基于灰色GM(1,1)和灰色-馬爾可夫模型的軌道幾何不平順預(yù)測(cè)及應(yīng)用研究

潘海澤,黃遠(yuǎn)春,,汪 磊,劉仍奎,胥耀方

(1.上海工程技術(shù)大學(xué)城市軌道交通學(xué)院,上海 201620； 2.北京交通大學(xué)軌道交通安全與控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100044；3.北京交通大學(xué)交通長(zhǎng)江學(xué)者研究中心,北京 100044)

我國(guó)新建200 km/h的客貨共線(xiàn)鐵路,既有線(xiàn)也提速到200 km/h。速度高、軸重大、運(yùn)行條件復(fù)雜,對(duì)線(xiàn)路的整體平順性提出了更嚴(yán)格的要求[1～3]。軌道質(zhì)量狀態(tài)的評(píng)價(jià)主要依靠軌檢車(chē)的檢測(cè)數(shù)據(jù),其方法有2種:一種是通過(guò)峰值管理來(lái)評(píng)價(jià)線(xiàn)路的狀態(tài)；另一種是均值管理,用軌道不平順統(tǒng)計(jì)特征值,即軌道質(zhì)量指數(shù)(TQI)來(lái)評(píng)價(jià)軌道狀態(tài)[4～6]。歐美及日本等許多國(guó)家的鐵路也都用軌道譜診斷和綜合評(píng)判鐵路軌道的平順性。歐洲高速鐵路采用軌道譜反演曲線(xiàn)的上、下限界譜,對(duì)軌道的平順性進(jìn)行評(píng)判[7～11]。

軌道不平順的評(píng)價(jià)指標(biāo)一般有峰值和區(qū)段內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)差兩種[12～13],但鑒于這2種指標(biāo)無(wú)法反映不平順波長(zhǎng)的影響,因此有學(xué)者又增加了利用功率譜指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)軌道不平順的方法,故描述軌道不平順狀態(tài)一般有3個(gè)指標(biāo)：不平順的最大值、不平順的區(qū)段標(biāo)準(zhǔn)差、不平順的功率譜[14～16]。本文主要研究幾何形位不平順的狀態(tài)影響。在分析國(guó)外軌道幾何不平順預(yù)測(cè)模型的基礎(chǔ)上,結(jié)合國(guó)內(nèi)的實(shí)際情況,對(duì)軌道不平順的區(qū)段標(biāo)準(zhǔn)差提出不同方法建立預(yù)測(cè)模型,并對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行分析比選。

1 灰色預(yù)測(cè)模型的建立及應(yīng)用研究

1.1 灰色預(yù)測(cè)模型GM(1,1)的基本原理

GM(1,1)反映了一個(gè)變量對(duì)時(shí)間的一階微分函數(shù),其相應(yīng)的微分方程為

式中，x(1)為經(jīng)過(guò)一次累加生成的數(shù)列；t為時(shí)間；a,u為待估參數(shù),分別稱(chēng)為發(fā)展灰數(shù)和內(nèi)生控制灰數(shù)[6]。建立一次累加生成數(shù)列。設(shè)原始數(shù)列為

x(0)={x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)},

i=1,2,…,n

按下述方法做一次累加,得到生成數(shù)列(n為樣本空間)

(1)利用最小二乘法求參數(shù)a、u。設(shè)

參數(shù)辨識(shí)a、u

(2)求出GM(1,1)的模型

(3)對(duì)模型精度的檢驗(yàn)。檢驗(yàn)的方法有相對(duì)誤差檢驗(yàn)、殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)。

首先計(jì)算原始數(shù)列x(0)(i)的均方差S0。其定義為

最后根據(jù)預(yù)測(cè)精度等級(jí)劃分表(表1),檢驗(yàn)得出模型的預(yù)測(cè)精度。

表1 預(yù)測(cè)精度等級(jí)劃分

(4)如果檢驗(yàn)合格,則可以用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。即用

作為x(0)(n+1),x(0)(n+2),……的預(yù)測(cè)值。

1.2 基于GM(1,1)模型的TQI預(yù)測(cè)

