超空泡高速航行體動力學建模與控制設計

王京華，張嘉鐘，于開平，魏英杰，黃文虎，呂 瑞

(哈爾濱工業(yè)大學航天學院，哈爾濱150001，wangjh1920@163.com)

因為超空泡在水下減阻的應用前景，已經(jīng)有大量的數(shù)值模擬和實驗來研究超空泡形成、發(fā)展和穩(wěn)定的機理和規(guī)律［1-2］，目前已經(jīng)取得一定進展.在對空泡機理有了一定了解的基礎上，開展了超空泡航行體動力學建模與控制方面的研究［3-7］，文獻［3］在空化器瞬時速度方向決定空泡外形的基礎上分析了超空泡航行體的流體動力，建立了二維非線性動力學模型，使用了精確線性化方法設計控制器;文獻［4］在航行體尾部滑行力計算過程中考慮了空泡的記憶效應，使用預測控制實現(xiàn)避障跟蹤;文獻［5］建立的模型和文獻［3］相似，研究了超空泡航行體的非線性動力學問題;文獻［6］在建模的過程中在某個平衡點附近采用小擾動線性化方法建模，之后使用線性魯棒控制方法;文獻［7］用滑?？刂坪蚅PV研究了超空泡航行體的控制.

本文為了對超空泡航行體進行動力學建模，基于空泡膨脹獨立性原理研究了空泡的記憶效應及其對空泡形態(tài)的影響，又考慮了空化器定向效應和空泡尾部上飄變形，在分析空泡形態(tài)的基礎上計算了空化器和尾翼流體動力以及尾部滑行力，還得到了尾翼效率變化規(guī)律計算公式.設計了極點配置和預測控制方法來進行深度跟蹤，提出了一種避免滑行力出現(xiàn)的策略，避免滑行力可以有效減少摩擦阻力，減少航行體與空泡壁碰撞產(chǎn)生的沖擊，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，對于超空泡航行體在未來的實際應用具有重要意義.

1 超空泡航行體動力學建模

1.1 空泡形狀計算

準確地獲得超空泡的形狀是計算航行體各部分水動力的基礎.根據(jù)Logvinovich創(chuàng)立的空泡膨脹獨立性原理［7］，超空泡的整個運動過程可以看成是空泡的各個橫截面按照一定規(guī)律的獨立膨脹過程，各個截面的膨脹情況只與空化器經(jīng)過該截面的時刻的空化數(shù)、速度等狀態(tài)有關，而與航行體在其它時刻的運動無關.空泡的這種特點就像是對過去有記憶功能一樣，稱為空泡記憶效應.假設t時刻空化器中心的深度為z(t)，t-τ時刻空化器中心的深度為z(t-τ)，用空泡中心線的上漂尺寸h1和空化器定向效應引起的變形h2進行修正，那么在t時刻的空泡中心線上在t-τ時刻空化器經(jīng)過點的截面處的深度為z(t-τ)+h1+h2.

Logvinovich［8］在勢流理論分析和試驗的基礎上，給出了超空泡形狀的半理論半經(jīng)驗公式，后人的大量實驗和數(shù)值模擬都驗證了該公式的正確性［9］，該文獻中的空泡半徑計算公式和空泡半徑收縮速度公式具體計算見文獻［8］.

在重力場中由于受到浮力作用空泡會逐漸上漂［8］，空泡中心軸線的上漂和空泡的上漂幅值是近似相等的，越到空泡后部上漂越顯著，在小空化數(shù)下，與空化器距離為x處的空泡上漂尺寸為

其中:ζ=x/Lk，Lk為空泡半長，文獻［8］中給出了Lk的計算公式.

空化器攻角引起的空泡變形稱為空化器的定向效應［8］，小空化數(shù)下與空化器距離為x處的空泡偏移尺寸為

其中:Fy等于空化器升力大小Fcav，F(xiàn)cav的計算將在1.2節(jié)給出，計算時也應考慮記憶效應，將結果代入式(1)得

其中τ為空化器運動距離x所需的時間.

