內有間隙的情況下（見圖1），假設套筒對梁施加橫向剪切反力等同于理想彈簧，不考慮沖擊效應，當梁端點接觸到連接結構內壁后，系統(tǒng)運動立刻在受限狀態(tài)下振動，此時梁等同于端點處有連接結構的邊界條件，受到套筒的橫向剪切力。根據(jù)S. M. Wiedemann的方法[6]求此邊界條件梁的振型，有邊界條件：

假設 ?n(x)為所要求的振型表達式，并將上面4個邊界條件引入到梁振型的一般形式，則

其中 kn、An～Dn為各振型參數(shù)。由(16)式的前兩個邊界條件可以得到 Ci=-Ai，Di=-Bi，將其代入到(16)式后面的邊界條件中，可以得到矩陣的表達形式

其中 dij為引入邊界條件后的表達式，這里用符號代替。簡單令 Ai= 1，由(18)式可以得到振型函數(shù)系數(shù)Bi的表達式，至此An、 Bn、 Cn、 Dn均已解出，然后利用式(18)An、 Bn具有非平凡解的條件，矩陣的行列式為零，可解出各階振型表達式對應的kn。

對于實際的系統(tǒng)，可以求得不同彈簧剛度時受限振動梁的振型，如圖2所示。

圖2 不同的邊界彈簧剛度時梁的一階振型Fig. 2 First order modes for different boundary spring’s stiffness

由圖2可以看出，隨著端點彈簧剛度由0遞增，從振型上看，梁的端點位移實際上是先增大到一定程度而后開始逐漸減小。

2 算例及討論

針對一個實際的例子來求數(shù)值解。在前人的研究中，為了計算的方便，往往在一定的假設條件下對梁位移進行單振型簡化。假定振型之間具有正交性，各振型之間沒有內共振；在這樣的前提下[9]，單振型近似的結果也是有意義的。本文首先利用單振型近似法進行研究，研究中還利用改進的狀態(tài)轉換法和連續(xù)振型法[7]兩種不同的處理方法進行求解，并對比了它們的結果。系統(tǒng)參數(shù)如下：

單位長度質量ρA=3.255 2 kg/m；

梁長L=2 m；

梁橫截面積A=1.470 3×10-4m2；

慣量I=1.014×10-8kg/ m2；

彈性模量E=7.45×1010N/ m2；

端點彈簧剛度K=4.7×102N/ m。

2.1 單振型近似法

如上所述，懸臂梁振型和非線性連接結構振型均取1階。在這種條件下，伽遼金法處理后的系統(tǒng)運動方程有（帶預緊力情況略）

1）懸臂梁

2）非線性連接梁

在(20)、(21)兩式中，下標代表一階。

對系統(tǒng)進行掃頻激勵，其步驟如下：

1）首先確定掃頻區(qū)間[Ω1, Ω2]、幅值F，將F cos(Ω t ),Ω1＜Ω＜Ω2代入方程，利用 MATLAB，Ode4求解系統(tǒng)，積分步長為10-4s；

2）數(shù)值求解時，始終檢查梁端點的位移大小，當端點位移的絕對值時，系統(tǒng)振動的狀態(tài)發(fā)生改變，用MATLAB內建的Stateflow進行邏輯控制，將方程各變量系數(shù)及積分初值轉換，可以得到該激勵頻率Ω下，梁端點位移的時域響應；

3）取20 s的時間歷程，舍棄前面8 s的數(shù)據(jù)，以保證不受瞬態(tài)響應的影響，取保留數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差的一半為響應幅值；

圖3和圖4分別表示利用振型轉換法得到的在有、無預緊力條件下的幅頻響應圖。

圖3 無預緊力梁端點幅頻響應（振型轉換法）Fig. 3 Frequency response of the beam end without preload (mode transfer method)

圖4 有預緊力梁端點幅頻響應（振型轉換法）Fig. 4 Frequency response of the beam end with preload (mode transfer method)

2.2 帶阻擋的懸臂梁

文獻[7]在研究帶阻擋的懸臂梁的振動時，利用了同上面單振型的振型轉換方法類似的方法，巧妙地利用梁上特定長度點的振幅對系統(tǒng)的振幅進行連續(xù)性處理，從而不必求系統(tǒng)切換時微分方程的初值，這里采用其思想研究單振型時系統(tǒng)的幅頻響應情況，以此與上面的振型轉換方法進行互相印證。主要方法是，梁任一點的橫向位移可以表達為：

其中： as?1(L)=Δ?？紤]梁上一個特殊點x1，該點可令?1(x1)=1，那么在該點，梁的橫向位移可以表達為：

令 w( x1, t) ＜as時，該點振幅 a1( t) =a( t)，w( x1, t) ＞as時，該點振幅 as+a2( t) ?2(x1) =a( t )?？梢缘玫剑?/p>

利用(24)式，可以將振型轉換法的系統(tǒng)方程統(tǒng)一為a( t)變量，從而不必在系統(tǒng)切換時求a1( t)和a2( t)的初值。

利用上面的處理步驟，數(shù)值求解步驟與上面相同，可以求得系統(tǒng)的幅頻響應。圖5和圖6分別表示利用連續(xù)振型法得到的在有、無預緊力條件下的幅頻響應圖。

圖5 有無預緊力梁端點幅頻響應（連續(xù)振型法）Fig. 5 Frequency response of the beam end with and without preload (continuous mode method)

圖6 有預緊力單振型梁端點幅頻響應（連續(xù)振型法）Fig. 6 Frequency response for one mode approximation with preload (continuous mode method)

從上面的結果看，兩種方法得到在不同量級激勵力作用下和在有、無預緊力前置兩種條件下的系統(tǒng)幅頻響應圖幾乎完全相同。單振型方法僅僅是對實際模型的一種近似，但其結果對于研究間隙對一端夾支、另一端帶連接結構的梁振動的影響是有參考意義的?？梢钥闯?，當系統(tǒng)沒有預緊力時，間隙的存在令梁系統(tǒng)具有“硬彈簧”屬性，當激勵力增加，端點的振幅響應峰值持續(xù)向高頻漂移。當系統(tǒng)存在預緊力時，其幅頻響應圖與無預緊力時的結果對比相差很大：小激勵力時系統(tǒng)的基頻高于無預緊力時的情況，端點的幅頻響應首先呈現(xiàn)“軟彈簧”特性，隨著激勵力增大，響應峰值向低頻漂移；當向低頻漂移一定程度后，繼續(xù)增大激勵力，系統(tǒng)響應反而呈現(xiàn)“硬彈簧”特性，響應峰值向高頻漂移。

3 結論

本文針對一個一端夾支，另一端有帶間隙的連接結構的梁系統(tǒng)模型，將系統(tǒng)簡化后研究了連接結構中的間隙對系統(tǒng)振動幅頻響應的影響。簡化后的模型僅僅考慮了連接結構對梁的橫向剪切力。采用了改進的振型轉換法以及連續(xù)振型法兩種方法，并按伽遼金法處理從而得到數(shù)值求解方程，研究了單振型近似情況下梁在遞增激勵力作用下的頻率漂移。從結果來看，間隙的存在結合有、無預緊力的前提條件，可以令系統(tǒng)的幅頻響應呈現(xiàn)軟彈簧或者硬彈簧的屬性，本文的結果對于研究航天器地面振動試驗中的頻率漂移現(xiàn)象具有參考價值。

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