數(shù)據(jù)選取軌檢車(chē)檢測(cè)數(shù)據(jù)庫(kù)中滬昆線(xiàn)上行的數(shù)據(jù),檢測(cè)時(shí)間分別為2008年4月第1遍、2008年4月第2遍、2008年5月第1遍、2008年5月第2遍、2008年6月第1遍、2008年6月第2遍,預(yù)測(cè)的時(shí)間為2008年7月第1遍,間隔時(shí)間為90 d。長(zhǎng)度上分別選取工務(wù)段、車(chē)間、工區(qū)管轄范圍內(nèi)的線(xiàn)路長(zhǎng)度的平均TQI以及1 km和200 m的TQI數(shù)據(jù),作者利用灰色預(yù)測(cè)原理設(shè)計(jì)并開(kāi)發(fā)了相應(yīng)軟件以便計(jì)算。以下為此軟件的計(jì)算預(yù)測(cè)結(jié)果。

(1)曲靖工務(wù)段(K2 471～K2 532)的TQI預(yù)測(cè)。通過(guò)軟件進(jìn)行預(yù)測(cè),預(yù)測(cè)結(jié)果如圖1所示。

平均相對(duì)誤差為0.004 038,小于0.01,Δ6=0.004 36<0.01,所以預(yù)測(cè)精度為一級(jí)。

預(yù)測(cè)的結(jié)果為11.636 0,實(shí)際檢測(cè)值為12.13。

圖1 曲靖工務(wù)段(K2 471～K2 532)的TQI預(yù)測(cè)

(2)K2 500 TQI預(yù)測(cè)。

圖2 K2 500 TQI預(yù)測(cè)

(3)多里程點(diǎn)(K2 500～K2 520)TQI預(yù)測(cè),單元區(qū)段為200 m。預(yù)測(cè)結(jié)果及預(yù)測(cè)的絕對(duì)誤差見(jiàn)圖3、圖4。

圖3 多里程點(diǎn)(K2 500～K2 520)TQI預(yù)測(cè)

圖4 多里程點(diǎn)(K2 500～K2 520)TQI預(yù)測(cè)絕對(duì)誤差

1.3 灰色預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果分析

將以上分析的一元線(xiàn)性回歸的預(yù)測(cè)結(jié)果和灰色預(yù)測(cè)模型的結(jié)果歸納如表2所示。

由表2的統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),灰色預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)結(jié)果比一元線(xiàn)性回歸分析模型的精確度有所提高。其主要原因是，灰色預(yù)測(cè)的累積運(yùn)算有效減少的數(shù)據(jù)隨機(jī)波動(dòng)性的影響。與一元線(xiàn)性回歸相比,灰色預(yù)測(cè)能在各種里程范圍內(nèi)都取得較好的預(yù)測(cè)結(jié)果。但是不論是一元線(xiàn)性回歸還是灰色預(yù)測(cè),對(duì)短區(qū)段的TQI預(yù)測(cè)偏差較大。

表2 TQI預(yù)測(cè)結(jié)果匯總

2 灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型

灰色預(yù)測(cè)的優(yōu)勢(shì)在于短期預(yù)測(cè),缺點(diǎn)在于對(duì)長(zhǎng)期預(yù)測(cè)和波動(dòng)較大數(shù)據(jù)序列的擬合較差。而馬爾可夫預(yù)測(cè)的對(duì)象是一個(gè)隨機(jī)變化的動(dòng)態(tài)系統(tǒng),對(duì)于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)和隨機(jī)波動(dòng)較大的數(shù)據(jù)序列的預(yù)測(cè)效果較好,但是,馬爾可夫預(yù)測(cè)對(duì)象要求具有平移過(guò)程。將灰色預(yù)測(cè)與馬爾可夫預(yù)測(cè)兩者結(jié)合起來(lái),形成灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型,不僅能揭示數(shù)據(jù)序列的發(fā)展變化總趨勢(shì),又能預(yù)測(cè)狀態(tài)規(guī)律。用馬爾可夫預(yù)測(cè)方法對(duì)于解決無(wú)后效性的預(yù)測(cè)有獨(dú)到之處,兩者結(jié)合不僅避免考慮其他多種影響因素,還可使預(yù)測(cè)具有較強(qiáng)的科學(xué)性和實(shí)用性。

