空間二次曲線射影重建計(jì)算方法研究

張政武

（陜西理工學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，陜西 漢中 723003）

計(jì)算機(jī)視覺(jué)的基本目的之一就是通過(guò)分析景物的一幅或多幅圖像來(lái)揭示景物的本質(zhì)特征。由于在投影過(guò)程中，三維景物的空間關(guān)系、物理性質(zhì)以及表面的物理特性在二維圖像中綜合為圖像點(diǎn)的灰度值，因此，在得到二維圖像的過(guò)程中丟失了景物的深度信息，正是由于要恢復(fù)這種丟失的深度信息便組成了計(jì)算機(jī)視覺(jué)研究的核心問(wèn)題——從景物圖像或序列圖像恢復(fù)三維景物的形狀、位置、運(yùn)動(dòng)等物理特征。

將二次曲線作為一個(gè)重要的基本要素來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)三維場(chǎng)景的理解和識(shí)別是計(jì)算機(jī)視覺(jué)研究的一個(gè)重要的領(lǐng)域。近幾年來(lái)，研究人員在這方面做了大量的工作，在圍繞著二次曲線計(jì)算方法的研究方面取得了不少的成績(jī)[1-6]。文獻(xiàn)[1]通過(guò)對(duì)多幅圖像中二次曲線上多個(gè)點(diǎn)的檢測(cè)來(lái)求解二次曲線；文獻(xiàn)[2]中通過(guò)對(duì)二次曲線上不同直線的檢測(cè)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)二次曲線的恢復(fù)；文獻(xiàn)[3]利用幾何代數(shù)來(lái)表示二次曲線，通過(guò)求解兩個(gè)不同點(diǎn)上線束的對(duì)應(yīng)直線交點(diǎn)推導(dǎo)出二次曲線的幾何積的表達(dá)形式；文獻(xiàn)[4]、[5]是將一條二次曲線表示為P5射影空間中的一個(gè)點(diǎn)或者一個(gè)稱為二次曲線矢量的六維矢量，然后通過(guò)一個(gè)6×6的射影變換矩陣推導(dǎo)出了從一個(gè)給定的二次曲線基變換為點(diǎn)基的線性算法和兩幅圖像對(duì)應(yīng)的約束條件，實(shí)現(xiàn)了對(duì)物體的識(shí)別；文獻(xiàn)[6]提出一種二次曲線的整體表示法，即給出了空間二次曲線和平面二次曲線的坐標(biāo)表示法，該坐標(biāo)是由不全為零的9個(gè)數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組，建立了基于動(dòng)態(tài)灰度圖像和基于序列灰度圖像的二次曲線光流的概念。上述方法,總的來(lái)說(shuō)是利用點(diǎn)、直線坐標(biāo)或是利用矢量運(yùn)算來(lái)對(duì)二次曲線進(jìn)行檢測(cè)和識(shí)別，在實(shí)際情況中，由于圖像數(shù)據(jù)存在噪聲，通常需要利用迭代法以求解多元方程組的最優(yōu)解，這就存在迭代法不收斂或收斂到一個(gè)局部而非全局的最優(yōu)解的可能性。本文從實(shí)際計(jì)算的角度出發(fā)，將一條二次曲線表示成一個(gè)空間錐面和一個(gè)平面的交線，利用兩個(gè)二次曲面的基曲線推導(dǎo)出二次曲線重建的對(duì)應(yīng)條件，在此基礎(chǔ)上，給出了空間二次曲線射影重建的計(jì)算方法，最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明該算法實(shí)用、可靠。

1 空間二次曲線的射影重建

1.1 空間二次曲線

射影空間中點(diǎn)和平面互為對(duì)偶，因此平面二次曲線的空間對(duì)偶就是錐面，同時(shí)二次曲線是一 個(gè)秩為3的二次包絡(luò)[7]。設(shè)錐面為T0=x Qx （Q是 4× 4的對(duì)稱矩陣），空間平面為π = pTx =0， 當(dāng)用平面坐標(biāo)代替點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，二次曲線的平面方程能夠表示成一個(gè)空間錐面和一個(gè)平面的交線

其中 平面 u=( u1, u2, u3,u4)T是變平面。

1.2 空間二次曲線的射影重建

設(shè)雙目立體視覺(jué)中兩個(gè)攝像機(jī)的投影矩陣分別為P 和P′，射影重建是指確定這對(duì)射影矩陣P 和P′之間的射影變換，因此就要在射影空間中研究二次曲線重建的內(nèi)部特征。

