大跨斜拉橋在移動(dòng)荷載作用下的振動(dòng)控制

萬(wàn)信華

(中鐵第四勘察設(shè)計(jì)院集團(tuán)有限公司，湖北 武漢 430063)

調(diào)質(zhì)阻尼器(TMD)由于其結(jié)構(gòu)緊湊、價(jià)格經(jīng)濟(jì)、使用方便，已開(kāi)始用于橋梁工程的振動(dòng)控制中。單調(diào)質(zhì)阻尼器(STMD)對(duì)窄帶的激勵(lì)有較好的控制效果，而且其控制效率在阻尼器質(zhì)量和阻尼一定的條件下，對(duì)阻尼器與受控系統(tǒng)之間的頻率比非常敏感[1]。只有在最優(yōu)頻率比附近，控制效率才達(dá)到最優(yōu)，一旦頻率漂移，其控制效率將大大下降，甚至起到相反作用[2]。在橋梁工程中，由于結(jié)構(gòu)、材料等因素的變異特征，其基本頻率均會(huì)在一定程度上產(chǎn)生漂移，無(wú)論是在車(chē)輛荷載或是在風(fēng)荷載作用下，用STMD控制結(jié)構(gòu)的振動(dòng)往往難以達(dá)到理想的效果。

多重調(diào)質(zhì)阻尼器(MTMD)是由多個(gè)具有不同頻率、不同質(zhì)量或不同阻尼的調(diào)質(zhì)阻尼器構(gòu)成的動(dòng)力吸振器群，被廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的被動(dòng)控制中。本文以一座大跨斜拉橋?yàn)槔?，研究多重調(diào)質(zhì)阻尼器(MTMD)對(duì)結(jié)構(gòu)在汽車(chē)荷載作用下的振動(dòng)控制。在結(jié)構(gòu)動(dòng)力模態(tài)分析的基礎(chǔ)上，研究結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制振型及其對(duì)應(yīng)的固有振動(dòng)頻率，建立包含結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制振型及MTMD系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，以結(jié)構(gòu)跨中位移動(dòng)撓度為控制目標(biāo)對(duì)MTMD參數(shù)進(jìn)行分析和優(yōu)化，然后按常規(guī)有限元方法對(duì)車(chē)-橋-MTMD系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析，驗(yàn)證MTMD控制結(jié)構(gòu)豎向振動(dòng)的有效性。

1 振動(dòng)控制振型幅頻響應(yīng)方程

假設(shè)在某斜拉橋結(jié)構(gòu)跨中區(qū)域安裝n個(gè)TMD(圖1)，MTMD的頻率以結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制振型頻率為中心按一定間隔等間距分布，n為奇數(shù)。第i(i=1，2，…,n)個(gè)TMD的質(zhì)量為mi，剛度和阻尼常數(shù)分別為ki、ci，與主體結(jié)構(gòu)的豎向相對(duì)位移為vi，絕對(duì)位移為zi。則第i個(gè)TMD的運(yùn)動(dòng)方程：

圖1 具有MTMD的斜拉橋平面模型(標(biāo)注單位：m)

(1)

斜拉橋結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程：

(2)

式中，[MC]、[CC]、[KC]分別為主體結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；{x}為主體結(jié)構(gòu)的位移列向量；{F1(t)}為汽車(chē)荷載對(duì)主體結(jié)構(gòu)的作用，由于汽車(chē)作用與隨機(jī)的橋面不平順有關(guān)，因此將{F1(t)}看成一個(gè)隨機(jī)荷載；{F2(t)}為MTMD對(duì)主體結(jié)構(gòu)的作用，只有在布置TMD的節(jié)點(diǎn)沿豎向自由度方向有非零值。

(3)

設(shè)斜拉橋結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制振型列向量{Φ}={φ1φ2…φm}T，其中下標(biāo)m為主體結(jié)構(gòu)的總自由度數(shù)。另有振型子向量{φ}?{Φ}，{φ}={φj1φj2…φjn}T，它的每個(gè)元素表示n個(gè)TMD位置處的振型幅值。

