考慮流量誤差的B樣條壓力反褶積模型及其應(yīng)用

胡小虎,鄭世毅,2

(1.中國(guó)石油大學(xué)石油工程學(xué)院,北京 102249;2.Heriot-WattUniversity,Edinburgh EH144AS,UK)

考慮流量誤差的B樣條壓力反褶積模型及其應(yīng)用

胡小虎1,鄭世毅1,2

(1.中國(guó)石油大學(xué)石油工程學(xué)院,北京 102249;2.Heriot-WattUniversity,Edinburgh EH144AS,UK)

在二階B樣條的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出考慮流量測(cè)量誤差的壓力反褶積模型,提出各流動(dòng)期真實(shí)流量的確定方法,并利用模型預(yù)測(cè)真實(shí)流量獲得對(duì)應(yīng)的真實(shí)壓力響應(yīng)。結(jié)果表明,流量誤差為 10%時(shí),利用本模型獲得的壓力響應(yīng)與在沒有流量誤差下的壓力響應(yīng)結(jié)果一致,遠(yuǎn)優(yōu)于 ILK模型的結(jié)果。這說明所提出的壓力反褶積模型可以有效消除流量誤差對(duì)壓力響應(yīng)結(jié)果帶來的影響。

油田開發(fā);油田動(dòng)態(tài);B樣條;壓力反褶積;流量誤差;流量校正

試井技術(shù)中壓力導(dǎo)數(shù)法以及隨后提出的各種油藏模型,極大地豐富和完善了現(xiàn)代試井方法[1-3]。當(dāng)前,隨著永久式井下壓力計(jì) (PDG)技術(shù)在新開發(fā)油田的使用,持續(xù)的井底壓力監(jiān)測(cè)已經(jīng)成為一種趨勢(shì)[4]。利用 PDG數(shù)據(jù),不僅可以降低直接試井帶來的成本增加,而且可以擴(kuò)大油藏探測(cè)范圍,實(shí)現(xiàn)對(duì)油藏的實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)管理。然而,傳統(tǒng)的壓力導(dǎo)數(shù)法只能對(duì)單個(gè)流動(dòng)期進(jìn)行分析,不能充分利用 PDG數(shù)據(jù)獲取不同流動(dòng)期內(nèi)包含的油藏探測(cè)范圍信息,而使用迭加原理或時(shí)間函數(shù)對(duì)多流動(dòng)期數(shù)據(jù)分析也會(huì)存在問題[5]。利用反褶積方法可以避免上述問題,獲得油藏在全部時(shí)間范圍內(nèi)、單位流量下的油藏壓力響應(yīng),是解釋 PDG數(shù)據(jù)的一種重要方法[6-12],但后來von Schroeter[9],Levitan[11-12]等的研究才解決了該方法的穩(wěn)定性問題,并使其得到實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展及工業(yè)應(yīng)用。 ILK等[13-14]提出的基于二階 B樣條的壓力反褶積方法也是一種重要的反褶積方法,但由于采用Laplace變換形式來計(jì)算超定方程的系數(shù)矩陣,因此沒有考慮流量測(cè)量誤差,而流量誤差對(duì)壓力反褶積結(jié)果具有重要影響,Baygün等[15]的模型正是由于沒有考慮流量測(cè)量誤差,導(dǎo)致流量誤差大于 1%時(shí)模型無法使用[9]。為此,筆者在 ILK的二階 B樣條方法的基礎(chǔ)上,建立考慮流量誤差的壓力反褶積模型,并提出各流動(dòng)期真實(shí)流量的確定方法。

1 數(shù)學(xué)模型及求解

1.1 數(shù)學(xué)模型

對(duì)于線性系統(tǒng),變流量對(duì)應(yīng)的井底流壓可以使用 Duhamel積分[16]表示為

根據(jù) I LK等[13-14]的研究,壓力響應(yīng)可以通過在對(duì)數(shù)分布的節(jié)點(diǎn)上采用二階 B樣條的線性組合表示,即

由于需要考慮流量測(cè)量誤差,因此必須將各流動(dòng)期的流量表示成向量形式來求解。當(dāng)時(shí)間劃分的足夠細(xì)的情況下,任何流量變化形式都可以使用階梯形變化的流量來表示,而階梯形變化的流量可以使用 Heaviside函數(shù)來表示,即

