高 歆
(中國地質(zhì)大學(北京)地球科學與資源學院, 北京 100083)
利用多重分形理論建模構(gòu)成了過去數(shù)十年來客觀自然現(xiàn)象比較流行的一種尺度分析手段,廣泛的被應(yīng)用在包括地學、湍流和因特網(wǎng)等自然科學領(lǐng)域中。為了有效的指導(dǎo)地球化學勘探和礦產(chǎn)資源評價,Mandelbrot和Cheng[1-2]提出了多種多重分形模型來描述地球化學數(shù)據(jù)的空間尺度結(jié)構(gòu),這些新的模型不僅考慮地殼中礦石元素的分布幾何形狀,而且將傳統(tǒng)的地質(zhì)統(tǒng)計學納入到了計算分維譜的框架之下,其中尤其是數(shù)據(jù)域的奇異性分析,即計算空間中每點的奇異值,一種高通濾波方式,可以有效的從由各種地質(zhì)過程生成的混合模式和特征中分解背景值和異常值。
對多重分形譜的估計是多重分形分析的重要任務(wù)。針對多重分形譜建模,有兩種最常用的建模方法,其中一種是基于分維譜f(α),另外一種是基于余維數(shù)c(γ)。兩種模型之間的內(nèi)在聯(lián)系現(xiàn)已得到證明[3]。多重分形理論已廣泛用于各種學科領(lǐng)域,并因此產(chǎn)生了各種各樣的計算多重分形譜函數(shù)的方法,如矩方法[4]、直方圖法、小波方法[5],以及二次維矩法[6]等,其中應(yīng)用最廣泛的是將空間分成許多格子的矩統(tǒng)計方法。另外,多重分形模型將服從正態(tài)或者對數(shù)正態(tài)分布的微量元素的背景值與服從分形分布(冪律分布)的高低異常值統(tǒng)一到多重分形譜中,多重分形分析體現(xiàn)了統(tǒng)計手段上的進步,目前地學數(shù)據(jù)處理中,最常用到的是基于盒子的多重分析方法。Cheng等[7]通過頻率-濃度、數(shù)量-濃度、濃度-濃度、濃度-周長、S-A等分形模型及矩分析等多重分形方法,將地球化學異常從背景中分離出來;郭科等[8]運用多重分形模型,通過研究Pb、Zn、Sb、Ag、Cu共五種元素的廣義分形維數(shù)Dq,認為這些元素在空間上的分布服從多重分形分布特征,同時指出多重分形方法相比于傳統(tǒng)的化探方法來說在判斷元素的共生組合方面具有一定的優(yōu)越性。Zheng等[9]運用周長-面積等分形學研究方法研究了中國3個金礦床中黃鐵礦、雄黃等礦物表面As、S、Fe、Si等元素在成礦過程中的遷移和轉(zhuǎn)換規(guī)律。
自從Parish和Frisch[10]提出用湍流域中的速度增量來刻畫尺度函數(shù):Sp(l)=<(δfl)p>~lξp,δfl(x)=f(x+l)-f(x)是尺度域中的增量。不幸的是,Muzy[11]發(fā)現(xiàn)了該種方法只能刻畫信號中比較強的奇異性,對于一些弱的奇異性和譜值左半部分顯得無能為力。Mallat[12]提出了利用小波極大模值捕捉信號的奇異性以來,Arneodo等人提出了WTMM代替直接的速度增量來計算尺度函數(shù),從而避免了上述缺點。然而,WTMM需要連續(xù)小波變換,以及利用不同的半徑在不同的尺度上進行搜索鄰域中的模極大值,復(fù)雜的計算過程,高昂的計算量都使的這種方法變的不很實用。為了避免上述所述WTMM涉及到的繁瑣的工作量,法國數(shù)據(jù)學Jaffard[13]等人提出了WLs的計算方法,不僅能夠描述譜值的整個區(qū)域,還避免了連續(xù)小波變換以及尋值等繁瑣步驟。多次研究證明,計算分形譜的方法嚴重依賴方法和數(shù)據(jù)本身,WLs的引入為這種情況提供了一種補充。Dojnow[14]通過基于小波系數(shù)的多重分形模型,考察了含有噪聲信號的多條腦電圖曲線,指出分析信號的相位攜帶了最多的尺度不變性信息;Khalil等[15]利用基于WTMM的多重分形模型考察了間歇染色體結(jié)構(gòu),將染色體版圖從背景中分離出來,提出了一種新的邊界分割方法,闡述了染色體結(jié)構(gòu)、位置和不穩(wěn)定性之間的潛在關(guān)系。
