光學(xué)偶極阱中銣原子5S1/2及5P3/2態(tài)的AC Stark頻移

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（山西大學(xué)光電研究所，量子光學(xué)與光量子器件國家重點實驗室，山西太原030006）

光學(xué)偶極阱中銣原子5S1/2及5P3/2態(tài)的AC Stark頻移

成永杰，邱 英，何 軍，張?zhí)觳?，王軍?/p>

（山西大學(xué)光電研究所，量子光學(xué)與光量子器件國家重點實驗室，山西太原030006）

基于二能級模型和多能級模型，分析計算了由強(qiáng)聚焦高斯光束形成的光學(xué)偶極阱中87Rb原子5S1/2態(tài)和5P3/2態(tài)的AC Stark頻移?；诙嗄芗壞Ｐ?，針對在852 nm高斯激光束強(qiáng)聚焦所形成的87Rb原子遠(yuǎn)失諧光學(xué)偶極阱中進(jìn)行偏振梯度冷卻的情形，計算了冷卻循環(huán)躍遷（5S1/2F=2-5P3/2F′=3）的頻移量，結(jié)果顯示頻移對molasses冷卻過程產(chǎn)生了重要的影響。同時，計算了5S1/2｜F=2，mF=±2〉態(tài)和5P3/2｜F′=3，mF=±3〉態(tài)的AC Stark頻移隨光學(xué)偶極阱激光波長的變化情況，發(fā)現(xiàn)在紅失諧情況下，對于87Rb原子5S1/2-5P3/2態(tài)躍遷不存在魔數(shù)波長。

87Rb；AC Stark頻移；光學(xué)偶極阱；遠(yuǎn)失諧光學(xué)偶極阱；多能級模型

1 引 言

20世紀(jì)90年代以來，激光束調(diào)諧到低于原子共振躍遷線十幾納米到幾十納米甚至更遠(yuǎn)，可形成遠(yuǎn)失諧光學(xué)偶極阱（FORT）［1～3］，因其可以對激光預(yù)冷卻的原子在實現(xiàn)俘獲的同時仍保持極低的光學(xué)激發(fā)，原子的內(nèi)態(tài)可以保持很長的時間，且可對不同自旋態(tài)的原子進(jìn)行俘獲，所以被廣泛應(yīng)用于冷原子物理實驗中。光學(xué)偶極阱的本質(zhì)是空間存在光強(qiáng)梯度的光場使中性原子產(chǎn)生感生電偶極矩，光場對原子感生電偶極矩的偶極作用導(dǎo)致原子能態(tài)的AC Stark頻移，從而對原子產(chǎn)生吸引或者排斥作用，實現(xiàn)對原子的俘獲。

AC Stark頻移的大小由輻射場的強(qiáng)度以及輻射場與原子躍遷頻率的失諧量決定。如果只是關(guān)心光學(xué)偶極阱深度，只需要計算基態(tài)的AC Stark頻移，無需再關(guān)注激發(fā)態(tài)的AC Stark頻移。然而在量子態(tài)工程和精密測量實驗中［4～6］，往往要求將原子有效地俘獲并準(zhǔn)確地制備到一個內(nèi)部和外部自由度都確定的量子態(tài)。無論是原子冷卻、原子初態(tài)制備還是原子內(nèi)態(tài)操控，都需要光與原子有確定的失諧量或者與原子共振，這就要求確切知道原子基態(tài)和激發(fā)態(tài)在FORT中的AC Stark頻移。1999年Katori等人［5］利用鍶原子的魔數(shù)波長（magic wavelength）實現(xiàn)了鍶原子在光學(xué)偶極力阱中的有效裝載。所謂魔數(shù)波長指的是如果某個波長的FORT光場作用在相應(yīng)的原子躍遷線上時，使得對應(yīng)的基態(tài)和激發(fā)態(tài)產(chǎn)生完全相同的頻移，對應(yīng)的躍遷頻率與在零場時的情形相同，那么該波長就稱為原子的魔數(shù)波長。McKeever等人［6］于2003年在光學(xué)腔中采用935 nm魔數(shù)波長駐波光學(xué)偶極阱實現(xiàn)了對單個銫原子長時間的俘獲。2005年Darquie等人［7］在仔細(xì)計算了銣原子各能態(tài)的AC Stark頻移后，在實驗中實現(xiàn)了基于單原子遠(yuǎn)失諧光學(xué)偶極阱的觸發(fā)式單光子源。由此可見，對原子基態(tài)和激發(fā)態(tài)AC Stark頻移的準(zhǔn)確計算是實現(xiàn)對原子的冷卻以及原子初態(tài)制備和量子態(tài)相干操控的關(guān)鍵。