由于地面流量數(shù)據(jù)中含有測(cè)量誤差,為了能消除由式 (1)得到的壓力響應(yīng)中流量誤差的影響,需要將各流動(dòng)期的測(cè)試流量用真實(shí)流量來代替。為此,將各流動(dòng)期的真實(shí)流量 qk,mdtrue表示為測(cè)試流量 qk與相應(yīng)校正系數(shù)αk的乘積,則測(cè)量流量可以表示為

對(duì)應(yīng)的真實(shí)流量可以表示為

式 (9)中的系數(shù)矩陣Mijk是個(gè)三維系數(shù)矩陣,可以根據(jù)式 (9)定義在實(shí)空間通過離散方式求解,也可根據(jù) Laplace變換的線性原則,將式 (9)變換到Laplace空間求得相應(yīng)的系數(shù)矩陣后,數(shù)值反演到實(shí)空間得到相應(yīng)的系數(shù)矩陣。本文采用前一種方法求解。

1.2 模型求解

式(10)需要建立相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù),通過最小化來求最優(yōu)解。建立的目標(biāo)函數(shù)如下式所示:

式中,ωi為約束對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值;Ωi為約束對(duì)應(yīng)的模型預(yù)測(cè)值;si為約束對(duì)應(yīng)的誤差閥值,約束類型包括壓力約束、流量約束以及壓力響應(yīng)導(dǎo)數(shù)曲線光滑度約束;N1為壓力約束個(gè)數(shù);N2為流量約束個(gè)數(shù);N3為光滑度約束個(gè)數(shù)。壓力約束選擇的 si為 0.06 kPa,光滑度約束選擇的 si為 0.05。對(duì)于流量約束,在分析中發(fā)現(xiàn),本文模型中的流量誤差閥值 si只影響結(jié)果曲線在雙對(duì)數(shù)診斷圖上的上下平移,因此,本文中統(tǒng)一取流量單位為 1。光滑度約束是在所有的 B樣條節(jié)點(diǎn)及相鄰兩節(jié)點(diǎn)的中點(diǎn)之間來檢查。

在求解出 c和α向量后,壓力響應(yīng)可以通過下式求得:

2 結(jié)果分析

2.1 流量誤差對(duì) I LK模型的影響

為了說明 I LK模型不考慮流量測(cè)量誤差對(duì)壓力反褶積得到的壓力響應(yīng)結(jié)果的影響,本文中首先以圓形封閉均質(zhì)油藏來展開分析。測(cè)試使用的流量 -壓力史數(shù)據(jù)見圖 1。模擬使用的主要參數(shù)如下:井眼內(nèi)半徑為 0.09144 m,井儲(chǔ)系數(shù)為 0.034 m3/MPa,儲(chǔ)層厚度為 9.144 m,孔隙度為 0.1,表皮系數(shù)為 2,黏度為 1 mPa·s,滲透率為 10×10-3μm2,綜合壓縮系數(shù)為 4.35×10-4MPa-1,油藏外半徑 600 m,原始地層壓力為 34.474 MPa。流量誤差為 3%和 5%時(shí)對(duì)壓力響應(yīng)結(jié)果的影響見圖 2。從圖 2可以明顯看出,流量誤差對(duì)早期的壓力響應(yīng)幾乎看不出影響,但對(duì)于從徑向流向擬穩(wěn)態(tài)流過渡,流量誤差對(duì)壓力響應(yīng)結(jié)果影響非常明顯。當(dāng)模擬穩(wěn)態(tài)流動(dòng)對(duì)應(yīng)的測(cè)試數(shù)據(jù)時(shí)間不足時(shí),會(huì)影響到邊界類型的判斷及參數(shù)解釋。

圖 1 模擬使用的流量史及壓力史數(shù)據(jù)Fig.1 S imulated rate and wellbore flowing pressure history

圖 2 流量測(cè)量誤差為 3%和 5%時(shí)對(duì) ILK模型壓力響應(yīng)結(jié)果的影響Fig.2 I mpact of 3%,5%rate errors on deconvolved pressure response by I LK model

