細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)最佳長(zhǎng)度數(shù)學(xué)模型的建立

李成輝,喬萬(wàn)亮,高淑清

(綏化水文局,黑龍江綏化 152053)

在河流測(cè)驗(yàn)中,其中一個(gè)重要測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目就是斷面流向測(cè)驗(yàn)。在河流某一河段上垂直流向布設(shè)一個(gè)橫斷面用來(lái)進(jìn)行流量和沙量等測(cè)驗(yàn),這就需要我們首先要進(jìn)行這一河段的流向測(cè)量,然后才能確定橫斷面的位置與方向。若對(duì)于已經(jīng)布設(shè)好的某一測(cè)驗(yàn)橫斷面,也要對(duì)其進(jìn)行該斷面流向測(cè)驗(yàn)校核。斷面流向是指水流方向與斷面線(xiàn)的垂直方向線(xiàn)之間的夾角。對(duì)于天然河流流向測(cè)量仍采用水面浮標(biāo)方法進(jìn)行,其中細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)法是一種簡(jiǎn)便易行的用來(lái)進(jìn)行流向變化測(cè)驗(yàn)校核的有效方法。特別是對(duì)一些有過(guò)河索、纜道、纜車(chē)施測(cè)流量的水文站,非常適用。細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)的細(xì)線(xiàn)長(zhǎng)度多長(zhǎng)怎樣來(lái)確定為最佳長(zhǎng)度?雖說(shuō)《河流流量測(cè)驗(yàn)規(guī)范》上明確給出是20 m,但是,對(duì)于不同寬度的河流來(lái)說(shuō)只規(guī)定了這一數(shù)值是不充分的。本文正是從這種情況下進(jìn)行了創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型、深入進(jìn)行分析研究和充分論證。

1 細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)

1.1 概念

細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)是在水面上一個(gè)已知長(zhǎng)度的細(xì)線(xiàn)一頭連接到測(cè)速垂線(xiàn)的水面交界處,另一頭系一個(gè)浮魚(yú)隨水流自然漂浮在下游,用來(lái)進(jìn)行測(cè)驗(yàn)斷面流向的工具。

圖1 細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)測(cè)驗(yàn)流向平面簡(jiǎn)圖

1.2 應(yīng)用

圖1就是細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)測(cè)驗(yàn)流向的平面簡(jiǎn)圖。圖中線(xiàn)段 L 1和線(xiàn)段L 2是一條河流的兩岸岸邊線(xiàn),箭頭線(xiàn)代表水流方向,線(xiàn)段L是岸上所設(shè)基線(xiàn),線(xiàn)段 L 3是流量測(cè)驗(yàn)斷面線(xiàn),斷面線(xiàn)上的D E長(zhǎng)度為河寬,斷面線(xiàn)上的點(diǎn)1、2、3、…、i、…、n是測(cè)速垂線(xiàn)位置,也是細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)左右偏離角度測(cè)量的點(diǎn)。

利用細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)測(cè)驗(yàn)斷面流向需要與經(jīng)緯儀或全站儀等一起共同來(lái)完成。把經(jīng)緯儀設(shè)在岸上基線(xiàn)與斷面線(xiàn)交點(diǎn)上,測(cè)出浮魚(yú)位置或視線(xiàn)與斷面線(xiàn)間的角度,就可算出流向與斷面垂直方向間的角度即流向偏角。

2 數(shù)學(xué)模型

2.1 模型創(chuàng)建

圖2 模型創(chuàng)建圖

根據(jù)圖 1的內(nèi)容進(jìn)行建模,見(jiàn)圖 2,其中 3條直線(xiàn) L、L1、L2是互相平行的,直線(xiàn) L3與 3條直線(xiàn) L、L1、L2垂直相交,交點(diǎn)分別是E、D、C 3點(diǎn)。O點(diǎn)是線(xiàn)段E D中點(diǎn),以O(shè)點(diǎn)為圓心以O(shè) C為半徑作圓,分別交直線(xiàn)L1、L2于A、B兩點(diǎn),連接弦A B、C B、C A,這樣就有弦A B平行于L3。L是圓O的切線(xiàn),而且C是切點(diǎn)。圖形建立起來(lái)之后,我們就此圖利用細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)施測(cè)流向作以說(shuō)明:把L1、L2分別看作是河流兩岸的水邊線(xiàn),圖上的箭頭指的是水流方向,L3是測(cè)驗(yàn)水流要素的橫斷面線(xiàn),水面寬為 E D線(xiàn)段,L可以看作是一條基線(xiàn),C是水文測(cè)量高程基點(diǎn),即架設(shè)經(jīng)緯儀等儀器的固定點(diǎn),而線(xiàn)段C B、C A是提供測(cè)量細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)兩岸水邊點(diǎn)視線(xiàn)。A B線(xiàn)段是細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)的浮魚(yú)測(cè)量每條線(xiàn)時(shí)經(jīng)過(guò)平均位置的連線(xiàn)。A B線(xiàn)段可以沿上游或下游進(jìn)行平行滑動(dòng),當(dāng)滑動(dòng)到某一位置時(shí),使∠A C B最大,如果左右岸測(cè)量角度最大,確定浮魚(yú)位置其精度會(huì)最高。A E或 B D就是細(xì)線(xiàn)在其上面的投影長(zhǎng)度,是浮魚(yú)所處位置到斷面E D最佳距離。如何證明A B所處什么位置能使∠A C B最大這個(gè)問(wèn)題需要以下證明。