對AC Stark頻移的計算，很多人都做了重要的工作。Zheng等人［8］于2006年計算了銫原子6S1/2態(tài)和6P3/2態(tài)的AC Stark頻移，并分析了在不同偏振光場下銫原子的魔數(shù)波長。Bindiya Arora等人［9］于2007年全面地分析和計算了堿金屬原子的魔數(shù)波長。

本文分析計算了在線偏振光作用下87Rb原子5S1/2態(tài)和5P3/2態(tài)的AC Stark頻移，并用多能級模型和二能級模型做了計算。結(jié)果表明，基態(tài)5S1/2和激發(fā)態(tài)5P3/2的AC Stark頻移在兩種模型下有很大差異。通過對FORT中87Rb原子基態(tài)和激發(fā)態(tài)的AC Stark頻移的準(zhǔn)確計算，可為后續(xù)在FORT中對所俘獲的87Rb原子進(jìn)行molasses冷卻提供參考，也可為下一步原子初態(tài)制備以及原子的內(nèi)態(tài)相干操控，最終實現(xiàn)單光子源提供有益的參考。

2 理論模型

最簡單的光學(xué)偶極阱可由一束相對于原子紅失諧（負(fù)失諧）的高斯激光束經(jīng)強(qiáng)聚焦而構(gòu)成，可將已經(jīng)過磁光阱預(yù)冷卻的原子俘獲在光強(qiáng)最強(qiáng)處，如圖1（a）所示。在實驗中采用一束直徑為19 mm的852 nm高斯激光束通過特殊設(shè)計的大數(shù)值孔徑的透鏡組，最終將激光束聚焦到腰斑半徑為2.1μm（如圖1（b）所示），構(gòu)建對于87Rb原子的光學(xué)偶極阱。對于經(jīng)單原子磁光阱冷卻并俘獲的單原子［10］，可通過這個系統(tǒng)將其俘獲在腰斑半徑為2.1μm的光學(xué)偶極阱中，實現(xiàn)單原子的空間高度局域化，從而能夠更好地控制單原子的外部和內(nèi)部自由度；且因為俘獲光的頻率遠(yuǎn)失諧于原子的躍遷線，所以抑制了原子的自發(fā)輻射，能保持長的退相干時間［11］。

通常計算AC Stark頻移時，將原子簡化成二能級模型［1］，用經(jīng)典諧振子模型得到偶極勢和散射率的表達(dá)式分別為：

事實上，用二能級模型對原子基態(tài)和激發(fā)態(tài)AC Stark頻移的計算是不準(zhǔn)確的，如實驗中使用的87Rb原子（如圖2所示），其｜1〉態(tài)（5S1/2態(tài)），｜2〉態(tài)（5P3/2態(tài)）和｜3〉態(tài)（7S1/2態(tài)）在對780 nm的｜1〉-｜2〉躍遷和741 nm的｜2〉-｜3〉躍遷均為負(fù)失諧的852 nm俘獲光場作用下的AC Stark頻移。用二能級模型，不考慮｜3〉態(tài)時，｜1〉態(tài)的AC Stark頻移為負(fù)，｜2〉態(tài)的AC Stark頻移為正；不考慮｜1〉態(tài)時，｜2〉態(tài)的AC Stark頻移為負(fù)，｜3〉態(tài)的AC Stark頻移為正。若綜合考慮二者，｜2〉態(tài)的AC Stark頻移可能為正、負(fù)甚至為零，具體的情況需要仔細(xì)進(jìn)行分析計算。

