積和式的拉普拉斯展開式探析

趙憲民

(萊蕪職業(yè)技術(shù)學院,山東萊蕪271100)

1 記號及基本性質(zhì)

積和式由著名數(shù)學家Binet和Cauchy引入.數(shù)學家Muir創(chuàng)造了術(shù)語“permanent”來示定義在 n階矩陣A=(aij)的下列函數(shù):

其中,sn表示n次對稱群,(1)式中右方稱為積和式的展開式.從此,積和式的研究蓬勃發(fā)展[1],研究更加活躍,獲得了許多成果[2-4].同時,積和式在純粹數(shù)學、應用數(shù)學、物理學,特別是組合設計中都有廣泛的應用,更加體現(xiàn)了它的重要性.

從 (1)式看,積和式的表示式與n階矩陣A=(aij)的行列式anσn.式中每一項相差一個符號因子(-1)τ(σ1…σn).這就給出提示,可以用類比方法得到積和式的一些相關(guān)事實.先列出一些基本的事實.

定義1[1]在一個n級行列式D中任意選定k行k列(k≤n).位于這些行和列的交點上的 k2個元素按照原來的位置組成一個 k級行列式M,稱為行列式D的一個k級子式.在 D中劃去這k行k列后余下的元素按照原來的位置組成的n-k級行列式M′稱為k級子式M的余子式.

定義2[1]設D的k級子式M在D中所在的行、列指標分別是 i1,i2,…,ik,j1,j2,…,jk.則M的余子式M′前面加上符號 (-1)(i1+i2+…+ik)+(j1+j2+…+jk)后稱做 M的代數(shù)余子式.

定理1[1](拉普拉斯定理)

設在行列式D中任意取定了k(1≤k≤n-1)個行,有這 k行元素所組成的一切k級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積的和等于D.

性質(zhì)1 設 A′表示A的轉(zhuǎn)量矩陣,則per A′=per A.即

性質(zhì)1說明積和式對列成立的性質(zhì),對行也成立.下面,對列的形式進行敘述.

記矩陣 A=(a1,a2,…an),其中 a=(a1j,a2j,…anj)′,j=1,2,…,n.則per A=per(a1,a2,…an).

性質(zhì)2[2]per(a1,…,ai,…aj,…,an) =per(a1,…,aj, …ai,…,an).

性質(zhì)3[2]per(a1, …,αi+βi, …aj, …,an) =per(a1, …,αi, …aj, …,an) +per(a1, …,βi,…aj, …,an).

2 積和式的Lap lace展開式

為了證明積和式的拉普拉斯展開式,先引入一個概念.

定義3 在一個 n階積和式per A中任意選定第i1,i2,…,ik行和第j1,j2,…,jk列 (k≤n),位于這些行和列的交叉處的k2個元素按原來的次序組成一個 k階積和式記為per A [i1,i2,…,ik|j1,j2,…,jk]稱為積和式per A的一個k階子積和式;在per A中劃去這樣的k行k列后余下的元素按照原來的次序組成的n-k階積和式稱為k階積和式per A [i1,i2,…ik|j1,j2,…,jk]的余子積和式,記為per A [i1,i2,…in-k|j1,j2,…,jn-k].

引理1 n階積和式per A中的一個k階子積和式per A [i1,i2,…ik|j1,j2,…jk]與它的n-k階余子積和式per A [i1,i2,…in-k|j1,j2,…jn-k]的乘機中的每一項都是積和式per A展開式中的一項.

證明 首先討論k階子積和式位于per A的左上方,即i1=1,i2=2,…,ik=k,j1=1,j2=2,…,jk=k的情形.

因此per A [1,2,…k|1,2,…,k] ·per A [i1,i2, …in-k|j1,j2, …,jn-k]中每一項都是per A中的一項.

再證明一般情形.

