安旭霞
筆者在多年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)生涯中,遇到學(xué)生求問(wèn)最多的問(wèn)題是列方程解應(yīng)用題,也是學(xué)生最為懼怕的問(wèn)題。面對(duì)應(yīng)用題,有些學(xué)生根本沒(méi)有閱完題目就說(shuō)不懂而“棄械投降”;有些學(xué)生就是“胡闖亂撞”理不出頭緒;而有一些學(xué)生只能是望題興嘆。以下是筆者整理出的一些解決應(yīng)用題的方法。
構(gòu)建自主、合作、探究的課堂模式;借助工具媒體,巧建數(shù)學(xué)模型;注意挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)背景,再現(xiàn)數(shù)學(xué)的抽象過(guò)程;鼓勵(lì)學(xué)生去猜想,學(xué)會(huì)主動(dòng)尋求解決問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)猜想的過(guò)程也是一個(gè)數(shù)學(xué)研究的真實(shí)過(guò)程。例如在教“球的表面積”時(shí),引導(dǎo)學(xué)生從削蘋(píng)果皮入手,通過(guò)猜想、驗(yàn)證,從而推導(dǎo)出球的表面積公式??傊瑧?yīng)本著“以學(xué)生發(fā)展為本”“教為學(xué)服務(wù)”的思想觀點(diǎn)進(jìn)行自主探究性教學(xué),發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極主動(dòng)性,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。要做到主動(dòng)地用數(shù)學(xué)的眼光去看世界,并且能敏銳地感覺(jué)和洞察其中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)問(wèn)題。
為了提高學(xué)生解應(yīng)用題的能力,常見(jiàn)的做法是猜題、押題、抓題型,其結(jié)果是面面俱到,但最終卻一無(wú)所獲,這種灌輸式的教學(xué)模式,對(duì)于純而又純的數(shù)學(xué)題型或許有用,但對(duì)問(wèn)題情景開(kāi)發(fā)的應(yīng)用題的教學(xué),真正的思想方法是數(shù)學(xué)建模,建模的基本方法是數(shù)學(xué)抽象。其要點(diǎn)是將實(shí)際問(wèn)題中的普通語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言,即用數(shù)學(xué)符號(hào)或記號(hào)去表示事物的狀態(tài)或特征,并且從普通語(yǔ)言中尋找數(shù)量關(guān)系,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將其表示出來(lái),以建立數(shù)學(xué)模型,這是數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵,也是難點(diǎn)。中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型有:對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的數(shù)量關(guān)系抽象成的方程(組)的模型;對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的不等關(guān)系抽象成的不等式(組)的模型;對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中普遍存在的變量關(guān)系抽象成的函數(shù)模型;涉及圖象的位置變化、性質(zhì)特征的幾何模型等。
1)行程與工程問(wèn)題。行程與工程問(wèn)題是初中階段列方程解應(yīng)用題的重點(diǎn),也是中考命題考查應(yīng)用題的熱點(diǎn)。行程應(yīng)用題千變?nèi)f化,主要有相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題,而此類(lèi)問(wèn)題又通??梢杂米鲌D法來(lái)求解;工程應(yīng)用問(wèn)題是指用數(shù)學(xué)知識(shí)和原理對(duì)工程的定位、大小等進(jìn)行合理布局和設(shè)計(jì)類(lèi)的問(wèn)題。
2)生產(chǎn)問(wèn)題。生產(chǎn)類(lèi)應(yīng)用問(wèn)題,主要指工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中計(jì)算率、產(chǎn)值、用料、調(diào)配等方面的問(wèn)題。
3)營(yíng)銷(xiāo)與決策問(wèn)題。營(yíng)銷(xiāo)類(lèi)應(yīng)用題,指在營(yíng)銷(xiāo)活動(dòng)中計(jì)算產(chǎn)品成本、利潤(rùn)(率),確定銷(xiāo)售價(jià)格,考慮銷(xiāo)售活動(dòng)的盈虧等情況的問(wèn)題;決策類(lèi)應(yīng)用題,指根據(jù)已掌握的數(shù)據(jù)及有關(guān)信息,利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)某一事物進(jìn)行分析、計(jì)算,從而作出正確決策的問(wèn)題。
4)圖像與信息問(wèn)題。圖像與信息問(wèn)題的重點(diǎn)是圖像,仔細(xì)觀察圖像并從中獲取信息,巧妙地進(jìn)行“數(shù)”與“行”之間的轉(zhuǎn)換。例如:函數(shù)圖像轉(zhuǎn)換為函數(shù)解析式,幾何圖形的線(xiàn)段轉(zhuǎn)換為距離等,而這里涉及的函數(shù)、方程、幾何知識(shí)的綜合運(yùn)用,則是本類(lèi)題的難點(diǎn)。
5)以實(shí)驗(yàn)為背景。比如化學(xué)濃度,此類(lèi)問(wèn)題跟物理、化學(xué)聯(lián)系較密切,需要考生注重知識(shí)的積累,理解題意并正確分析每一步實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象及結(jié)果。
