具有反饋控制的基于比率的三種群捕食模型的漸近性

鄭秀亮,韓振芳,徐永春

(河北北方學(xué)院理學(xué)院,河北張家口075000)

0 引 言

大量的文獻(xiàn)研究了種群的持久生存與全局漸近性[1-5].Fan等[6]討論了一類基于比率的兩種群非自治捕食模型的動力學(xué)狀態(tài),CHen等[7]討論了一類基于比率的具有反饋控制的兩種群非自治捕食模型的持久性、全局漸近穩(wěn)定性及正概周期解[8]的惟一漸近穩(wěn)定性.在此基礎(chǔ)上,本文研究一類具有反饋控制的基于比率的三種群捕食模型的持久生存與全局漸近性,模型如下：

其中xi(t)(i=1,2,3)分別表示種群 Xi(t)(i=1,2,3)在時刻t時的密度,ui(t) (i=1,2,3)表示控制變量,系數(shù) ri(t),di(t),ei(t),fi(t),qi(t) (i=1,2,3),a1i(t) (i=1,2,3),ai1(t) (i=2,3),α1i(t)(i=2,3)均有連續(xù)正的有界函數(shù),為方便起見,對任意連續(xù)有界函數(shù) g(t)引入記號

考慮到生態(tài)意義,故假定模型 (1)滿足初始條件 xi(t0) ＞0,ui(t0) ＞0的解 xi(t)＞0,ui(t)＞0(i=1,2,3).

本文分如下三部分:第一部分證明了模型 (1)的一致持久性,包括定理1和定理2;第二部分證明了當(dāng)模型 (1)為周期模型時,其正周期解的全局漸近穩(wěn)定性,包括定理3與定理4;第三部分通過實(shí)例分析驗(yàn)證了定理2與定理4的可實(shí)現(xiàn)性.

1 模型 (1)的一致持久性

定理1 假設(shè)模型 (1)滿足下列條件

則Ω是模型 (1)的正不變集.其中

Ω={(x1(t),x2(t),x3(t),u1(t),u2(t),u3(t))T|mi≤xi(t)≤Mi,mi+3≤ui(t)≤Mi+3(i=1,2,3)}

證明 設(shè)(x1(t),x2(t),x3(t),u1(t),u2(t),u3(t))是模型 (1)滿足初始條件mi≤xi(t0)≤Mi,mi+3≤ui(t0)≤Mi+3,(i=1,2,3)的解,由模型 (1)的第一個方程得

利用比較原理得

由模型(1)的第三個方程結(jié)合(2)與第五個方程得

利用比較原理得

由模型(1)的第二個、第四個、第六個方程分別與(4)、(2)、(3)結(jié)合得

利用比較原理得

另一方面,利用同樣的方法有

定理1證畢.

因此由上面證明過程可得定理2.

定理2 假設(shè)模型 (1)滿足條件 (H1)-(H3),則Ω是模型 (1)的最終有界域,從而模型 (1)是持久生存的.

2 周期解的全局漸近性

在以下的討論中,假定模型 (1)中所有系數(shù)均為時間t的具有正ω-周期的連續(xù)函數(shù),則模型 (1)稱為一個ω-周期模型.設(shè) X=(x1(t),x2(t),x3(t),u1(t),u2(t),u3(t))∈R6+,||X||=|x1(t)|+|x2(t)|+|x3(t)|+|u1(t)|+|u2(t)|+|u3(t)|,在 D?R6+定義 Poincare映射,由不動點(diǎn)定理[10]和定理2可得定理3.

定理3 若ω-周期模型 (1)滿足條件 (H1)-(H3),則模型 (1)至少存在一個嚴(yán)格正的ω-周期解.

定理4 若ω-周期模型 (1)滿足條件 (H1)-(H3)及下列條件

則模型 (1)存在惟一全局漸近穩(wěn)定的正ω-周期解.

證明 設(shè) X(t) =(x1(t),x2(t),x3(t),u1(t),u2(t),u3(t))是模型 (1)的一個嚴(yán)格正的周期解,Y(t) = (y1(t),y2(t),y3(t),v1(t),v2(t),v3(t))是模型 (1)任意滿足初始條件 xi(t0)＞0,ui(t0)＞0(i=1,2,3)的解.構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

由 (14)式兩端在 [T,t](T≥t0)上積分得

注 Chen等[7]的主要結(jié)論是本文結(jié)論a13(t) =α13(t) =r13(t) =a31(t) =d3(t) =e3(t) =f3(t) =q3(t) =0的特殊情況.

3 實(shí)例分析

本部分舉例通過數(shù)值計(jì)算說明定理2與定理4的可實(shí)現(xiàn)性,考慮模型(1)滿足如下條件

由上面計(jì)算可知條件 (H1)- (H7)成立,根據(jù)定理2模型 (15)是持久生存的,根據(jù)定理4模型(15)有惟一全局漸近穩(wěn)定的周期解.

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