概率分布中的遞推問題與Panjer遞推公式

王丙參,徐長偉,宋立新

(1.天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,甘肅天水741001;2.中原工學(xué)院理學(xué)院,河南鄭州450007;3.吉林師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林四平136000)

1981年,Panjer給出了一種計算概率 f(x)的遞歸方法,它的前提條件是理賠額的概率分布列滿足遞歸式,而精算領(lǐng)域中理賠額經(jīng)常取值非負整數(shù),即離散型隨機變量.Panjer的成果發(fā)表后,類似的公式在排隊論中已被推導(dǎo),現(xiàn)在精算領(lǐng)域已經(jīng)出現(xiàn)了大量的研究類似遞歸式的論文[1,2].因此本文利用歸納遞推的思想給出了常用的離散型隨機變量概率分布列的遞推公式并探討與Panjer遞推公式的關(guān)系,從而更好的理解離散型隨機變量及其應(yīng)用.

1 離散型隨機變量的遞推公式

如果記 X為n重伯努利試驗中事件A成功的次數(shù),則 X的可能取值為0,1,…,n,記 p為事件A發(fā)生的概率,則 X服從參數(shù)為(n,p)的二項分布,記為 X～B(n,p).顯然當(dāng)n=1時為兩點分布[3,4].

在伯努利試驗序列中,記每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,如果 X為事件A首次出現(xiàn)時的試驗次數(shù),則 X的可能取值為1,2,…,稱 X服從參數(shù)為p的幾何分布,記為 X～Ge(p).

定理1.3 隨機變量 X～Ge(p),其分布列為 Pk～P(X=k)=p(1-p)k,k=1,2,….若令 a=1-p,b=0,則有 pk=(a+) pk-1,k=2,3,…,其中 p0=p.

證明 pk=p(1-p)k=(1-p)p(1-p)k-1=(1-p)pk-1,k=2,3,…

伯努利試驗序列中,每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p,如果 X為事件A第r次出現(xiàn)時的失敗試驗次數(shù),則 X的可能取值為0,1,2,…,稱 X服從參數(shù)為 (r,p)的負二項分布,記為 X～NB(r,p).

泊松分布是1837年法國數(shù)學(xué)家泊松首次提出的,它是一種重要的離散分布,常與單位時間上的計數(shù)過程相聯(lián)系,譬如,在單位時間內(nèi),電話總機接到用戶呼喚的次數(shù),因此泊松分布的應(yīng)用面是十分廣泛的[7].

設(shè)有 N個產(chǎn)品,其中有M個不合格品.若從中不放回地隨機抽取n個,則其中含有的不合格品的個數(shù) X服從參數(shù)為N,M,n≤M的超幾何分布,記為 X～h(n,N,M).

證明 由于

定理1.7[8]隨機變量 X服從參數(shù)為p的對數(shù)分布,其分布列為2,…,其中q=1-p.若令a=1-p,b=-(1-p),則有

通過上面的討論,常用的離散型隨機變量的分布列pk具有規(guī)律性,即只是不同的分布中的參數(shù)a,b取值不同.

2 Panjer遞推公式

設(shè)S=X1+X2+…+XN,其中 N表示理賠次數(shù),Xi表示第i個理賠.假定理賠額 Xi是獨立同分布的,N和所有Xi獨立.N是一個僅取非負正整數(shù)值的隨機變量,分布列為 pn=P[N=n],n=0,1,…,記mN(t) =E(etN),特別,當(dāng) N服從泊松分布時,S具有復(fù)合泊松分布.當(dāng) N服從負二項分布時,S具有復(fù)合負二項分布.聚合模型的理賠總額就是一個復(fù)合分布,因此研究復(fù)合分布具有重要的現(xiàn)實意義.

定理2.1 考慮這樣的一個復(fù)合分布,其中理賠額取非負整數(shù)值,具有概率分布函數(shù)為 p(x),x=0,1,2,…,而且事件“有 n個理賠發(fā)生”的概率qn滿足遞歸式…,其中a,b∈R,于是事件“理賠總額等于s”的概率滿足如下關(guān)系式:

只需將a,b,p0代入2.1式便可推出理賠額為其他離散型隨機變量的Panjer簡化式,但要注意一定要有實際意義.Panjer遞推公式可以用來計算停止損失保費及支撐于0,1,2…上的分布的 n重卷積,因此研究Panjer遞推公式具有重要的實用價值.

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