基于極坐標(biāo)測(cè)量的圓度誤差評(píng)定算法

雷賢卿， 李濟(jì)順， 薛玉君， 暢為航

（河南科技大學(xué)，河南 洛陽 471003）

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)、自動(dòng)控制技術(shù)、傳感器技術(shù)、激光技術(shù)等在精密加工領(lǐng)域中廣泛應(yīng)用，精密和超精密加工技術(shù)得到了極大的發(fā)展，與之相適應(yīng)的精密測(cè)量技術(shù)已成為保證產(chǎn)品質(zhì)量的關(guān)鍵技術(shù)之一，致使尋求和設(shè)計(jì)新的幾何量測(cè)量方法及形狀誤差評(píng)定算法成為精密測(cè)量技術(shù)的研究熱點(diǎn)。

圓度誤差是指在垂直于被測(cè)圓柱體軸線截面上的圓輪廓對(duì)其理想圓的變動(dòng)量，是機(jī)械零件精度及裝配質(zhì)量的重要指標(biāo)，在評(píng)定機(jī)械零件產(chǎn)品質(zhì)量中有著重要的作用。圓度誤差評(píng)定算法一直是國(guó)內(nèi)學(xué)者的研究焦點(diǎn)，常采用迭代法、單純形法、遺傳算法等優(yōu)化算法評(píng)定圓度誤差[1-10]，這些優(yōu)化算法在對(duì)圓心和步長(zhǎng)的確定時(shí)存在一定難度，而且算法較復(fù)雜。本文根據(jù)圓度誤差的定義，提出一種基于極坐標(biāo)測(cè)量數(shù)據(jù)的圓度誤差網(wǎng)格搜索算法，該算法可得到最大內(nèi)切圓法、最小外接圓法和最小區(qū)域法的圓度誤差值。

1 算法原理

2 算法步驟

（1） 用最小二乘法計(jì)算出被測(cè)圓輪廓的最 小二乘圓心極坐標(biāo)1( , )O ε α 及最小二乘圓度誤差f（圓度誤差的最小二乘法，在許多文獻(xiàn)里已 有詳細(xì)介紹，限于篇幅，本文省略）。

（2） 構(gòu)造網(wǎng)格點(diǎn)。如圖1 所示，以點(diǎn)O1(ε ,α )為圓心、以f 為半徑構(gòu)造一圓形區(qū)域，將此圓的半徑m 等分并畫出一系列同心圓，將圓周n 等分，等分點(diǎn)與1( , )O ε α 的連線與一系列同心圓的m n× 個(gè)交點(diǎn)即為構(gòu)造的網(wǎng)格點(diǎn)。網(wǎng)格點(diǎn)Oij( sij, γij)在極坐標(biāo)系的坐標(biāo)為

圖1 極坐標(biāo)網(wǎng)格搜索原理

（3） 以網(wǎng)格點(diǎn) Oij(sij,γij)為圓心，按式（2）計(jì)算所有測(cè)點(diǎn) Pk(ρk,θk)的半徑值 Rijk并找出此時(shí)的最大半徑 Rijmax、最小半徑 Rijmin及半徑極差ΔRij。有m × n個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)就可得到m × n個(gè)最大半徑、最小半徑和半徑的極差值。

（4） 比較m n× 個(gè)最大半徑值，其最小者為最小外接圓的半徑，用符號(hào)outR 表示；此對(duì)應(yīng)網(wǎng)格點(diǎn)即為最小外接圓圓心，用 Ow( sw, γw)表示；與此圓圓心相對(duì)應(yīng)的最小半徑用符號(hào) rout表示。則最小外接圓法圓度誤差值 fout為

（5） 比較m × n個(gè)最小半徑值，其最大者為最大內(nèi)接圓的半徑，用符號(hào) rin表示，此對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)即為最大內(nèi)接圓圓心，用 Oc( sc, γc)表示；與此圓圓心相對(duì)應(yīng)的最大半徑，用符號(hào) Rin表示。則最大內(nèi)接圓法圓度誤差值 fin為

（6） 比較m × n個(gè)半徑極差值，其最小者為包容被測(cè)點(diǎn)的兩同心圓的最小區(qū)域，與此半徑對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)即為最小區(qū)域圓圓心，用 Oz( sz, γz)表示。則最小區(qū)域法圓度誤差值為 fz

從以上搜索過程可以看出：該算法求出的圓度誤差與理想值之間的接近程度與等分?jǐn)?shù)m、n 有關(guān)，等分?jǐn)?shù)越大，計(jì)算結(jié)果接近理想值的程度越高。

為提高評(píng)定精度，可在步驟（2）增加等分點(diǎn)數(shù)或者以第一次的計(jì)算結(jié)果 fz為半徑，以O(shè)z( sz, γz)為參考點(diǎn)，布置間隔更小的網(wǎng)格，重復(fù)步驟（2）～步驟（6）；當(dāng)半徑極差的最小值（記為 Rmin）與半徑極差的次最小值（記為CRmin）非常接近（如小于最小二乘圓度誤差的 1%）時(shí)，可以認(rèn)為此時(shí)的最小區(qū)域法圓度誤差值已十分接近符合最小條件圓度誤差的真值，此時(shí)的最小半徑差就是最小區(qū)域法圓度誤差。