假設(shè)給定兩幅圖像中的一對(duì)對(duì)應(yīng)二次曲線

對(duì)空間二次曲線進(jìn)行射影重建就是要尋找空間中的一條二次曲線，該二次曲線分別被投影為C 和C′。由上述分析知道，空間一條二次曲線能夠表示成一個(gè)空間錐面和一個(gè)平面的交線，因此對(duì)于空間二次曲面的射影重建問(wèn)題就是要根據(jù)該二次曲線的圖像來(lái)確定空間錐面和該平面的方程。

定理1設(shè)攝像機(jī)的投影矩陣分別為P 、P′，則連接攝像機(jī)中心O、O′和圖像中對(duì)應(yīng)的 二次曲線C 和C′的錐面方程Q 和Q′分別是

證 明將對(duì)應(yīng)于兩個(gè)攝像機(jī)的投影方程分別代入二次曲線的二次型方程便可得到式(2)。式(2)表示如果空間點(diǎn)x 的投影位于圖像二次曲線C （或C′）上，則x 滿足式(2)，而且任何位于由O 和C 組成的錐面（或O′和C′組成的錐面）上的點(diǎn)的投影都位于C （或C′）上，因此 式(2)分別為Q 和Q′的錐面方程。

考慮二次曲面束 Q + λQ ′=0，對(duì)于每一個(gè)λ 的值，方程 Q + λQ ′=0表示一個(gè)二次曲面，該曲面通過(guò)Q 和Q′所有的公共點(diǎn)。該曲面束中的所有二次曲面的公共點(diǎn)組成一條曲線，該曲線是Q 和Q′交線，并且這條曲線就是該曲面束的 基曲線。兩個(gè)二次曲面的基曲線一般是一條四次曲線。在本文中，重建約束就是限定這對(duì)對(duì)應(yīng)的錐面在空間的交線是一條二次曲線。

由于空間的這條二次曲線是基曲線的一部分，因此束的基曲線就被分為兩部分，其中的一部分就是空間的這條二次曲線，同時(shí)另外一部分也是一條二次曲線。由于一對(duì)平面可以被看作秩為2 的退化的二次曲面，這對(duì)退化的二次曲面就組成了一對(duì)屬于二次曲面束中的一對(duì)平面。所以，從兩個(gè)圖像中重建空間二次曲線就等同于尋 找一個(gè)λ，使得λ 矩陣 C (λ ) = A+λB的秩為2，此時(shí)， xTAx =0和 xTBx =0就是對(duì)應(yīng)于空間二 次曲線的錐面。

1.3 射影重建的對(duì)應(yīng)條件

命題1 對(duì)于一對(duì)對(duì)應(yīng)二次曲線存在兩個(gè)獨(dú)立的多項(xiàng)式條件。

證 明一個(gè)4×4 的對(duì)稱矩陣有10－1＝9個(gè)自由度，這樣一個(gè)矩陣束就有9－1＝8 個(gè)自由度；同時(shí)，一個(gè)秩為2 的4 階對(duì)稱矩陣有6 個(gè)自由度，于是對(duì)于一對(duì)對(duì)應(yīng)二次曲線就有8－6＝2個(gè)獨(dú)立條件。

現(xiàn)在推導(dǎo)這兩個(gè)多項(xiàng)式條件。

考慮λ 矩陣 C (λ ) = A+λB的特征多項(xiàng)式

由于 ( )λC 是一個(gè)4×4 的是對(duì)稱矩陣，要使 得它的秩為2，必須有兩個(gè)不同的非零特征值和兩個(gè)零特征值，因此對(duì)應(yīng)條件應(yīng)滿足

根據(jù)定義， a4( λ )是 C (λ )的行列式，這樣a4( λ )就是矩陣束 A + λB的特征多項(xiàng)式，并且

一般情況下， a4( λ )= 0有四個(gè)根，每一個(gè) 根是束中的一個(gè)特征值，并且對(duì)應(yīng)于束中一個(gè)矩陣，其中兩個(gè)特征值分別是 0=λ 和 ∞=λ ，它們分別對(duì)應(yīng)于矩陣A 和B，其余兩個(gè)特征值是下面二次方程的兩個(gè)根。

