用尺規(guī)作正多邊形

錢(qián)國(guó)棟

(河北北方學(xué)院信息與工程學(xué)院,河北 張家口 075000)

在平面上用直尺 (無(wú)刻度)和圓規(guī)作出的圖是有限的.這里只討論常見(jiàn)的正多邊形的尺規(guī)作圖,這種作圖也可歸結(jié)為圓內(nèi)接正n邊形的作圖.為此,先用圓規(guī)把單位圓分成n等分,連結(jié)其分點(diǎn)就得一個(gè)正 n邊形,或者求出單位圓內(nèi)接正n邊形的一條邊長(zhǎng),再在單位圓上截取,作出一個(gè)正n邊形.由所得的正 n邊形和多邊形相似定理,就可作出所要求的正n邊形.

用圓規(guī)及直尺作圖的過(guò)程,是要經(jīng)過(guò)以下的步驟:

①在已知范圍內(nèi)挑選一點(diǎn).②過(guò)兩點(diǎn)可以作一直線.③已知圓心和半徑可以作一圓.④假如兩直線(圓)或一直線一圓能夠作出,如果有交點(diǎn),那么它們的交點(diǎn)能夠作出.

一個(gè)初等幾何圖形能夠作出,只不過(guò)有限次的重復(fù).引用上面四種步驟或其部分,作出一些所要求的點(diǎn)、直線和圓.為了討論所要求的圖形是否可作的問(wèn)題,可在解析幾何中敘述上述作圖過(guò)程.一點(diǎn)能夠任意排選,可以假定它的坐標(biāo)是有理數(shù);過(guò)坐標(biāo)是有理數(shù)域Q中數(shù)的兩點(diǎn)的直線,它的方程的系數(shù)也是Q中的數(shù);因?yàn)橄禂?shù)在Q中兩個(gè)二元一次方程組有解時(shí),它的解仍在Q中,因此所給兩條直線有交點(diǎn)時(shí),其交點(diǎn)的坐標(biāo)也在Q中;如果圓上的三個(gè)點(diǎn),或一個(gè)點(diǎn)及圓心,它們的坐標(biāo)都在Q中,那么圓的方程的系數(shù)也在Q中,但方程的系數(shù)在Q中的兩圓或一圓及一直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)一般含有Q中數(shù)的平方根.因此,一個(gè)數(shù) x是方程的系數(shù)在Q中兩直線、兩圓及一直線和圓的交點(diǎn)坐標(biāo),那么 x能夠用Q中數(shù)的有理運(yùn)算及平方根表示,反之亦成立.

我們把有理數(shù)域Q換成數(shù)域下,上述的推導(dǎo)亦成立.

定理1 數(shù) x能夠用尺規(guī)作出,當(dāng)且僅當(dāng)它能夠用 F中數(shù)的有理運(yùn)算及平方根表示.

通常能作的正多邊形,都由定理1給出,設(shè)已知圓的半徑R=1,又因?yàn)?/p>

下面討論正17邊形的作法

假設(shè)單位圓的圓周分成十七等分,其分點(diǎn)是 A,Ai,i=0,1,2,…,16,并且 AA0是圓的直徑,記AA0=a0,AAi=ai,那么 a0=2,al=a17-l(1≤l≤16)見(jiàn)下圖,在 [1]中,能算出 (a8可以由以下算出).

和

具體作法見(jiàn)文獻(xiàn) [1].

當(dāng)an可由尺規(guī)作出時(shí),那么也可由尺規(guī)作出.

考慮到等分一個(gè)角是可行的,就可作出邊數(shù)是3×2k,4×2k,5×2k和17×2k的正多邊形.[2,3]

熟知,作正n邊形與把單位圓n等分是一會(huì)事,我們把單位圓6等份,再10等份,它們每一等份所對(duì)應(yīng)的圓心角的差:60°-36°=24°,而360°÷24°=15,所以在作出正 6邊形和正 10邊形后,就可以作出正15邊形,從而也能作出正15×2k邊形.因?yàn)檎?7邊形能作出,即把圓周能17等分,其一等分所對(duì)應(yīng)的圓心角是,把它2等分,所對(duì)應(yīng)的圓心角是,再把圓10等份所對(duì)應(yīng)的圓心角是36°,而,并且=85,所以正85邊形可以作出;從而也能作出正85×2k邊形;因?yàn)檎?4邊形能作出,把圓圍能24等分,其一等分所對(duì)應(yīng)的圓心角是15°,又因?yàn)檎?36邊形能作出,所以可以把圓周能136等分,每一等分所對(duì)應(yīng)的圓心角是,取這角的3倍,所得的圓心角是,所以取 15°圓心角與圓心角的差：15°并且有因此正51邊形可以作出,從而可作出51×2k邊形,于是可得.

圖1 系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線

定理2 用尺規(guī)能作出邊數(shù)不超過(guò)100的正多邊形,如下表所示.

邊數(shù)不超過(guò)100的正多邊形,我們作出上表中的24個(gè),其余74個(gè)均不能作圖,這可由如下的高斯定理予以解答 (見(jiàn) [1]).

定理3 僅用尺規(guī)把圓周 n等分,當(dāng)且僅當(dāng) n是如下形狀的整數(shù).

(1) n=2m;

(2)n=P=22t+1,且 P是素?cái)?shù);

(3) n=2mP1P2…Pl,Pi(i=1,2, …,l)是22t+1型的素?cái)?shù)且各不相同.

不能用尺規(guī)作出的正多邊形,也可由文獻(xiàn) [4]、[5]從理論上闡述,這里不再多敘.

表1 用尺規(guī)作出正多邊形的邊數(shù)

[1] 梁紹鴻.初等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)與研究 [M].北京：人民教育出版社,1958：9-70

[2] 馬忠林,張貴新.中學(xué)幾何教學(xué)論 [M].沈陽(yáng)：東北師大出版社,1988：20-80

[3] 陳通鑫,何怡生.世界幾何名題趣談 [M].石家莊：河北教育出版社,1989：15-46

[4] 霍元極,寇福來(lái).高等代數(shù) [M].北京：北京師范大學(xué)出版社,2009：1-10

[5] 熊全淹.近世代數(shù) [M].武漢：武漢大學(xué)出版社 (第二版),2004：5-36