在概率論教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

鄒海雷 王成 中國(guó)計(jì)量學(xué)院 310018

在概率論教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想

鄒海雷 王成 中國(guó)計(jì)量學(xué)院 310018

本文就如何在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想的問題進(jìn)行了深入的探討,主張精選數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容,注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的傳授。

概率統(tǒng)計(jì);數(shù)學(xué)建模;教學(xué)改革

1、引言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律的一門數(shù)學(xué)學(xué)科,其思想和方法廣泛應(yīng)用于社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐、科技實(shí)驗(yàn)及金融經(jīng)濟(jì)、化學(xué)工程、物理等等各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中。由于科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和知識(shí)更新的速度加快,大學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)思想觀念和方法必須加以改革以適應(yīng)新的形勢(shì).如何增強(qiáng)學(xué)生的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和應(yīng)用能力?如何將先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)、新概念和新方法不斷地引入到課堂教學(xué)中去?這是值得教育工作者認(rèn)真思索的問題.概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)與方法是現(xiàn)代工程、信息、社會(huì)和經(jīng)濟(jì)研究運(yùn)用的基本方法,是一門核心的數(shù)學(xué)學(xué)科.最近,“概率統(tǒng)計(jì)”已經(jīng)在許多學(xué)科,如金融、地球科學(xué)、生命科學(xué)、人工智能和通訊網(wǎng)絡(luò)中成為不可缺少的知識(shí)和方法.從最近幾年的全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題目中,我們看到,競(jìng)賽題目涉及的概率和統(tǒng)計(jì)知識(shí)較多,如2000～2004年期間,有DNA序列的分類、乳腺癌診斷問題、彩票問題、電力市場(chǎng)的輸電阻塞管理和2008年北京奧運(yùn)會(huì)場(chǎng)館的人流分布等問題都不同程度地涉及概率或統(tǒng)計(jì)知識(shí)。由此可見,概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)與人們的日常生活乃至科學(xué)技術(shù)緊密相關(guān).通俗的說,數(shù)學(xué)建模是通過調(diào)查,收集數(shù)據(jù)、資料,觀察和研究其固有的特征和內(nèi)在的規(guī)律,抓住問題的主要矛盾,提出假設(shè),經(jīng)過抽象簡(jiǎn)化,建立反映實(shí)際問題的數(shù)量的關(guān)系,即利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題。因而, 在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中融入數(shù)學(xué)建模思想的研究與實(shí)踐,將有助于學(xué)生學(xué)習(xí)其理論知識(shí),培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和方法解決實(shí)際問題的能力和意識(shí),具有重要的理論和現(xiàn)實(shí)意義。

2、教學(xué)上吸收有趣的應(yīng)用題目,體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的思想

教師的中心任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生從傳統(tǒng)的確定性思維模式進(jìn)入隨機(jī)性思維模式,使學(xué)生掌握處理在工程、經(jīng)濟(jì)管理、人文社科以及科學(xué)研究中出現(xiàn)的隨機(jī)問題的數(shù)學(xué)方法.根據(jù)該課程的特點(diǎn),我們認(rèn)為需要用現(xiàn)代科學(xué)觀點(diǎn)來重新審視、選擇和組織工科“概率統(tǒng)計(jì)”課程的教學(xué)內(nèi)容,引進(jìn)較前沿的科學(xué)技術(shù)、方法和與概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)相關(guān)的應(yīng)用問題,使傳統(tǒng)與現(xiàn)代內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合起來.教學(xué)內(nèi)容中插入一些反映社會(huì)中所關(guān)心的各種實(shí)際問題,如社會(huì)學(xué)中的購(gòu)買彩票的中獎(jiǎng)率問題、估計(jì)一項(xiàng)新產(chǎn)品在未來市場(chǎng)上的暢銷率、工程上的產(chǎn)品質(zhì)量評(píng)價(jià)、大系統(tǒng)可靠性優(yōu)化設(shè)計(jì)、醫(yī)學(xué)中的新舊藥品治療療效的比較或疾病診斷等問題.使學(xué)生對(duì)運(yùn)用“概率統(tǒng)計(jì)”知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型和解決實(shí)際問題具有感性認(rèn)識(shí),對(duì)“概率統(tǒng)計(jì)”知識(shí)產(chǎn)生濃厚興趣,從而變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí),對(duì)學(xué)生們今后從事科學(xué)研究工作是很有幫助的.在“概率統(tǒng)計(jì)”教材中,不打破原有系統(tǒng)知識(shí)的前提下,應(yīng)增加2～3個(gè)來源于科研中的應(yīng)用案例,體現(xiàn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的全過程,即“問題→數(shù)學(xué)模型→軟件求解→結(jié)果分析→修改模型→應(yīng)用”.例如,引入“資源公平分配方案”的綜合案例,這是一個(gè)優(yōu)化決策問題,其中用到了多種概率知識(shí)和方法,有比例分配法、最大熵法、最大概率法、最小偏差法等。引入“某商品的需求情況分析”綜合案例,用到了多種統(tǒng)計(jì)推斷原理.引入“某氣象觀測(cè)站降雨量分析”綜合案例,用到了相關(guān)性分析原理和回歸分析方法.學(xué)生們通過這些案例的學(xué)習(xí),可以親自體驗(yàn)使用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的數(shù)學(xué)建模的全過程,加深“概率統(tǒng)計(jì)”知識(shí)的理解,進(jìn)一步增強(qiáng)他們的應(yīng)用意識(shí)和學(xué)習(xí)興。