(1)
這里的非整數(shù)αi稱為coarse holder指數(shù)[16]。把在分形上具有相同α值的小盒子數(shù)目記為Nα(ε),它與ε的大小有關(guān),并且可以寫成:
(2)
將上式與N(ε)~ε-D的簡單分形公式對比,可見f(α)的物理意義是表示具有相同α值的子集的分形維數(shù),或者說它描述了ε→0+直方圖N(ε)的變化,f(α)定義為具有相同α值的子集的Hausdorff維數(shù),稱為多重分形譜或奇異性譜。在多重分形譜的眾多計算方法當中,矩方法是最常用的方法之一。為了解f(α)的分布特性,定義分割函數(shù):
(3)
可以獲得質(zhì)量指數(shù)函數(shù)τ(q),τ(q)是關(guān)于q的凸函數(shù)。當q=1時達到最大曲率,該點的曲率可以用于判斷是否具有多重分形性。通過勒讓德變換,可以得到α(q)和f(α)如下的兩個函數(shù):
(4)
三個函數(shù)τ(q)、α(q)和f(α)是相互關(guān)聯(lián)的。
(5)
繼續(xù)設(shè)H0(k)和G0(k)為兩個具有有限沖擊響應(yīng)的濾波器,引入二進區(qū)間以及并集:
λj,k1,k2={[k12j,(k1+1)2j],[k22j,
(6)
(7)
理論上的WLs定義為(圖1)
(8)
圖1 WL的定義示意圖
WLs正是通過其局部奇異性刻畫能力構(gòu)成了了尺度分析模型,如果X(t)在t0點存在奇異性指數(shù)α(t0)≥0,消失矩Nψ≥α(t0),WLs與尺度之間的冪律關(guān)系為:
(9)
通過計算位于尺度2j上的WLs的q階矩的平均值,可以得到結(jié)構(gòu)函數(shù)和質(zhì)量指數(shù)函數(shù)。
(10)
(11)
通過勒讓德變換,奇異值函數(shù)和分維譜函數(shù)定義為:
(12)
同樣,這三個函數(shù)τL(q)、αL(q)和fL(α)是相互聯(lián)系的。
為了對比這兩種方法的分析效果,本文采用De Wijs模擬數(shù)據(jù)[18]驗證包括N=64和N=1028兩種不同尺度數(shù)據(jù),生成算子為1.96、0.84、0.84、0.36。圖2是尺度指數(shù)和多重分形譜的估計值,對于兩種不同數(shù)據(jù)盒子估計法均獲得了比較的擬合,但是在譜值的首末端有點偏差,主要是由于邊緣效應(yīng)造成的。結(jié)果表明,對于小尺度的模擬數(shù)據(jù),圖2A中與理論曲線相比,質(zhì)量指數(shù)曲線在左邊和右邊分別出現(xiàn)了上移和下移的情況,相應(yīng)的譜值左邊和右邊偏離標準的譜域,因為基于WLs的計算中對原小波系數(shù)進行挑選導(dǎo)致的發(fā)散,而基于盒子法的估計比較接近理論值,也顯示了盒子法對于小尺度的測度數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性和準確性。同樣,值得注意的是,對于n=1的消失矩WLs估計,原理上等同于盒子法(盒子法:測度上的求和或者積分,一階消失矩:加權(quán)求和或者積分),譜值的左邊現(xiàn)實了良好的逼近,即模擬數(shù)據(jù)中的小值模擬準確,而對于大值出現(xiàn)了偏差。對于大尺度多重分形分析,盒子估計法和WLs的基本都和理論曲線實現(xiàn)了基本重疊,表明對于大尺度數(shù)據(jù),WLs和盒子估計都可以用來多重分形分析。總之,對于小尺度的逼近,由于分辨率有限,邊緣效應(yīng),以及高階消失矩的過分平滑都會導(dǎo)致估計發(fā)散,而對于大尺度的數(shù)據(jù),兩者都可以作為分析手段,對于消失矩,可以去2、3、4階的均值來近似估計。
