廣義周期時(shí)變系統(tǒng)的二次穩(wěn)定性分析

呂明珠,劉世勛

(1.遼寧廣播電視大學(xué)裝備技術(shù)學(xué)院,遼寧沈陽(yáng) 110034;

2.中國(guó)產(chǎn)品質(zhì)量認(rèn)證中心(沈陽(yáng))北方實(shí)驗(yàn)室有限公司,遼寧沈陽(yáng) 110141)

廣義周期時(shí)變系統(tǒng)的二次穩(wěn)定性分析

呂明珠1,劉世勛2

(1.遼寧廣播電視大學(xué)裝備技術(shù)學(xué)院,遼寧沈陽(yáng) 110034;

2.中國(guó)產(chǎn)品質(zhì)量認(rèn)證中心(沈陽(yáng))北方實(shí)驗(yàn)室有限公司,遼寧沈陽(yáng) 110141)

研究了廣義周期時(shí)變系統(tǒng)的二次穩(wěn)定性問(wèn)題·通過(guò)建立一個(gè)Riccati方程,給出了系統(tǒng)在輸出反饋下二次穩(wěn)定的充要條件·

廣義周期系統(tǒng);二次穩(wěn)定性;Riccati方程

1 周期系統(tǒng)穩(wěn)定研究概述

穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的一個(gè)重要特征,為此許多學(xué)者研究了系統(tǒng)鎮(zhèn)定的方法·目前對(duì)于穩(wěn)定性研究主要采用的是Lyapunov方法,即由一個(gè)Lyapunov函數(shù)出發(fā),得到一個(gè)Lyapunov方程,將系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為這個(gè)Lyapunov方程的數(shù)值解的存在性問(wèn)題·Lewis第一個(gè)給出了研究廣義定常系統(tǒng)的Lyapunov方程[1],接著Takaba等把這一結(jié)果進(jìn)一步推廣,使其形式更接近于正常系統(tǒng)的Lyapunov方程[2]·近30年來(lái),隨著周期系統(tǒng)在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用,很多學(xué)者開(kāi)始研究周期系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題·Bolzern等建立了正常周期Lyapunov方程,并討論了周期系統(tǒng)的穩(wěn)定性[3]· Bittanti又建立了周期Lyapunov不等式和Riccati方程,并給出了正常周期系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件[4]·隨著研究的不斷深入,針對(duì)廣義周期時(shí)變系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究已成為必然的發(fā)展趨勢(shì)·廣義周期時(shí)變系統(tǒng)是一類(lèi)重要的廣義時(shí)變系統(tǒng),由于它自身具有周期性,因此對(duì)它的研究既廣泛又方便·因此,近幾年來(lái)廣義周期時(shí)變系統(tǒng)取得的成果不斷·蘇曉明采用Lyapunov方法,得到了廣義周期系統(tǒng)在狀態(tài)反饋控制作用下的穩(wěn)定性的判定條件,即二次穩(wěn)定性問(wèn)題[5]·但由于在有些情況下,系統(tǒng)的狀態(tài)難以獲得或得到的代價(jià)太高,所以狀態(tài)反饋具有一定的局限性·

本文利用Lyapunov方法研究系統(tǒng)在輸出反饋控制作用下的二次穩(wěn)定性問(wèn)題·因?yàn)樵谕ǔＧ闆r下系統(tǒng)的輸出是可以直接測(cè)量的,所以可以很方便地用來(lái)構(gòu)造控制器·通過(guò)建立一個(gè)Riccati方程,給出了系統(tǒng)二次穩(wěn)定的判定條件·

2 二次穩(wěn)定性分析

式中,x(t)∈Rn是系統(tǒng)的狀態(tài)變量,u(t)∈Rm是系統(tǒng)的控制輸入,A(t)∈Rn×n,B(t)∈Rn×m, C(t)∈Rr×n是解析的函數(shù)矩陣,rankE=q＜n,且A(t+T)=A(t),B(t+T)=B(t),C(t+ T)=C(t)·

定義1 對(duì)于系統(tǒng)(1),如果存在常數(shù)s,使得det(sE-A(t))≠0(?t),則稱(chēng)系統(tǒng)(1)是一致正則的·

由定義1知,系統(tǒng)(1)的一致正則與Campbell意義下的解析可解性是等價(jià)的·將系統(tǒng)(1)進(jìn)行如下分解:設(shè)