對于堿金屬原子基態(tài)，均存在D1線（n S1/2-n P1/2躍遷）和D2線（n S1/2-n P3/2躍遷），為更精確地計算基態(tài)的AC Stark頻移，Grimm等人［1］提出了修正的二能級模型，考慮了D1線和D2線對俘獲光場的響應(yīng)，具體的表達(dá)式為：

其中p為俘獲光的偏振參數(shù)（p=0表示線偏振，p =-1表示左旋圓偏振，p=＋1表示右旋圓偏振），Δ1，F(xiàn)和Δ2，F(xiàn)分別為俘獲激光相對于D1線和D2線的失諧量，gF為Lande因子。

多能級模型是現(xiàn)在所有模型中最準(zhǔn)確的。根據(jù)二階微擾理論，與頻率為ω/2π、偏振為p、光強(qiáng)為I（r）的擾動場作用的具有能量Ei和塞曼子能級mi的原子態(tài)｜i〉的能量改變?yōu)椋?/p>

其中誘導(dǎo)極化率等于所有具有愛因斯坦系數(shù)Aki、塞曼能級m′和躍遷頻率vik=ωik/2π的從態(tài)｜i〉到態(tài)｜k〉的偶極躍遷的和，對于87Rb原子，考慮到它的核自旋I=3/2，所以誘導(dǎo)極化率表示為［8］：

Aki系數(shù)和躍遷頻率可以由原子數(shù)據(jù)庫中獲得［12］。

3 計算結(jié)果與分析

3.1 上能態(tài)對AC Stark頻移的修正

在輻射場的作用下，原子的能級會產(chǎn)生AC Stark頻移。首先，我們計算了銣原子5S1/2｜F= 2，mF=±2〉基態(tài)在腰斑半徑為2.1μm的852 nm線偏振偶極俘獲光作用下分別在二能級、修正二能級和多能級下AC Stark頻移隨俘獲光功率的變化趨勢。對于5S1/2｜F=2，mF=±2〉態(tài)，多能級模型計算中考慮的躍遷線如圖3（a）所示。計算結(jié)果如圖4（a）所示，曲線1）是二能級模型計算的結(jié)果，曲線2）是修正二能級模型計算的結(jié)果，曲線3）是多能級模型計算的結(jié)果。從圖中可見，二能級模型與多能級存在較大的差別，修正二能級模型與多能級模型差別不大，它們之間的差別隨著偶極俘獲光強(qiáng)的增加而增大。

本文還計算了5P3/2F′=3態(tài)各個Zeeman子能級在腰斑半徑為2.1μm的852 nm線偏振俘獲光作用下分別在二能級和多能級下AC Stark頻移隨俘獲光功率的變化趨勢。對于5P3/2超精細(xì)態(tài)，多能級模型計算中考慮的躍遷線如圖3（b）所示。計算結(jié)果如圖4（b）所示，曲線1）是二能級模型計算的結(jié)果，曲線2）～5）分別對應(yīng)5P3/2F′=3的各個Zeeman子能級采用多能級模型計算的結(jié)果。從圖中可見，結(jié)果中5P3/2｜F′=3，mF=＋1〉和5P3/2｜F′=3，mF=-1〉是相同的，同樣的對5P3/2｜F′=3，mF=±2〉、5P3/2｜F′=3，mF=±3〉也有相同的結(jié)論，對激發(fā)態(tài)利用二能級模型和多能級模型計算出的結(jié)果有很大的偏差，當(dāng)偶極俘獲光功率為15 mW時，二能級和多能級模型相差達(dá)到了20 MHz，它們之間的差別隨著偶極俘獲光強(qiáng)的增加而增大。對激發(fā)態(tài)5P3/2F′=3各個Zeeman子能級，彼此之間的差別很小。