2.1 灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型原理

應(yīng)用灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的基本思路是[17]：

(2)狀態(tài)劃分：以γ′(k)曲線(xiàn)為基準(zhǔn),劃分成與γ′(k)曲線(xiàn)平行的若干條形區(qū)域,每個(gè)條形區(qū)域構(gòu)成一個(gè)狀態(tài),任意狀態(tài)區(qū)間Qi表示為Qi=[Q1i,Q2i],(i=0,1,2,…,T)。式中：Q1i=γ′(k)+Ai,Q2i=γ′(k)+Bi,Ai,Bi可根據(jù)具體情況自行確定,顯然狀態(tài)Qi具有時(shí)態(tài)性。

(3)計(jì)算轉(zhuǎn)移概率矩陣：公式為

Pij(m)=Mij(m)/mi(i,j=1,2,3…,T)(6)

式中，Pij(m)為由狀態(tài)Qi經(jīng)過(guò)m步轉(zhuǎn)移到Qj的概率；T為劃分狀態(tài)數(shù)組；Mi為原始數(shù)據(jù)按一定概率落入狀態(tài)Qi的樣本數(shù)；Mij(m)為由狀態(tài)Qi經(jīng)m步轉(zhuǎn)移到Qj的原始數(shù)據(jù)樣本數(shù)。

當(dāng)狀態(tài)劃分不太合適,以至于某一狀態(tài)中無(wú)原始數(shù)據(jù)落入時(shí),則可令Pij(m)=Pji(m)=0。由此,可求出狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣p(m)來(lái)預(yù)測(cè)未來(lái)狀態(tài)轉(zhuǎn)向

(7)

(4)確定預(yù)測(cè)值：當(dāng)Qd確定后,也就確定了預(yù)測(cè)值的變動(dòng)區(qū)間[Q1d,Q2d]，則有

(8)

(5)模型精度檢驗(yàn)：檢驗(yàn)公式為

ε(k)=q(0)(k)/x(0)(k)

式中，q(0)(k)為殘差；ε(k)為相對(duì)誤差。

2.2 模型計(jì)算及分析

如上文所述灰色-馬爾可夫適用于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)和隨機(jī)性較大的預(yù)測(cè),所以本節(jié)將此灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型分別應(yīng)用于較小區(qū)間范圍(1 km,隨機(jī)性較大),較短時(shí)間(15 d)和較長(zhǎng)時(shí)間范圍(45 d)的TQI預(yù)測(cè)。

(1)較短時(shí)間范圍的TQI預(yù)測(cè)

如上文所述灰色-馬爾可夫適用于長(zhǎng)期預(yù)測(cè)和隨機(jī)性較大的預(yù)測(cè),所以本論文將此模型應(yīng)用于小區(qū)間的預(yù)測(cè)(1 km和200 m的單元區(qū)段,隨機(jī)性較大)。下面以1 km區(qū)段為例來(lái)描述模型的應(yīng)用。

步驟 1：建立灰色 GM(1,1)模型。

由本文2.1節(jié)直接獲得灰色GM(1,1)預(yù)測(cè)公式

(9)

式中a=-0.001 791 78,u/a=10.233 632 17

γ′=(10.16,10.261 026,10.279 428,10.277 863,10.316 331,10.334 833,10.353 367)。預(yù)測(cè)結(jié)果如圖5所示。