由于控制振型的貢獻(xiàn)相對(duì)占優(yōu)，于是可近似認(rèn)為

{x}={Φ}q

(4)

式中，q為結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制振型坐標(biāo)。設(shè)xji表示主體結(jié)構(gòu)第i個(gè)TMD位置處的豎向位移，則有vi=zi-xji，xji=φjiq，得

vi=zi-φjiq

(5)

將式(4)代入式(2)，并等式兩邊左乘{(lán)Φ}T，有

(6)

式中，M、C、K分別為主體結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制振型的廣義質(zhì)量、廣義阻尼和廣義剛度，且M={Φ}T[MC]{Φ}、C={Φ}T[CC]{Φ}、K={Φ}T[KC]{Φ}。

將式(5)代入式(3)，并將{F2(t)}表達(dá)式代入式(6)，得到

(7)

將式(5)代入式(1)，有

(8)

聯(lián)立方程式(7)和式(8)，得到結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制振型和n個(gè)TMD構(gòu)成新系統(tǒng)的動(dòng)力平衡方程為：

(9)

式中，

{Y(t)}={qz1z2…zn}T

(10)

{P(t)}={ΦTF1(t) 0 0 … 0}T

(11)

(12)

[CS]=

(13)

[KS]=

(14)

為了求得頻率響應(yīng)方程，令{F1(t)}={Fm}e-iωt，其中{Fm}為各點(diǎn)激勵(lì)幅值組成的列向量，根據(jù)線性定常系統(tǒng)的保頻性，有

{Y(t)}={y(ω)}e-iωt

(15)

{y(ω)}=([KS]-ω2[MS]-iω[CS])-1{ΦTFm0 … 0}T

(16)

由于[MS]、[CS]、[KS]僅在第一行、第一列和對(duì)角線上有非零元素，結(jié)構(gòu)控制振型的廣義坐標(biāo)幅頻響應(yīng)q(ω)為{y(ω)}的第一元素。先對(duì)矩陣求逆，而后可得q(ω)

q(ω)=

(17)

不失一般性，假定在隨機(jī)不平順橋面條件下，汽車(chē)荷載對(duì)橋梁的激勵(lì)為功率譜密度函數(shù)為S0的白噪聲，根據(jù)方差的定義，結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制振型主坐標(biāo)q的方差[3]

(18)

顯然，只有|q(ω)|小，σq才能取得小值，因此將|q(ω)|min作為MTMD參數(shù)優(yōu)化的條件。

2 大橋動(dòng)力模態(tài)分析

由前述論證可知，用MTMD控制結(jié)構(gòu)的振動(dòng)，必須針對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的某一具體振型，對(duì)于結(jié)構(gòu)跨中動(dòng)撓度，該振型要在所有振型貢獻(xiàn)中占優(yōu)，為此，必須先對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力模態(tài)分析。下面以湖北省境內(nèi)某大跨斜拉橋?yàn)槔?，以結(jié)構(gòu)跨中動(dòng)撓度為控制目標(biāo)，闡述結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制振型坐標(biāo)幅值|q(g)|與各自變量的關(guān)系，主橋橋型布置如圖2，有限元分析模型如圖3。

圖2 橋型布置

圖3 主橋有限元?jiǎng)恿Ψ治瞿Ｐ?/p>

主要材料和力學(xué)性能如表1，有限元模型沒(méi)有考慮橋梁縱坡的影響，主梁、主塔采用6自由度梁?jiǎn)卧?，斜拉索采?自由度桿元，使用公式修正彈性模量考慮拉索垂度的非線性效應(yīng)。全橋共有217個(gè)節(jié)點(diǎn)，116個(gè)桿元，214個(gè)梁元。對(duì)主橋結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力特性分析，得到各階頻率和相應(yīng)振型，部分低階頻率和振型描述如表2。

表1 結(jié)構(gòu)材料和力學(xué)性能 MPa

表2 成橋狀態(tài)主橋結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)