綜上所述，對光頻移的計算有二能級、修正二能級和多能級3種模型，在修正二能級模型下對基態(tài)的計算與多能級模型差別不大，但二能級和多能級模型對激發(fā)態(tài)和激發(fā)態(tài)的計算結(jié)果則有較大的差別。

3.2 852 nm光學(xué)偶極阱中對87Rb原子進(jìn)行molasses冷卻時的失諧量被俘獲在光學(xué)偶極阱中的原子，在近共振激光的作用下以及與背景氣體碰撞時，原子必然會被加熱，嚴(yán)重時可能逃脫光學(xué)偶極阱的束縛。這個問題的一個可能的解決方案就是對光學(xué)偶極阱中俘獲的冷原子進(jìn)行molasses冷卻，以期降低光學(xué)偶極阱中俘獲的冷原子的溫度［7］。這種方法對在基于單原子光學(xué)操控的單光子源以及基于一維光學(xué)晶格中的原子鏈的量子寄存器等研究都有重要意義［13］。由于存在AC Stark頻移，原子的共振頻率發(fā)生變化。因此，本文計算了功率為15 mW的852 nm線偏振高斯光束聚焦到腰斑半徑為2.1μm的偶極阱中，87Rb原子5S1/2｜F=2，mF=±2〉和5P3/2｜F′=3，mF=±3〉態(tài)的AC Stark頻移。計算中考慮的躍遷線如圖3所示，計算結(jié)果如圖5所示。圖中ωL為molasses冷卻光的頻率，負(fù)失諧于5S1/2｜F=2，mF=±2〉-5P3/2｜F′=3，mF=±3〉冷卻循環(huán)躍遷；左邊為零場時的情形，右邊為存在光學(xué)偶極阱的情形；因為Udip=kBT= hν，所以圖 5中基態(tài)的阱深用溫度表示為1.0 mK，此時偶極力阱對應(yīng)的徑向的捕獲頻率為29.5 kHz，軸向的捕獲頻率為2.7 kHz。由于AC Stark頻移的存在，導(dǎo)致molasses冷卻光對于冷卻循環(huán)躍遷的負(fù)失諧量明顯發(fā)生變化。在優(yōu)化molasses冷卻過程時，需考慮AC Stark頻移。

3.3 光學(xué)偶極阱的激光波長變化時87Rb原子5S1/2態(tài)和5P3/2態(tài)的AC Stark頻移

圖6（a）表示的是當(dāng)功率為15 mW的線偏振高斯光束強(qiáng)聚焦到腰斑半徑為2.1μm，激光波長在500～1 000 nm變化時，87Rb原子5S1/2｜F=2，mF=±2〉態(tài)的AC Stark頻移的計算結(jié)果。圖6（b）表示的是在相同條件下87Rb原子5P3/2｜F′= 3，mF=±3〉態(tài)的AC Stark頻移的計算結(jié)果。計算中考慮的躍遷線如圖3所示。圖中每一個躍遷線處都是一個奇點，對應(yīng)的頻移量是發(fā)散的。因為計算時選取波長為500～1 000 nm，所以圖6（a）中只對應(yīng)5S1/2｜F=2，mF=±2〉態(tài)的兩個發(fā)散點，780.24 nm對應(yīng)5S1/2-5P3/2躍遷，794.98 nm對應(yīng)5S1/2-5P1/2躍遷。因為計算時波長取為500～1 000 nm，且6S1/2、7S1/2、8S1/2、9S1/2與5P3/2｜F′= 3，mF=±3〉態(tài)之間的躍遷為禁戒躍遷，所以圖6（b）中只對應(yīng)5P3/2｜F′=3，mF=±3〉態(tài)的6個發(fā)散點，572.57和572.62 nm分別對應(yīng)5P3/2-7D5/2和5P3/2-7D3/2躍遷（圖中二者靠得很近，幾乎不可分辨），630.01和630.10 nm分別對應(yīng)5P3/2-6D5/2和5P3/2-6D3/2躍遷（圖中二者靠得很近，幾乎不可分辨），775.98和776.16 nm分別對應(yīng)5P3/2-5D5/2和5P3/2-5D3/2躍遷（圖中二者靠得很近，幾乎不可分辨）。圖6中的圓點對應(yīng)852 nm光學(xué)偶極的情況，對基態(tài)和激發(fā)態(tài)，其結(jié)果與圖5中的結(jié)果是相符合的。