2.2 證明

1)當(dāng)A B線(xiàn)段平移滑動(dòng)到其左面A1B1位置時(shí),構(gòu)成了三角形A1B1C,如見(jiàn)圖 3。這里需要證明的是:∠A C B＞∠A1C B1是否成立?過(guò)A點(diǎn)作 A C1直線(xiàn)與切線(xiàn)L交于C1點(diǎn),則

圖3 計(jì)算簡(jiǎn)圖

∵ A1A∥C C1A C1∥A1C

∴ A C1=A1C A1A=C C1

連接線(xiàn)段B C1,

∵A1A∥B1B 且A1A=B1B

又∵A1A∥C C1且A1A=C C1

∴B1B∥C C1且B1B=C C1

也就是說(shuō),在平行四邊形B1B C1C中,有B1C∥B C1B1C =B C1

∵A1B1=A B

∴△A1C B1與△A C1B是兩個(gè)全等三角形

∠A C1B=∠A1C B1

只要線(xiàn)段A1B1與A B不重合,這就決定C點(diǎn)與C1點(diǎn)不是重合點(diǎn),且C1點(diǎn)始終保持在切線(xiàn) L上滑動(dòng),這就說(shuō)明 C1點(diǎn)是圓外點(diǎn),而C點(diǎn)是圓周上的點(diǎn),則

∠A C B、∠A C1B都是A B弧對(duì)應(yīng)的角,所以同弧的圓周角大于同弧所對(duì)應(yīng)的周外角,即

∠A C B＞∠A C1B

故有∠A C B＞∠A1C B1結(jié)論成立

2)當(dāng)A B線(xiàn)段平移滑動(dòng)到其右面A2B2位置時(shí),構(gòu)成了三角形A2B2C,見(jiàn)圖4。

∵∠A C2B=∠A2C B2∠A C B＞∠A C2B

∴∠A C B＞∠A2C B2

根據(jù)①和②證明可知,無(wú)論在 A B左面平移滑動(dòng)任意位置A1B1,還是在A B右面平移滑動(dòng)任意位置A2B2,∠A1C B1、∠A2C B2都分別小于∠A C B,也就是說(shuō),A B所處其圓弧位置所對(duì)應(yīng)的∠A C B是最大。

圖4 計(jì)算簡(jiǎn)圖

3 細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)長(zhǎng)度公式的推導(dǎo)

設(shè)河寬D E=B,儀器所處C點(diǎn)距最近河岸邊距離C D= K B,K是C D占河寬D E的比值,細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)長(zhǎng)度A E=B D=L (嚴(yán)格說(shuō)是細(xì)線(xiàn)在側(cè)向岸邊水平投影)(參見(jiàn)圖 1)。

∵O E=O D=0.5B 圓半徑O C=C D+O D=K B+0.5B

這就是求細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)最佳長(zhǎng)度的公式。對(duì)于不同河寬、不同位置基線(xiàn)的河流斷面,其細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)最佳長(zhǎng)度是不一樣的。

強(qiáng)調(diào)一點(diǎn):如果考慮到斷面流向偏角 α,可以提前估計(jì)一個(gè)平均值,就可進(jìn)一步精確算得細(xì)線(xiàn)長(zhǎng)度,即 L/C O S α,但一般情況下,斷面流向偏角 α很小時(shí),用L就可以滿(mǎn)足要求了。

4 結(jié) 論

利用細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)施測(cè)河流流向時(shí),通過(guò)最大可視角原理,建立數(shù)學(xué)模型,并進(jìn)行了充分論證。根據(jù)河流各種斷面特點(diǎn)及各種條件,從而可以找到對(duì)應(yīng)的細(xì)線(xiàn)浮標(biāo)的最佳長(zhǎng)度。同時(shí),對(duì)于普通的浮標(biāo)測(cè)量及其斷面設(shè)施布設(shè)等工作也提供了重要的理論參考?？傊?在水利工程測(cè)量和水文測(cè)驗(yàn)中引用這一設(shè)計(jì)理念,會(huì)使設(shè)計(jì)更加合理完善、更加科學(xué),對(duì)于提高測(cè)驗(yàn)成果精度,增強(qiáng)可靠性等,在水文測(cè)驗(yàn)中,該設(shè)計(jì)理念彌補(bǔ)了以往測(cè)量方面的不足,具有借鑒性。

[1] 水利部長(zhǎng)江水利委員會(huì)水文局,中華人民共和國(guó)水利部.G B 50179-93河流流量測(cè)驗(yàn)規(guī)范[S].北京:中國(guó)計(jì)劃出版社出版,1994.

[2] 水利部長(zhǎng)江水利委員會(huì)水文局,中華人民共和國(guó)水利部水文司.S L 58-93水文普通測(cè)量規(guī)范[S].北京:中國(guó)水利水電出版社,1993.