1.2 流體動力計算

根據(jù)文獻［3］建立的體坐標系，原點位于航行體頭部的圓盤形空化器頂端面的圓心，x軸與航行體對稱軸重合指向前，z軸垂直于x軸指向下.z軸方向的速度是w，V代表縱平面內(nèi)航行體頭部空化器的合速度，θ是航行體俯仰角，q是體坐標系下的俯仰角速度，航行體深度為z.在w較小時有dθ/dt=q，dz/dt=w-Vθ.

空化器的作用除了用來產(chǎn)生和維持超空泡外，還作為一個控制面控制航行體頭部的流體動力，空化器在縱平面內(nèi)旋轉形成的攻角變化可以提供不同的升力，作用于空化器上流體動力的升力分量為［8］

其中:cx是圓盤形空化器與來流垂直時的阻力系數(shù)，cx=cx0(1+σ)，cx0=0.82，αc=w/V+δc，δc是空化器偏轉角度;ρ為水的密度.尾翼也需要提供一定的流體動力來產(chǎn)生控制力矩，在一定空化數(shù)下，通過設計使空泡中心線與航行體中心點重合時尾翼浸入水中的長度是全長的一半，參考文獻［3］的方法，尾翼流體動力為

其中:

式中:δf是尾翼偏轉角，n是尾翼效率.

尾翼只有浸入水中的部分與水直接接觸才能發(fā)揮控制面的作用，這里將尾翼浸入水中的長度與全長的比值稱為尾翼的效率.在實際航行過程中，由于航行體與空泡位置關系的相對變化，尾翼的效率也是不斷改變的.航行體尾部垂直截面處空泡中心線的深度為z(t-τ)+h1+h2，航行體尾部截面中心的深度為z+Lθ，這兩個深度的距離為

通過幾何關系可以計算出尾翼效率為

當航行體中心和空泡中心偏離程度過大，尾翼可能全部浸入水中時，翼效率為1，這時滿足條件

尾部滑行力對于超空泡航行體的整個運動過程分析是很重要的，當滑行力產(chǎn)生時，航行體尾部和空泡內(nèi)壁的相互作用過程可以當作細長體浸入液體考慮［10］，當航行體尾部的一部分浸入到水中時，設h為浸入深度，α是浸入角度，這種情況下使用浸入曲線邊界液體的圓弧物體問題的解，計算公式如下:

其中:R'=(Rc-R)/Rc，h'=h/R，根據(jù)運動過程中航行體與空泡的位置關系可以算出h和α.

1.3 非線性動力學模型

根據(jù)文獻［3-5］中的假設，航行過程中推力和阻力保持平衡.假設巡航速度V的大小保持不變，根據(jù)動量、動量距定理和上文流體動力的計算結果可以得到非線性動力學方程為

其中:

2 極點配置控制設計

超空泡航行體的模型式(4)可表示為非線性仿射形式

取輸出為

對于此非線性MIMO系統(tǒng)采用輸入/輸出間的精確線性化方法［11］，通過計算知模型具有相對階向量(r1，r2)=(2，2)，并且系統(tǒng)的相對階向量有定義，總相對階為4，這時不必考慮內(nèi)動態(tài)的穩(wěn)定性，輸出變量與輸入的關系為

通過反饋

實現(xiàn)了輸入/輸出間的精確線性化，而且還實現(xiàn)了輸入/輸出的解耦.得到輸入/輸出的動態(tài)方程為

這時采用魯棒極點配置方法來設計控制器.

航行體結構參數(shù)等按照文獻［3］選取，零初始狀態(tài)下跟蹤5 m的深度，得到仿真結果如圖1所示，航行體深度z較快地達到跟蹤深度，跟蹤效果較好，出現(xiàn)了一段時間的滑行力，但是在控制作用下逐漸過渡到無滑行力狀態(tài)，這時空化器和尾翼共同作用來平衡航行體的重力.前0.5 s內(nèi)幾乎一直存在的滑行力，會增加航行體的阻力，航行體與空泡壁接觸也會造成沖擊.不足之處是控制輸入δf過大.