該算法的程序流程圖如圖2 所示。

圖2 極坐標(biāo)網(wǎng)格搜索流程圖

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

（1） 三坐標(biāo)圓度測(cè)量

在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)（Brown Sharpe, Global Status574，數(shù)據(jù)采集與處理系統(tǒng)：pc-DMIS）上，測(cè)量基本尺寸為 Φ 80 × 35的軸承套圈的圓度誤差。從pc-DMIS系統(tǒng)中提取測(cè)樣點(diǎn)的極坐標(biāo)如表1所示，數(shù)據(jù)處理結(jié)果如表2所示，依據(jù)測(cè)量點(diǎn)的坐標(biāo)表1及表2中四種評(píng)定方法的圓心坐標(biāo)，計(jì)算出的圓度誤差值如表3所示。

表1 測(cè)樣點(diǎn)的坐標(biāo)

表2 數(shù)據(jù)處理結(jié)果

表3 計(jì)算出的圓度誤差值(mm)

（2） 圓度誤差的網(wǎng)格搜索評(píng)定

用本文提出的極坐標(biāo)網(wǎng)格搜索算法，以表2中最小二乘圓心坐標(biāo)為參考，以表3 中最小二乘法圓度誤差0.0265mm 為半徑設(shè)置圓形區(qū)域，對(duì)表1 的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到三種評(píng)定方法的圓心坐標(biāo)及圓度誤差值如表4 所示。

表4 計(jì)算出的圓心坐標(biāo)及圓度誤差(mm)

（3） 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)（Brown Sharpe, Global Status574，數(shù)據(jù)采集與處理系統(tǒng)：pc-DMIS）是公認(rèn)的高精密測(cè)量設(shè)備，其數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)中的圓度誤差評(píng)定結(jié)果具有權(quán)威性。

對(duì)比表4 與表3 的圓度誤差數(shù)值可以看出，同一種評(píng)定方法中，采用極坐標(biāo)網(wǎng)格搜索算法得到的圓度誤差值與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)上得到的數(shù)值是一致的；比較表4 和表2 中的圓心坐標(biāo)可以看出，同一種評(píng)定方法中，采用網(wǎng)格搜索算法得到的圓心坐標(biāo)與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)上的數(shù)值也是一致的。說明網(wǎng)格搜索算法是可以實(shí)現(xiàn)形狀誤差的精確評(píng)定的。

4 結(jié) 論

（1） 本文提出的極坐標(biāo)網(wǎng)格搜索算法，只需計(jì)算一次即可得到最大內(nèi)切圓法、最小外接圓法和最小區(qū)域法的圓度誤差，可實(shí)現(xiàn)圓度誤差極坐標(biāo)測(cè)量數(shù)據(jù)的精確處理。

（2） 使用本算法進(jìn)行圓度誤差評(píng)定時(shí)，采樣點(diǎn)分布是否均勻不受限制，也無需滿足所謂的小誤差和小偏差假設(shè)。只需重復(fù)調(diào)用點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離公式即可實(shí)現(xiàn)圓度誤差的精確評(píng)定，其評(píng)定精度與網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)的多少有關(guān)，劃分的點(diǎn)數(shù)越多，精度越高。

（3） 該算法具有通用性和較好的實(shí)用性，便于計(jì)算機(jī)編程，可在實(shí)際工程中應(yīng)用其它形位誤差的評(píng)定。

[1] 崔長(zhǎng)彩, 車仁生, 葉 東. 基于遺傳算法的圓度誤差評(píng)估[J]. 光學(xué)精密工程, 2001, 9(6)： 499-505.

[2] 劉文文, 聶恒敬. 一種用于圓度誤差評(píng)定的優(yōu)化算法[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào), 1998, 19(4)： 430-433.

[3] 田社平, 邵 旼. 圓度誤差的全局評(píng)價(jià)方法[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào), 2003, 24(4)： 10-11.

[4] 李 輝, 劉鳳利. 一種圓度誤差評(píng)定的計(jì)算機(jī)新算法[J]. 石家莊鐵道學(xué)院學(xué)報(bào), 1998, 11(3)： 50-53.

[5] 丁喜波, 楊玉春. 圓度誤差評(píng)定快速算法[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報(bào), 1997, 2(1)： 15-17.

[6] Murthy T S R, Oao S Y. A simple approach for evaluation of cylindrical surfaces [J]. Annals of the CIRP, 1981, 30(1)： 441-444.

[7] Tsukada T, kanada T, Okuda K. An evaluation of roundness from minimum zone center by means of an optimization techniques [J]. Bull Japan Soc of Prec Eng, 1984, 18(4)： 317-322.

[8] 劉順芳, 石建玲. 最大內(nèi)接圓法評(píng)定圓度誤差值的快速、精確算法[J]. 計(jì)量技術(shù), 2006,(3)： 17-19.

[9] 郝宏偉, 劉順芳, 范淑果. 最小區(qū)域法評(píng)定圓度誤差的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)方法[J]. 河北科技大學(xué)學(xué)報(bào), 2006, 27(2)： 150-154.

[10] Endrias Dawit H, Feng Hsi-yung. Minimum-zone form tolerance evaluation using rigid-body coordinate transformation [J]. Journal of Computing and Information Science in Engineering, 2003, 3(1)： 31-38.