為了在束中有一個(gè)秩為2 的矩陣，則必須至少有一個(gè)二重特征值，因此式（5）必須有兩個(gè)相等的根，即

這就是第一個(gè)對(duì)應(yīng)條件。

當(dāng) a4(λ )= 0的條件被確定之后，下面推導(dǎo)a3( λ )= 0的對(duì)應(yīng)條件， a3( λ )是λ 的一個(gè)三次多項(xiàng)式，它可以寫(xiě)為

其中ij 是由矩陣A、B 個(gè)元素組成的多項(xiàng)式。

第二個(gè)對(duì)應(yīng)條件通過(guò)將 a3( λ )、a4(λ )兩個(gè) 方程聯(lián)立起來(lái)求解λ，再利用 0=Δ 則很容易得到下面的第二個(gè)對(duì)應(yīng)條件

因此，一對(duì)對(duì)應(yīng)二次曲線的兩個(gè)多項(xiàng)式的對(duì)應(yīng)條件分別是式（6）和式（7）。

1.4 射影重建的計(jì)算方法

1.4.1 退化的二次曲面

因?yàn)榉匠蹋?）有兩個(gè)相等的根，所以兩個(gè)相等的特征值可直接求得，其中

而退化的二次曲面的矩陣 BAC λ+= 。

1.4.2 求解平面對(duì)

利用式（7）將矩陣 ( )λC 的特征多項(xiàng)式（3），可以化簡(jiǎn)為

其中兩個(gè)非零特征值1μ 和2μ 是下面二次方程的根

因?yàn)镃 是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，因此存在一個(gè)變換矩陣T ，可以將矩陣C 轉(zhuǎn)化成一個(gè)對(duì)角矩陣

相應(yīng)地將 x = Tx′代入 x′Tdiag ( μ1, μ2,0,0) x′ =0 中，二次曲面 xTCx =0變換為

顯然，為了得到實(shí)平面，必須使

設(shè) 21,vv 分別是矩陣C 的特征值 21,μμ 對(duì)應(yīng)的特征向量，則平面對(duì)≡x = 0, i =1,2在原始坐標(biāo)系下的方程為

1.4.3 計(jì)算步驟

（1） 選擇對(duì)應(yīng)的二次曲線對(duì)

第一步 對(duì)于每一對(duì)二次曲線 iC 和 jC′，組成 錐 面 A = PTCiP 和 B = P ′TCiP ′，計(jì) 算I2, I3,I4和 Δi,j；

第二步 在兩幅圖像所有可能的二次曲線 對(duì)中選擇 ji,Δ 絕對(duì)值最小的像對(duì)作為可能對(duì)應(yīng)的 二次曲線對(duì)；

（2） 射影重建

2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在本文實(shí)驗(yàn)中，使用雙目成像獲得杯子和盤(pán)子的兩幅圖像，如圖1 所示。

實(shí)驗(yàn)中的物體共有三條二次曲線，分別是杯子的杯口圓、盤(pán)子的外圓和內(nèi)圓。首先對(duì)原始圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)和二次曲線的匹配，匹配后的二次曲線見(jiàn)圖2。

圖1 實(shí)驗(yàn)中的原始圖像

圖2 圖像中的三條二次曲線的匹配

對(duì)于兩幅圖像中的每一對(duì)二次曲線計(jì)算Δ，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表1。

表1 計(jì)算兩幅圖像中的每一對(duì)二次曲線Δ

空間二次曲線重建結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 空間二次曲線的重建

利用本文中的計(jì)算方法求出了空間二次曲線所在的平面對(duì)，而實(shí)際杯口圓、盤(pán)子內(nèi)圓、盤(pán)子外圓所在的平面是計(jì)算結(jié)果中平面對(duì)中的第一個(gè)平面，具體判斷還要利用其它條件，在此不再深入討論。

通過(guò)對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析可知，杯口圓和盤(pán)子外圓高度差是4.97cm，盤(pán)子外圓與內(nèi)圓的高度差是0.787cm；實(shí)際通過(guò)測(cè)量，杯口圓、盤(pán)子外圓、盤(pán)子內(nèi)圓距地面的高度分別是8.5cm、3.0cm、2.3cm，也就是說(shuō)杯口圓和盤(pán)子外圓實(shí)際高度差是5cm，盤(pán)子外圓與內(nèi)圓的實(shí)際高度差是0.7cm，所以計(jì)算結(jié)果和實(shí)際相符。

3 結(jié) 論

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