設i1＜i2＜…＜ik;j1＜j2＜…＜jn.采用下面交換行、列的次序的方法將per A [i1,i2,…ik|j1,j2,…,jk]變到位于per A的左上角.為此,先把第i1行依次與第i1-1,i1-2,…,2,1行做對換.這樣經(jīng)過了i1-1次對換而將第i1行換到第一行.再將i2行依次與第 i1-1,i1-2,…,2行對換而換到第二行,一共進行了i1-2對換.如此進行下去.一共進行了

(i1-1) + (i2-2) +…+(ik-k) = (i1+i2+…+ik) -(1+2+…+k)次行變換而把第i1,i2,…,ik行依次換到第1,2,…,k行.

利用類似的列變換,可以將 j1,j2,…,jk列換到1,2,…,k.一共作了

(j1-1) +(j2-2) +…+(jk-k) =(j1+j2+…+jk) -(1+2+…+k)次列變換.

記變換后得到的積和式為per B,則由性質(zhì)2有per A=per B.

現(xiàn)在per A [i1,i2,…ik|j1,j2,…,jk]位于per B的左上角,此時per A [i1,i2,…in-k|j1,j2,…,jn-k]一定位于per B的右下角,所以per A [1,2,…k|1,2…,k] ·per A [i1,i2,…in-k|j1,j2,…,jn-k]中的每一項都是per B即per A中的每一項,這就是所要證明的結(jié)論.

有了以上的準備工作,下面給出積和式的Lap lace展開式.

定理2 設在積和式per A中任意取定k(1≤k≤n-1)行,由這 k行元素所組成的一切k階子積和式與它們的余子積和式的乘積之和等于積和式per A.

證明 定理要求證明

per A=p[i1,i2,…ik|j11,j12,…j1k] ·p[i1,i2,…ik|j11,j12,…j1n-k] +…+p[i1,i2,…ik|jt1,jt2,…jt1k] ·p[i1,i2,…ik|jt1,jt2,…jtn-k] (3)

其中,p[i1,i2,…ik|j11,j12,…j1k],…,p[i1,i2,…ik|jt1,jt2, …jt1k]是per A中選定第i1,i2, …,ik行后得到的所有k階子積和式,根據(jù)引例1 p[i1,i2,…ik|jp1,jp2, …jpk] ·p[i1,i2, …ik|jp1,jp2,…jpn-k]中每一項都是per A中一項,而且當 p≠q時,p[i1,i2, …ik|jp1,jp2, …,jpk]與 p[i1,i2, …ik|jq1,jq2,…,jqk]至少有一列不同,故

p[i1,i2,…ik|jp1,jp2,…jpk] ·p[i1,i2,…ik|jp1,jp2, …jpn-k]和 p[i1,i2, …ik|jq1,jq2,…jqk] ·p[i1,i2,…ik|jq1,jq2,…jqn-k]無公共項.因此為了證明定理,只需證明等式 (3)兩邊項數(shù)相等就可以了.顯然等式左邊共有n!項,即我們只需證明 (3)式右邊也有n!項.為了計算右邊的項數(shù),首先來求出t.根據(jù)子積和式的取法可知

因為 p[i1,i2,…ik|jp1,jp2, …jpk]中共有k!項,p[i1,i2, …ik|jp1,jp2, …,jpn-k]中共有 (n-k)!項,_所以右邊共有k!(n-k)!_=n!項.定理得證.

3 應用舉例

即對于任意 n≥2,都有 Δn=x·Δn-1+an(n≥2),

因此

Δn=x·(x·Δn-2+an-1) +an=x2·Δn-2+an-1x+an=x2·(Δn-3+an-2) +an-1x+an…………=xn-1Δ1+a2xn-2+…+an-1x+an,但Δ1=per(x+a1) =x+a1,故per A=Δn=xn+a1xn-1+…+an-1x+an.

[1] Bhatia R,Elsner L.On the variation of permanents[J].Linear Multil Algebra,1990,27：105-110

[2] 王恒亮,湯秀芳.積和式的性質(zhì)與應用 [J].通化師范學院學報,2006,(04)：10-12

[3] 李建平,謝冬長.一類 (0,1)-矩陣的積和式 [J].廣東工業(yè)大學學報,2009,(03)：92-95

[4] 扈生彪.(0,1)-矩陣的積和式的圖表示及其相關(guān)性質(zhì) [J].數(shù)學進展,2005,(02)：160-166