4 結(jié) 論

本文中介紹了采用多能級模型計算87Rb原子5S1/2和5P3/2態(tài)的AC Stark頻移的方法和計算結(jié)果，計算結(jié)果表明，多個上能態(tài)的存在對頻移量的影響不可忽略。此外，還計算了在光學(xué)偶極阱中對所俘獲的87Rb原子進(jìn)行molasses冷卻時，由于5S1/2和5P3/2態(tài)的AC Stark頻移所導(dǎo)致的冷卻光失諧的變化量。同時發(fā)現(xiàn)，在紅失諧情況下，對于87Rb原子5S1/2-5P3/2態(tài)躍遷不存在魔數(shù)波長。

對于單光子源、光與原子強(qiáng)相互作用、量子態(tài)工程和精密測量等方面的研究工作，都需要對原子在光學(xué)偶極阱中的AC Stark頻移進(jìn)行精確計算。因此，本文對于深入理解AC Stark頻移和指導(dǎo)下一步基于單原子操控的單光子源的實驗研究工作是很有意義的。

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Calculation of AC Stark shift of 5S1/2and 5P3/2states of Rb atom s in optical dipole trap

CHENG Yong-jie，QIU Ying，HE Jun，ZHANG Tian-cai，WANG Jun-min
（State Key Laboratory of Quantum Optics and Quantum Optics Devices，Institute of Opto-electronics，Shanxi University，Taiyuan 030006，China）

Based on the two-level and multi-levelmodels，the AC Stark shift of the 5S1/2and 5P3/2states of87Rb atoms in an Optical Dipole Trap（ODT）formed by a strongly-focused single Gaussian laser beam is analyzed and calculated.For performance ofmolasses cooling of87Rb atoms in the Far-off-resonance Trap（FORT）by 852 nm Gaussian laser beam，the AC Stark shift of 5S1/2F=2-5P3/2F′=3 cycling transition for cooling is also calculated，results show that the frequency shift has an important impact on themolasses cooling process.Furthermore，the AC Stark shift of87Rb 5S1/2｜F=2，mF=±2〉and 5P3/2｜F′=3，mF=±3〉states versus the wavelength of the ODT laser is analyzed，which shows that there is no magic wavelength for 5S1/2-5P3/2transition of87Rb atoms in the red-off-resonance condition.

87Rb；AC Stark shift；Optical Dipole Trap（ODT）；Far-Off-Resonance Trap（FORT）；multi-level model

O431.2；O562.1

：A

1674-2915（2010）02-0119-07

成永杰（1985—），男，山西高平人，碩士研究生，主要從事冷原子與光場相互作用方面的研究。

E-mail：cyj229＠163.com

2010-01-11；

2010-03-13

國家重大研究計劃資助項目（2006CB921102）；教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計劃資助項目（NCET-07-0524）；國家自然科學(xué)基金資助項目（60978017，10974125，60821004）；高等學(xué)校博士點專項科研經(jīng)費資助項目（20070108003）

王軍民（1967—），男，山西河曲人，博士生導(dǎo)師，主要從事量子光學(xué)、冷原子物理、激光技術(shù)、光物理等方面的研

究和教學(xué)工作。E-mail：wwjjmm＠sxu.edu.cn