本文地球化學數(shù)據(jù)驗證來自云南個舊錫礦水系沉積物元素Sn、Cu和Pb(圖3),研究區(qū)域為29400 km2,,采樣間隔為2km,分辨率為2km×2km,N=76×50,分析小波為Daubechies,消失矩為Nψ=1,2,3,4。如圖4所示,對于Sn元素譜值估計,基于WLs不同的消失矩的計算,差別明顯,顯示了WLs估計得不穩(wěn)定性,而Cu和Pb的估計,在左邊還表示了部分的重疊,正則性方面強于Sn元素。另外,利用經(jīng)典級聯(lián)過程驗證多重分形數(shù)據(jù)的正則性,也可獲得同樣的結(jié)果,本文限于篇幅,另文闡述。通過地球化學元素數(shù)據(jù)的驗證,盒子估計法展現(xiàn)出來了優(yōu)良的穩(wěn)定性和準確性,對于小尺度數(shù)據(jù)WLs估計需慎重。從另外的角度來說,利用基于函數(shù)奇異性的這套框架某種程度上不符合以測度刻畫的地學數(shù)據(jù),或許WLs優(yōu)勢在于震蕩的一維信號。
圖2 De Wijs模擬數(shù)據(jù)的質(zhì)量指數(shù)和分形譜(盒子法: “+”;WL:消失矩N=1,2,3,4,符號:“o”;“×”; “*”; “矩形”)
圖3 云南個舊水系沉積物Sn、Cu和Pb元素IDW插值圖(A-C: 分別為Sn、Cu和Pb元素濃度值)
圖4 地球化學元素數(shù)據(jù)的質(zhì)量指數(shù)和分形譜(盒子法: “+”;WL:消失矩N=1,2,3,4,符號:“o”; “×”; “*”; “矩形”)
對于分辨率有限、大小且不規(guī)則的現(xiàn)實地學數(shù)據(jù),基于WLs的尺度分析,在準確性和穩(wěn)定性方面都弱于盒子法,但是有時候尺度分析并不涉及到其多重分形譜的計算,僅僅利用系數(shù)與尺度之間的冪律關(guān)系,需要找到一個拐點,因此,小波系數(shù)不失為找不同尺度閾值一個好方法。對于小波消失矩的選擇,消失矩過小,捕捉奇異性的強度不夠,過大會導(dǎo)致分析的數(shù)據(jù)濾波過于平滑,從而導(dǎo)致譜值的兩端發(fā)散,因此,一般取消失矩的比較大的加權(quán)平均較合適。另外,基于WLs的估計涉及到小波變換的多分辨率分析,在圖像分割過程中,利用小波刻畫的奇異性進行分割有著內(nèi)在的優(yōu)越性,延伸繼續(xù)刻畫多重分形譜,正如前文引用,是一個有效的方法。
這篇文章主要討論了以積分為主的測度和以累積量為主的尺度分析,以經(jīng)典礦物分割模型de Wijs模型模擬數(shù)據(jù)為例,結(jié)果表明,對于盒子法的尺度分析,不管是小尺度還是大尺度,都表現(xiàn)出了更優(yōu)的結(jié)果,基于WLs的尺度分析對于大尺度的數(shù)據(jù)也表現(xiàn)出了良好的結(jié)果。此外,基于小波系數(shù)的WLs不僅可以為分析數(shù)據(jù)提供多分辨率分析,還可以檢測信號的振蕩器異性等行為??傊环N是基于概率測度下的奇異性,一種基于連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性,分別來源于不同的數(shù)據(jù)應(yīng)用,對于大分辨率的數(shù)據(jù),兩者的刻畫能力相同,而對于小尺度的地學數(shù)據(jù),盒子法的效果更優(yōu)。
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