由振型分析可知，斜拉橋跨中豎向振動(dòng)主要是一階對(duì)稱(chēng)彎曲振型的貢獻(xiàn)(圖4)。

圖4 主橋一階對(duì)稱(chēng)彎曲振型，頻率0.093

3 MTMD參數(shù)分析與設(shè)計(jì)

MTMD的頻率以結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制振型的頻率為中心等間距分布，為了便于加工和制作，每個(gè)TMD采用相同的質(zhì)量和阻尼比，剛度和阻尼常數(shù)隨頻率發(fā)生變化。第i個(gè)TMD的參數(shù)可表示為

ci=2miωiξi(i=1,2,…,n)

(19)

設(shè)有變量g定義為無(wú)量綱的頻率比，g=ω/ωc，其力學(xué)意義是汽車(chē)激勵(lì)頻率與結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制振型頻率之比。

將上述各參數(shù)代入式(17)，并經(jīng)整理得

(20)

其中

Z(g)=

(21)

由式(20)和式(21)可知，結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制振型坐標(biāo)幅值|q(g)|是一個(gè)多自變量的函數(shù)，它與外荷載的激勵(lì)頻率與結(jié)構(gòu)振動(dòng)受控振型的頻率比g、MTMD的個(gè)數(shù)n、阻尼比ξi、質(zhì)量比ui以及反映MTMD頻率間隔的量β等參數(shù)有關(guān)。

下面針對(duì)主橋結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)彎曲振型，研究MTMD各參數(shù)對(duì)振型坐標(biāo)幅值的影響。

3.1 平均阻尼比ξT的影響

平均阻尼比ξT定義為MTMD的中心頻率對(duì)應(yīng)的阻尼比，在本題目中，實(shí)際上為各TMD的阻尼比ξi，因?yàn)榧僭O(shè)各TMD的阻尼比相同。

圖5中各條曲線無(wú)一例外反映了幅值響應(yīng)隨MTMD阻尼比增大而增大的趨勢(shì)，先是呈直線上升，而后過(guò)度進(jìn)入平緩上升階段。這說(shuō)明MTMD阻尼的存在，抑制了MTMD自身的振動(dòng)，從而削弱了對(duì)主體結(jié)構(gòu)的控制作用，所以各TMD阻尼愈小控制作用愈明顯。設(shè)計(jì)和制作TMD時(shí)，由于對(duì)空間和作動(dòng)位移的限制，TMD要有一定的阻尼，但阻尼比應(yīng)在5%以內(nèi)。圖5同時(shí)反應(yīng)了幅值響應(yīng)隨TMD數(shù)量增多而減小的趨勢(shì)，但趨勢(shì)是減弱的。

圖5 ξT與q幅值關(guān)系曲線

圖6 頻率間距與q幅值關(guān)系曲線

3.2 MTMD頻率間距的影響

從圖6可以看出，優(yōu)化頻率間距在0.055～0.065附近，超出此范圍幅值響應(yīng)均會(huì)增大，同時(shí)還反映了幅值響應(yīng)隨阻尼比減小而減小的趨勢(shì)。

3.3 MTMD廣義質(zhì)量比ui的影響

圖7表明，當(dāng)各TMD質(zhì)量比在1%以內(nèi)變化時(shí)，幅值響應(yīng)急劇減小，超出此范圍仍有減小的趨勢(shì)，但十分平緩。從理論上說(shuō)，控制結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，TMD的質(zhì)量做得愈大愈好，但同時(shí)增加了主體結(jié)構(gòu)的靜力負(fù)荷，因此理想的TMD廣義質(zhì)量比應(yīng)在1%～2%之間。

圖7 ui與q幅值關(guān)系曲線

3.4 MTMD數(shù)量n的影響

圖8反映的是當(dāng)TMD廣義質(zhì)量比ui=0.015時(shí)，各種數(shù)量的MTMD以及無(wú)TMD情況下結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制振型坐標(biāo)q的幅頻響應(yīng)。研究表明，振型坐標(biāo)峰值隨TMD數(shù)量增多而減小，增多到一定程度后，這種減小的趨勢(shì)已經(jīng)變得很弱，但波峰之間的頻率差變得更大，這就意味著MTMD控制結(jié)構(gòu)的頻帶變得更寬，表明了MTMD對(duì)各種激勵(lì)頻率較強(qiáng)的適應(yīng)能力。