從對(duì) I LK模型的分析可以看出,由于沒有考慮流量測(cè)量誤差,導(dǎo)致得到的壓力響應(yīng)導(dǎo)數(shù)曲線中由徑向流向擬穩(wěn)態(tài)流的過渡段及擬穩(wěn)態(tài)流對(duì)應(yīng)直線段的結(jié)果異常,并且無法通過光滑度約束來消除。因此,在壓力反褶積模型中必須考慮流量測(cè)量誤差。

2.2 流量誤差對(duì)本文模型的影響

為了說明本文模型在處理流量誤差方面相對(duì)于I

LK模型的優(yōu)越性,分析了流量測(cè)量誤差對(duì)由本文模型得到的壓力響應(yīng)結(jié)果的影響。對(duì)于本文模型,當(dāng)給定壓力和流量測(cè)試數(shù)據(jù),并由式 (11)求出最優(yōu)的c和α解后,就可以根據(jù)式 (12)和式 (13)來求解壓力響應(yīng)和壓力響應(yīng)導(dǎo)數(shù)。

對(duì)于圓形均質(zhì)封閉油藏,圖3中給出了在5%和10%流量測(cè)量誤差下,由本模型得到的壓力響應(yīng)與沒有流量誤差下的壓力響應(yīng)結(jié)果。在雙對(duì)數(shù)圖上可以看出,含流量誤差的壓力數(shù)據(jù)經(jīng)本文模型反褶積算法處理后,得到的壓力響應(yīng)結(jié)果與沒有流量誤差下的壓力響應(yīng)結(jié)果之間具有相同的油藏模型特征,只是曲線位置發(fā)生了上下平移。

圖 3 流量測(cè)量誤差為 5%和 10%時(shí)本文模型得到的壓力響應(yīng)曲線Fig.3 Comparison analysis of impact of 5%,10%rate errors on deconvolved pressure response by proposed algorithm

2.3 真實(shí)流量的確定方法

在根據(jù)式 (11)求解得到α向量后,由式 (7)就可以計(jì)算得到各流動(dòng)期的模型預(yù)測(cè)流量 qi,mdtrue。分析了預(yù)測(cè)流量與各流動(dòng)期的真實(shí)流量之間的關(guān)系,結(jié)果見圖 4。從圖中可以看出,流量誤差為 5%和10%時(shí),除了壓力恢復(fù)期外,所有模型預(yù)測(cè)的流量與相應(yīng)真實(shí)流量之間的比值分別是完全相同的。將模型預(yù)測(cè)流量 qi,mdtrue與真實(shí)流量 qi,real之間的比例系數(shù)記為

此規(guī)律可以用來解釋由本模型得到的壓力響應(yīng)曲線與真實(shí)壓力響應(yīng)曲線之間的關(guān)系:由于在最優(yōu)化過程中,得到的各流動(dòng)期的模型預(yù)測(cè)流量與相應(yīng)真實(shí)流量之間都只相差一個(gè)共同的比例系數(shù)β,相當(dāng)于將真實(shí)流量放大或縮小相同比例后得到的壓力響應(yīng)。因此,與真實(shí)壓力響應(yīng)相比,本模型得到的壓力響應(yīng)形狀相同但發(fā)生了上下平移。

圖 4 流量誤差為 5%和 10%時(shí)由本模型確定的各流動(dòng)期模型預(yù)測(cè)流量與真實(shí)流量的比值Fig.4 Ratios of predicted rates to true values for 5%,10%rate errors

由于得到的各流動(dòng)期模型預(yù)測(cè)流量與真實(shí)流量之間只相差一個(gè)相同的比例系數(shù),因此在知道累積產(chǎn)量或某個(gè)流動(dòng)期的準(zhǔn)確流量后,就可以通過式(6)確定出系數(shù)β,從而其他流動(dòng)期的真實(shí)流量就可以由式 (14)來確定。由于累積產(chǎn)量數(shù)據(jù)一般現(xiàn)場(chǎng)都可以獲取,并且相對(duì)較為準(zhǔn)確,因此可以根據(jù)累積產(chǎn)量數(shù)據(jù)求解得到系數(shù)β,代入式 (14)后就可求出各流動(dòng)期的真實(shí)產(chǎn)量。

在沒有累積產(chǎn)量等可利用數(shù)據(jù)的情況下,可以根據(jù)最小化原則由下式來確定各流動(dòng)期的真實(shí)流量:

其中,qmeas,i為 i流動(dòng)期的測(cè)量流量,qi,mdtrue為通過式(8)確定的 i流動(dòng)期模型預(yù)測(cè)流量。式 (15)中,為了避免高流量數(shù)據(jù)在目標(biāo)函數(shù)中的權(quán)重遠(yuǎn)高于低流量數(shù)據(jù)的權(quán)重,采用預(yù)測(cè)流量與真實(shí)流量之間的相對(duì)比值來建立目標(biāo)函數(shù)。

針對(duì)圖 3算例中流量測(cè)量誤差 10%的情況,分析了由式(15)確定的各流動(dòng)期的模型預(yù)測(cè)流量與相應(yīng)真實(shí)流量之間的關(guān)系,結(jié)果見表 1。從表中可以看出,在流量測(cè)量誤差為 10%時(shí),模型預(yù)測(cè)的各流動(dòng)期流量的相對(duì)誤差約為 0.1%。由此可以看出,經(jīng)此處理后,可以大大減小流量數(shù)據(jù)中的不確定性。

上述流程可以反復(fù),一般兩次左右后,得到的β系數(shù)接近于 1,此時(shí)的模型預(yù)測(cè)流量與真實(shí)流量幾乎一致。

表 1 由本文模型預(yù)測(cè)的各流動(dòng)期流量誤差Table 1 Error for predicted rates for each following period by proposed algorithm

2.4 真實(shí)壓力響應(yīng)的確定

確定出各流動(dòng)期的真實(shí)流量后,可以使用此真實(shí)流量代替原始的流量測(cè)試數(shù)據(jù),輸入本模型或 ILK模型,得到壓力、流量數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的真實(shí)壓力響應(yīng)。

針對(duì)圓形封閉均質(zhì)油藏,分別比較了流量誤差為 5%及 10%時(shí),經(jīng)本模型處理后得到的油藏壓力響應(yīng)與沒有流量誤差下獲得的真實(shí)壓力響應(yīng),結(jié)果見圖 5。從此對(duì)比圖中可以看出,使用本模型獲得的壓力響應(yīng)與真實(shí)壓力響應(yīng)完全一致。

圖 5 流量誤差為 5%和 10%時(shí)由本文模型獲得的真實(shí)壓力響應(yīng)對(duì)比Fig.5 Comparisons of pressure response deconvolved with true results for 5%,10%rate errors by proposed algorithm

3 結(jié) 論

(1)流量誤差會(huì)影響 ILK模型壓力反褶積得到的壓力響應(yīng)結(jié)果。

(2)利用本文提出的模型,可以綜合利用其他生產(chǎn)數(shù)據(jù)來準(zhǔn)確確定各流動(dòng)期的真實(shí)流量,在流量誤差為 10%時(shí)計(jì)算得到的真實(shí)流量相對(duì)誤差約為0.1%。

(3)利用本文模型對(duì)含流量誤差 5%和 10%的測(cè)試數(shù)據(jù)反褶積處理后,確定出的壓力響應(yīng)與真實(shí)壓力響應(yīng)一致,說明建立在二階 B樣條基礎(chǔ)上的壓力反褶積模型可以有效消除流量誤差對(duì)壓力響應(yīng)結(jié)果帶來的影響。

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A new B-splines pressure deconvolution algorithm considering rate measurement errors and its application

HU Xiao-hu1,ZHENG Shi-yi1,2
(1.College of Petroleum Engineering in China Petroleum University,Beijing102249,China;2.Heriot-W att University,Edinburgh EH144AS,UK)

A new algorithm based onB-splineswasproposed to consider the ratemeasurement error during pressure deconvolution.Severalmethodswere provided to determine the actual rates for each flow period,which can be utilized to determine the actual pressure response in turn.The results show that unit-rate pressure response with 10%rate error agrees wellwith the true results,which ismuch better than that from ILKmodel.The new algorithm can overcome the effect of rate measurement error on the pressure response.

oilfield development;oilfield perfor mance;B-splines;pressure deconvolution;rate measurement error;rate correction

TE 331

A >

10.3969/j.issn.1673-5005.2010.06.015

1673-5005(2010)06-0080-05

2010-02-05

國(guó)家重大專項(xiàng)課題 (20085024-002)2009JY001

胡小虎 (1974-),男 (漢族),安徽池州人,博士研究生,主要從事油氣田開發(fā)方面的研究。

(編輯 修榮榮)