3、改革課堂教學(xué)方法,探索新的教學(xué)模式

如何使學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)取得較好的效果?我們認(rèn)為應(yīng)該拋棄“滿堂灌”的教學(xué)方法,采用啟發(fā)式的、歸納類比式的教學(xué)模式,應(yīng)該由淺入深,由直觀到抽象,使學(xué)生真正掌握數(shù)學(xué)概念和方法,并從中獲得學(xué)習(xí)上的樂趣。例如我們?cè)谥v解二項(xiàng)分布時(shí),注意引入由英國(guó)生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家Galton設(shè)計(jì)的釘板模型,并用計(jì)算機(jī)模擬該模型,通過歸納類比,5000次投球小球堆積的頻率圖與二項(xiàng)分布的理論圖形極其相似,既讓學(xué)生了解二項(xiàng)分布的來源,又讓學(xué)生感悟到怎樣用實(shí)際模型去檢驗(yàn)理論模型,同時(shí)使學(xué)生加深對(duì)“頻率近似于概率”這一原理的理解,了解計(jì)算機(jī)模擬方法。又如在講解中心極限定理時(shí),首先向同學(xué)們提出思考問題:“為什么工程上經(jīng)常假設(shè)某個(gè)研究對(duì)象是服從正態(tài)分布的?這一假設(shè)的理論依據(jù)是什么?”,然后介紹該定理,重點(diǎn)是介紹中心極限定理在實(shí)際應(yīng)用中所起的重要作用.除此之外,還利用多媒體的現(xiàn)代教學(xué)手段,進(jìn)行實(shí)驗(yàn)性教學(xué),由計(jì)算機(jī)模擬任何一個(gè)分布在一定的條件下近似于正態(tài)分布.使學(xué)生深刻理解中心極限定理,為數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)的學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ).我們還認(rèn)為,對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的講授不應(yīng)該只局限于知識(shí)的傳播,還應(yīng)注意知識(shí)的擴(kuò)展和延伸,注意培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、嚴(yán)密性和創(chuàng)新性。例如,事件之間的互斥性與獨(dú)立性是兩個(gè)不同的概念,教師要講清楚這一點(diǎn),需要嚴(yán)格證明以舉例說明,以保證知識(shí)點(diǎn)的嚴(yán)密性.總之,課堂上,教師采用啟發(fā)式的教學(xué)法,不僅啟發(fā)學(xué)生積極思維,融會(huì)貫通地掌握知識(shí),還要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲,從而提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力。

4、加強(qiáng)實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)

在學(xué)生的實(shí)踐性環(huán)節(jié)中,為了達(dá)到鞏固知識(shí)點(diǎn)和靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)解決問題的目的,教材中需要設(shè)計(jì)各種用于學(xué)生訓(xùn)練的題目.一般教材的編者往往把注意力較多地集中在教學(xué)內(nèi)容的處理與編寫上,而對(duì)習(xí)題的選取、次序和搭配等注意不夠.常常設(shè)計(jì)的練習(xí)題目過難,要求過高,造成學(xué)生學(xué)習(xí)的困難,影響學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.實(shí)際上,作為數(shù)學(xué)教材,習(xí)題是十分重要的組成部分.我們認(rèn)為,編寫新教材應(yīng)由淺入深、分門別類地編排練習(xí)題,以滿足各個(gè)層次和不同對(duì)象的需要。除常規(guī)概率統(tǒng)計(jì)練習(xí)題目外,應(yīng)該增加一些有趣的、與日常生活中密切相關(guān)的概率統(tǒng)計(jì)題目,并體現(xiàn)綜合性和數(shù)學(xué)建模的思想.同時(shí),布置課外作業(yè)是進(jìn)一步理解、消化和鞏固課堂教學(xué)內(nèi)容的重要環(huán)節(jié)。針對(duì)概率統(tǒng)計(jì)實(shí)用性強(qiáng)的特點(diǎn),有目的地組織學(xué)生參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)。只有把某種思想方法應(yīng)用到實(shí)踐中去,解決幾個(gè)實(shí)際問題,才能達(dá)到理解、深化、鞏固和提高的效果。如,測(cè)量某年級(jí)男、女生的身高,分析存在什么差異;分析下課后飯?zhí)萌藬?shù)擁擠程度,提出解決方案;分析某種蔬菜的銷售量與季節(jié)的關(guān)系,等等。學(xué)生可以自由組隊(duì),通過合作、感知、體驗(yàn)和實(shí)踐的方式完成此類作業(yè)。他們?cè)趨⑴c完成作業(yè)的過程中,培養(yǎng)了不斷學(xué)習(xí)、勇于創(chuàng)新、團(tuán)結(jié)互助的精神。

5 思索

我們認(rèn)為,在概率統(tǒng)計(jì)中融入數(shù)學(xué)建模思想,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力,不能一蹴而就。教學(xué)強(qiáng)調(diào)的是讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)、再構(gòu)建知識(shí)的過程,這個(gè)過程需要一定量的課時(shí)。由于課時(shí)的限制,可能不能充分而有效地開展該教學(xué)。教學(xué)激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性,給學(xué)生一種利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的范例,但學(xué)生要養(yǎng)成應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的習(xí)慣,并具備這種能力,更需要學(xué)生銳意進(jìn)取、持之以恒,只要堅(jiān)持下去,一定會(huì)取得顯著的成果。

[1]王松桂,等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].科學(xué)出版社.2000.

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[3]李大潛.中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模[M].高等教育出版社.2001

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10.3969/j.issn.1001-8972.2010.22.146