圖5 K2 500 TQI預(yù)測(cè)

步驟 2：狀態(tài)劃分。

圖6 狀態(tài)劃分

步驟3：計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

在狀態(tài)劃分圖中,橫坐標(biāo)表示時(shí)間,縱坐標(biāo)為T(mén)QI值;實(shí)線(xiàn)為趨勢(shì)曲線(xiàn),相鄰兩實(shí)線(xiàn)之間為一狀態(tài),點(diǎn)為原始數(shù)據(jù)。根據(jù)狀態(tài)劃分圖,容易計(jì)算出一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為

則可認(rèn)為2007年6月第2遍檢測(cè)TQI值處于狀態(tài)?1,所以2007年7月第1遍檢測(cè)TQI預(yù)測(cè)值為

2007年7月下半月TQI預(yù)測(cè)值與實(shí)際值比較見(jiàn)表3。

表3 TQI對(duì)照(短時(shí)間)

(2)較長(zhǎng)時(shí)間范圍的TQI預(yù)測(cè)

數(shù)據(jù)的選取和預(yù)測(cè)的步驟都同上,將灰色-馬爾可夫模型與一元線(xiàn)性回歸分析模型與灰色預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)照見(jiàn)表4。

表4 TQI對(duì)照

(3)結(jié)果分析

由以上預(yù)測(cè)分析可見(jiàn),當(dāng)原始數(shù)據(jù)存在隨機(jī)波動(dòng)性時(shí)(如本研究實(shí)例),應(yīng)用灰色-馬爾可夫組合預(yù)測(cè)方法進(jìn)行預(yù)測(cè),比直接應(yīng)用灰色GM(1,1)模型預(yù)測(cè)更能反映TQI值的變化,短期預(yù)測(cè)精確度達(dá)到95.46%,提高了0.78%。長(zhǎng)期預(yù)測(cè)達(dá)到了95.93%,比灰色預(yù)測(cè)提高了2.49%。因此,利用灰色-馬爾可夫組合預(yù)測(cè)方法,分析和預(yù)測(cè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)信息,不僅可以避免自然環(huán)境、人的主觀(guān)因素等影響,還可以提高預(yù)測(cè)精確度,具有較強(qiáng)的科學(xué)性和實(shí)用性。

3 結(jié) 論

軌道結(jié)構(gòu)的變形是無(wú)法避免的,其影響因素很多,目前,國(guó)內(nèi)尚缺乏一個(gè)能全面反映軌道不平順發(fā)展的預(yù)測(cè)公式。本文基于昆明鐵路局的實(shí)際數(shù)據(jù),提出了灰色預(yù)測(cè)模型和灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型。通過(guò)將兩種模型預(yù)測(cè)結(jié)果與一元線(xiàn)形回歸的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比分析,得出下列結(jié)論。

(1)TQI的灰色預(yù)測(cè)模型,不僅適用于較長(zhǎng)區(qū)段的TQI預(yù)測(cè),對(duì)于更長(zhǎng)區(qū)段的TQI預(yù)測(cè)也有比較好的效果,所以適用范圍更為廣泛,但是模型的計(jì)算過(guò)程相對(duì)復(fù)雜。

(2)灰色-馬爾可夫預(yù)測(cè)模型在灰色模型的基礎(chǔ)上,利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)一步降低由不平順變化的隨機(jī)性帶來(lái)的影響,不僅能夠預(yù)測(cè)隨機(jī)性較強(qiáng)的TQI數(shù)據(jù),也能應(yīng)用于較長(zhǎng)時(shí)間范圍內(nèi)的預(yù)測(cè)。但由于要建立復(fù)雜的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和需要大量的檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)建立狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,所以需要進(jìn)一步的收集歷史檢測(cè)數(shù)據(jù)才能更好的進(jìn)行軌道不平順的預(yù)測(cè)。

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