圖1 極點配置控制

3 預測控制設計

航行體尾部與空泡壁接觸時會產(chǎn)生滑行力，滑行力的出現(xiàn)會增加航行體的摩擦阻力，并且高速航行過程中突然出現(xiàn)的滑行力會給航行體造成振動與沖擊，因此，如果能有效避免滑行，可以減少能量消耗，并減少航行體與空泡壁碰撞產(chǎn)生的沖擊，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性.控制滑行力的可行辦法是把與滑行力相關的量作為一個輸出變量，并約束該變量的取值范圍.另外，控制輸入空化器和尾翼的偏轉角要滿足一定的約束條件.若輸出變量和輸入變量都滿足一定的物理約束，，則預測控制最顯其優(yōu)勢［12］，下面推導預測模型.由于能避免滑行力是非常有益的，假設通過適當?shù)目刂瓶梢圆划a(chǎn)生滑行力，那么超空泡航行體的動力學模型式(4)可表示為

通過反饋線性化將重力影響產(chǎn)生的C項消去后得到

離散化得

取采樣周期T為0.008 s，根據(jù)文獻［3］的參數(shù)，在空化器處形成的超空泡到航行體尾部會有0.024 s的延遲時間，借鑒文獻［4］的方法取新的狀態(tài)變量為

新的狀態(tài)方程為

由式(2)可知滑行力的出現(xiàn)與空泡中心線和航行體中心的距離有關，輸出的第8個變量用來表示這個距離，輸出方程為

其中:C'=［1 0 L0 0 0 -1］.預測控制問題描述為［12］

對于有約束控制可以轉化為二次規(guī)劃問題進行求解.

如果要避免滑行力的產(chǎn)生，就要控制航行體尾部橫截面處航行體中心和空泡中心的距離，使航行體無法接觸到空泡壁，在文獻［3］的航行體結構和空化數(shù)等條件下航行體尾部邊緣和空泡壁間隙為3.94 cm，為了保證空泡出現(xiàn)擾動情況下設計方法仍然有效，約束航行體尾部橫截面處航行體中心和空泡中心距離不超過3 cm.約束控制輸入空化器和尾翼偏轉角大小分別在0.2 rad和0.5 rad以內(nèi);限制縱向速度 w大小不超過10 m/s;為了滿足小角度假設，俯仰角大小不超過0.08 rad;為了使航行體在空泡內(nèi)擺動的速度不過大，因此限制俯仰角速度大小在1 rad/s以內(nèi).

零初始狀態(tài)下跟蹤5 m的深度，仿真結果如圖2所示，有效地避免了滑行力的出現(xiàn)，這點也可以從航行體中心線和空泡中心線之間的距離看出來，與有滑行力狀態(tài)相比，可以減少摩擦阻力;控制輸入飽和問題也得到了解決，控制面偏轉角被限制在要求的范圍內(nèi).

圖2 預測控制

4 結論

文中根據(jù)文獻［8］提出的空泡膨脹獨立性原理，考慮了空泡的記憶效應等對空泡外形和流體動力的影響，詳細計算了超空泡航行體各部分所受的流體動力，研究了航行過程中尾翼效率變化計算方法，建立了超空泡航行體非線性動力學模型.基于輸入輸出精確線性化的極點配置控制器深度跟蹤效果較好，但是容易出現(xiàn)調節(jié)器飽和，滑行力較大;為了解決極點配置的不足，設計了預測控制方法，提出了航行過程中避免滑行力出現(xiàn)的策略來減少摩擦阻力和增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性，仿真結果表明設計的預測控制方法可以成功地在航行過程中避免滑行力.

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