四維復(fù)歐氏空間單位球面中的一類(lèi)浸入環(huán)面

鄧?yán)?侯中華

（1.大連民族學(xué)院理學(xué)院,遼寧大連 116605; 2.大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,遼寧大連 116023）

四維復(fù)歐氏空間單位球面中的一類(lèi)浸入環(huán)面

鄧?yán)?,侯中華2

（1.大連民族學(xué)院理學(xué)院,遼寧大連 116605; 2.大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,遼寧大連 116023）

所研究的對(duì)象是源于小波分析濾波器構(gòu)造理論中提出的幾何模型,即一類(lèi)四維復(fù)歐氏空間單位球面中的浸入環(huán)面問(wèn)題,特點(diǎn)是其參數(shù)表示中的4個(gè)坐標(biāo)分量函數(shù)均為實(shí)系數(shù)二元多項(xiàng)式。首先根據(jù)環(huán)面的參數(shù)表示得到了多項(xiàng)式系數(shù)所滿(mǎn)足的約束條件方程組;在此基礎(chǔ)上考慮了多項(xiàng)式次數(shù)n=1時(shí)的情形,得出了此時(shí)該環(huán)面不可能為全測(cè)地浸入的結(jié)論;從而以新的研究方法驗(yàn)證了歐氏空間中不存在全測(cè)地環(huán)面子流形這一事實(shí)。

復(fù)歐氏空間;全測(cè)地;浸入;運(yùn)動(dòng)方程

關(guān)于小波分析濾波器構(gòu)造理論,文獻(xiàn)[1]清晰地描述了一類(lèi)二維正交濾波器,包括線(xiàn)性相位的情形,并給出了一些例子。文中還介紹了一種較有名的構(gòu)造方法MRA,它是由一簇滿(mǎn)足某些條件和性質(zhì)的子空間構(gòu)成的序列;在某種情形下,尺度函數(shù)所滿(mǎn)足的關(guān)系式等價(jià)于（把滿(mǎn)足這個(gè)條件的多項(xiàng)式組稱(chēng)為多相系）,即環(huán)面模型。紀(jì)永強(qiáng)[2]認(rèn)為,由于曲面為全測(cè)地子流形的充要條件是它的任意一條測(cè)地線(xiàn)必為其大空間內(nèi)的測(cè)地線(xiàn),而歐氏空間中的測(cè)地線(xiàn)均為直線(xiàn),故歐氏空間中不可能存在球面或環(huán)面子流形。本文在前人研究基礎(chǔ)上結(jié)合環(huán)面模型自身特點(diǎn),從新的研究角度重新驗(yàn)證了這一結(jié)論。首先借助于多項(xiàng)式的表示與坐標(biāo)變換,運(yùn)用微分法和三角函數(shù)系的正交性得出多項(xiàng)式系數(shù)滿(mǎn)足的約束條件方程組;在此基礎(chǔ)上根據(jù)自然標(biāo)架的運(yùn)動(dòng)方程,采用反證法證明了當(dāng)多項(xiàng)式次數(shù)n=1時(shí)該環(huán)面不可能為全測(cè)地浸入的結(jié)論,同時(shí)也為進(jìn)一步探討高次數(shù)多項(xiàng)式及其他復(fù)雜情形下環(huán)面的存在性建立了研究基礎(chǔ)。

1 浸入環(huán)面的參數(shù)表示及性質(zhì)

1.1 浸入環(huán)面的參數(shù)表示

1.2 坐標(biāo)函數(shù)fk（eiξ,eiη）（k=1,2,3,4）的性質(zhì)

2 全測(cè)地浸入環(huán)面不存在的證明

2.1 多項(xiàng)式系數(shù)滿(mǎn)足的約束條件方程組

式（8）是多項(xiàng)式fk的系數(shù)滿(mǎn)足的第一個(gè)約束條件方程組。觀察可知它含2n2個(gè)方程,而變量卻有4（n+1）2個(gè),因此有必要進(jìn)一步增加約束條件。

2.2 n=1時(shí)全測(cè)地浸入環(huán)面S不存在的證明

考慮最簡(jiǎn)單的情形,即當(dāng)n=1時(shí),式（8）化為

對(duì)式（10）中（C）式,令ξ=0,η=0,由兩邊實(shí)部相等可得

3 結(jié) 語(yǔ)

本文研究的環(huán)面模型是一類(lèi)四維復(fù)歐氏空間單位球面中的浸入,其特點(diǎn)是每個(gè)坐標(biāo)函數(shù)均為實(shí)系數(shù)二元多項(xiàng)式。文中使用微分法、活動(dòng)標(biāo)架法及三角函數(shù)系的正交性等數(shù)學(xué)工具得出多項(xiàng)式系數(shù)所滿(mǎn)足的約束條件方程組,并在此基礎(chǔ)上證明了在最簡(jiǎn)單的情形即多項(xiàng)式次數(shù)n=1時(shí),該類(lèi)全測(cè)地浸入環(huán)面不存在的結(jié)論。

[1]SILongpeng.Construction of t wo-dimensional compactly supported orthogonal wavelets filters with linear phase [J].Acta Mathematica Sinica:English Series,2002,18 （4）:719-726.

[2]紀(jì)永強(qiáng).子流形幾何[M].北京:科學(xué)出版社,2004.

[3]陳省身,陳維桓.微分幾何講義[M].北京:北京大學(xué)出版社,2001.

[4]彭家貴,陳卿.微分幾何[M].北京:高等教育出版社,1988.

[5]呂林根,許子道.解析幾何[M].北京:高等教育出版社,2001.

Torus Immersed in the Un it Sphere in the Four-dimensional Complex Euclidean Space DENG L i-ling1,HOU Zhong-hua2

（1.School of Science,Dalian NationalitiesUniversity,Dalian Liaoning 116605,China; 2.School ofMathematical Sciences,Dalian University of Technology,Dalian Liaoning 116023,China）

The subject comes from geometric models proposed by the theory ofwavelet filter construction.In otherwords,it is torus immersed in the unit sphere in the four-dimensional complex Euclidean space,whose four coordinate functions in its parametric expressions are all bivariate polynomialswith real coefficients.First,the constraint equations of those coefficients are obtained based on the parametric expressions.Then the case where the degree of the polynomial n=1 is considered;it is concluded that the torus cannot be totally geodesic,providing a new proof of the fact that it is impossible to find any torus totally geodesic in Euclidean space.

complex Euclidean space;totally geodesic;immersion;equations ofmotion

O186

A

1009-315X（2010）01-0040-04

2009-07-24

鄧?yán)妫?982-）,女,遼寧大連人,助教,主要從事微分幾何研究。

（責(zé)任編輯 鄒永紅）