圖8 MTMD數(shù)量n對(duì)q幅頻響應(yīng)的影響

3.5 MTMD布置間距的影響

圖9是5個(gè)TMD當(dāng)以不同間距布置在結(jié)構(gòu)跨中區(qū)域時(shí)，結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制振型坐標(biāo)q的幅頻響應(yīng)。結(jié)果表明，MTMD布置得越緊湊，MTMD控制結(jié)構(gòu)的能力越強(qiáng)。

圖9 MTMD布置間距對(duì)q幅頻響應(yīng)的影響

通過(guò)對(duì)主橋結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制振型坐標(biāo)的頻域分析，不難確定MTMD控制系統(tǒng)的參數(shù)，經(jīng)綜合考慮：選定TMD的數(shù)量為13，集中對(duì)稱(chēng)布置在結(jié)構(gòu)跨中的一個(gè)區(qū)域(圖1)，MTMD中心頻率為0.584 rad/s，頻率間距為0.065 rad/s，每個(gè)TMD廣義質(zhì)量比為1%，阻尼比0.03，每側(cè)布置間距8 m，由此可得各TMD阻尼常數(shù)和剛度常數(shù)。

4 車(chē)-橋-MTMD系統(tǒng)動(dòng)力時(shí)程分析

為了驗(yàn)證MTMD的制振效果，再用常規(guī)有限元方法對(duì)MTMD控制下的車(chē)橋耦合系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析(關(guān)于車(chē)橋耦合系統(tǒng)動(dòng)力分析的理論與方法，作者已另文討論)?？紤]橋面的隨機(jī)不平順，計(jì)算了6輛汽車(chē)分別以80 km/h和100 km/h并排過(guò)橋時(shí)，主橋跨中位置的動(dòng)撓度時(shí)程曲線，并和無(wú)MTMD時(shí)的同樣情形相比較。從圖10中可以清晰看出，MTMD明顯地改變了結(jié)構(gòu)的時(shí)程響應(yīng)，使動(dòng)力峰值反應(yīng)分別減小約29%和25%，但在最初的一段時(shí)間內(nèi)，MTMD對(duì)時(shí)程響應(yīng)改變很小，分析其原因，是因?yàn)镸TMD從0初始速度到充分振動(dòng)需要一個(gè)時(shí)間過(guò)程。

(a) 汽車(chē)速度80 km/h

(b) 汽車(chē)速度100 km/h圖10 主橋跨中動(dòng)撓度時(shí)程曲線

5 結(jié) 論

以結(jié)構(gòu)振動(dòng)理論的頻域分析方法為基礎(chǔ)，考慮MTMD在多自由度結(jié)構(gòu)中的位置，推演了具有MTMD的MDOF結(jié)構(gòu)振動(dòng)受控振型廣義坐標(biāo)頻率響應(yīng)方程，在此基礎(chǔ)上，以大橋跨中位移動(dòng)撓度為控制目標(biāo)對(duì)MTMD參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。研究結(jié)果表明：

(1)MTMD參數(shù)優(yōu)化必須針對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制振型，不同的結(jié)構(gòu)或是同一結(jié)構(gòu)的不同振型，MTMD的優(yōu)化參數(shù)會(huì)不同。

(2)主橋結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)彎曲振型坐標(biāo)幅值隨TMD個(gè)數(shù)、廣義質(zhì)量比的增加而減??；隨阻尼比減小而增大；理想的頻率間距在0.055～0.065之間；MTMD在結(jié)構(gòu)跨中布置得越緊湊，對(duì)結(jié)構(gòu)的控制效果越好。

(3)時(shí)程分析表明，只要MTMD參數(shù)設(shè)計(jì)恰當(dāng)，它就可以有效減小結(jié)構(gòu)在移動(dòng)荷載作用下的動(dòng)力響應(yīng)。

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