6)增長(zhǎng)率問(wèn)題。這個(gè)比較簡(jiǎn)單易懂,主要記住基本關(guān)系式即可:n年后產(chǎn)量=原產(chǎn)量×(1+增長(zhǎng)率)n,n年后本利和=本金×(1+利率)n。
1)引導(dǎo)學(xué)生把應(yīng)用題中數(shù)量關(guān)系,通過(guò)圖示顯示解題的思路。如解行程問(wèn)題的時(shí)候用得比較多。
2)用演示操作法揭示解題思路。通過(guò)直觀教具(包括幻燈片)的演示,以及引導(dǎo)學(xué)生操作學(xué)具,突出解題關(guān)鍵,發(fā)現(xiàn)解題的線(xiàn)索,揭示解題的思路。
3)用假設(shè)法尋求解題思路。將某種現(xiàn)象或關(guān)系,假設(shè)一個(gè)主觀上所需要的條件,然后從事實(shí)與假設(shè)之間的矛盾中尋求正確的答案。
4)用逆推法探求解題思路。對(duì)于某些特殊結(jié)構(gòu)的應(yīng)用題作反向思考,采取相逆的運(yùn)算,探索解題的思路。
5)用變更法誘導(dǎo)解題思路。對(duì)應(yīng)用題中的條件、結(jié)論或問(wèn)題的敘述方式做些變更,也就是換另一種說(shuō)法來(lái)說(shuō)題意,往往能使原問(wèn)題化繁為簡(jiǎn),化難為易,從另一個(gè)方面誘導(dǎo)出解題思路。例如,一輛客車(chē)從甲地到乙地需行12小時(shí),一輛貨車(chē)從乙地到甲地需行15小時(shí),現(xiàn)在兩車(chē)同時(shí)相向而行,途中貨車(chē)因故停留3小時(shí),貨車(chē)出發(fā)后幾小時(shí)與客車(chē)相遇?分析這道題時(shí),引導(dǎo)學(xué)生把題中的“貨車(chē)停留3小時(shí)”變更為“客車(chē)先出發(fā)3小時(shí)”,也就是客車(chē)行了全程的1/12×3=1/4時(shí),貨車(chē)才出發(fā),這道題的解題思路就一目了然了。
6)用類(lèi)比法啟發(fā)解題思路。從要解決的問(wèn)題聯(lián)想到與它類(lèi)似的一個(gè)熟悉的問(wèn)題,用熟悉問(wèn)題的解題思路,解決所要解決的問(wèn)題。例如,客車(chē)、貨車(chē)從兩站相對(duì)開(kāi)出18/5小時(shí)后,在途中相遇,客車(chē)行全程要6小時(shí),貨車(chē)行全程要幾小時(shí)?這道題粗看一下,像相遇問(wèn)題,但仔細(xì)分析一下,會(huì)發(fā)現(xiàn)此題既不知兩站之間的距離,也不知客車(chē)的速度,如果用相遇問(wèn)題的方法來(lái)解答,顯然是行不通的。但是如果引導(dǎo)學(xué)生換一個(gè)角度去看看,不難發(fā)現(xiàn)它與所學(xué)過(guò)的工程問(wèn)題類(lèi)似。
7)用對(duì)應(yīng)法提示解題思路。數(shù)量關(guān)系成比例關(guān)系的應(yīng)用題,可以先從對(duì)應(yīng)關(guān)系中找出單位量,再以它為標(biāo)準(zhǔn)提示出解題的思路。例如,2噸黃豆可榨油4/5噸,5/8噸黃豆可榨油多少?lài)崳?/p>
上述解應(yīng)用題的7種方法,有時(shí)單獨(dú)運(yùn)用,有時(shí)結(jié)合在一起使用,要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)變換角度,正確、全面地分析數(shù)量關(guān)系,開(kāi)拓思路,提高思維水平。
有很多教師講過(guò)同樣的一句話(huà):應(yīng)用題我都講了千百遍,學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)一點(diǎn)也看不見(jiàn)增強(qiáng),遇到應(yīng)用題總是一籌莫展。這種情況除了沒(méi)有正確地講清數(shù)學(xué)建模思想之外,還有一點(diǎn)那就是沒(méi)有注意應(yīng)用題發(fā)生的實(shí)際背景。新課改下的數(shù)學(xué)教材特別注重從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā),讓學(xué)生親自將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用,在學(xué)生做數(shù)學(xué)的過(guò)程中進(jìn)而獲得對(duì)數(shù)學(xué)的理解,培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)與創(chuàng)新能力。因此,廣大數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在概念的生成、命題的獲得上下工夫,弄清知識(shí)的來(lái)龍去脈,讓學(xué)生主動(dòng)地尋求其實(shí)際背景,才能為知識(shí)的應(yīng)用找到長(zhǎng)生點(diǎn),也才有可能進(jìn)一步探索其應(yīng)用價(jià)值,體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。
很多教師都教過(guò)有理數(shù)的乘方這一節(jié)課,有不少教師是這樣處理的:從小學(xué)學(xué)過(guò)的正數(shù)的平方、立方入手,類(lèi)比直接導(dǎo)入。這樣可能自然流暢,但其負(fù)面作用是忽略了它的實(shí)際背景,嚴(yán)重削弱它對(duì)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)。筆者在教學(xué)中通過(guò)多媒體展示3個(gè)場(chǎng)景:1)展示細(xì)胞分裂的過(guò)程;2)蘭州拉面的制作過(guò)程;3)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),將一張報(bào)紙對(duì)折再對(duì)折(報(bào)紙不得撕裂)直到無(wú)法對(duì)折為止。通過(guò)3個(gè)場(chǎng)景的創(chuàng)設(shè)與操作,學(xué)生有了對(duì)有理數(shù)乘方的感性認(rèn)識(shí),知道生活中有他們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué),并產(chǎn)生相對(duì)積極的影響。