則系統(tǒng)(1)受限等價(jià)于

顯然,系統(tǒng)(1)無(wú)脈沖的充分必要條件為A22(t)是可逆的,此時(shí)

定義2 系統(tǒng)(2)被稱(chēng)為強(qiáng)漸近穩(wěn)定的,如果系統(tǒng)(1)無(wú)脈沖并且是漸近穩(wěn)定的·

由于系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與“廣義狀態(tài)”Ex有關(guān),因此可以定義

引理[5]假設(shè)系統(tǒng)(1)是一致正則的,則系統(tǒng)(1)是強(qiáng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件為L(zhǎng)yapunov方程(4)有正定對(duì)稱(chēng)解V(t),滿足

由引理可以得到系統(tǒng)(1)穩(wěn)定的判定條件·下面進(jìn)一步研究系統(tǒng)二次穩(wěn)定的判定條件·為此,首先給出二次穩(wěn)定性的定義·

定義3 對(duì)于系統(tǒng)(1),如果存在輸出反饋

是強(qiáng)漸近穩(wěn)定的,則稱(chēng)系統(tǒng)(1)是二次穩(wěn)定的·

下面,引入記號(hào)Gi表示線性空間ImCT(t)的正交投影:

式中,C+(t)為矩陣C(t)的Moore-Penrose廣義逆·

接下來(lái),建立Riccati方程·針對(duì)系統(tǒng)(1)及Lyapunov方程(4),可定義如下Riccati方程:

式中,R(t)＞0,W(t)＞0·

利用Riccati方程(5),有如下結(jié)論:

定理 設(shè)系統(tǒng)(1)是一致正則的且無(wú)脈沖,則系統(tǒng)(1)是二次穩(wěn)定的充分必要條件為存在矩陣W(t)＞0,使得Riccati方程(5)有半正定解V(t),滿足

顯然,上式為閉環(huán)系統(tǒng)的Lyapunov方程,由引理知,系統(tǒng)是穩(wěn)定的·

必要性·假設(shè)系統(tǒng)(1)是穩(wěn)定的,即存在輸出反饋矩陣F(t),使得閉環(huán)系統(tǒng)

3 總 結(jié)

本文用一個(gè)新型的Lyapunov方程和Riccati方程處理了廣義周期時(shí)變系統(tǒng)在輸出反饋控制作用下的二次穩(wěn)定性問(wèn)題·這對(duì)于進(jìn)一步解決廣義周期時(shí)變系統(tǒng)的H∞控制問(wèn)題打下了基礎(chǔ)·

[1]Lewis F L.A survey of linear singular systems[J].Circuits, Systems and Singular Processing,1986,5(1):30-36.

[2]TakabaK,Morihira N,KatayamaY T.A generalized Lyapunov theorem for descriptor systems[J].Systems and Control Letters,1995,24(1):49-51.

[3]Bolzern P,Colaneri P.The periodic Lyapunov equation[J]. SIAM Journal on Matrix Analysis and Application,1998(4): 499-512.

[4]Bittanti S.30 years of periodic control-form analysis to design [M]∥Proceedings of the Third Asian Control Conference. Shanghai,2000:1253-1258.

[5]蘇曉明.廣義周期Lyapunov理論及穩(wěn)定性分析[J].東北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003,38(2):141-146.

Quadratic Stabilization forPeriodicallyTime-Varying Descriptor Systems

LüMingzhu1,L IU Shixun2
(1.Department of Automatic Control,Liaoning TV&Radio University,Shenyang 110034,China;2.CQC North Laboratory(Shenyang)Co.,Ltd.,Shenyang 110141,China)

The problem of quadratic stabilization for periodically time-varying descriptor systems is discussed.By establishing a new Riccati equation,a sufficient and necessary condition is derived for systems to be quadratic stabilization under output feedback control.

periodically time-varying descriptor systems;quadratic stabilization;Riccati equation

TP 13

A

1008-9225(2010)06-0010-03

2010-09-06

遼寧省博士啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(20041024);遼寧省教育廳基金資助項(xiàng)目(202062042)·

呂明珠(1980-),女,遼寧沈陽(yáng)人,遼寧廣播電視大學(xué)講師,碩士·

【責(zé)任編輯 劉乃義】