寓言故事中的一次函數(shù)

在中國(guó)古老的故事中存在著一些函數(shù)關(guān)系問(wèn)題，故事與函數(shù)的交融，形成了故事海洋中一道亮麗的風(fēng)景線(xiàn). 我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中要關(guān)注這些具有文化底蘊(yùn)和啟發(fā)意義的寓言故事，并要揭示其解題規(guī)律和所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想.

一、烏鴉喝水

例1 你一定知道烏鴉喝水的故事吧!一個(gè)緊口瓶中盛有一些水，烏鴉想喝，但是嘴夠不著瓶中的水，于是烏鴉銜來(lái)一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度隨石子的增多而上升，烏鴉喝到了水.但是還沒(méi)解渴，瓶中水面就下降到烏鴉夠不著的高度，烏鴉只好再去銜些石子放入瓶中，水面又上升，烏鴉終于喝足了水，哇哇地飛走了. 如果設(shè)銜入瓶中石子的體積為x，瓶中水面的高度為 y，下面能大致表示上面故事情節(jié)的圖象是().

解析:整個(gè)過(guò)程分為四個(gè)階段:①水面上升; ②水面下降; ③水面再次上升; ④水面再次下降. 能和這四個(gè)階段基本吻合的是選項(xiàng)B.

例2 小明受《烏鴉喝水》故事的啟發(fā)，利用量筒和體積相同的小球進(jìn)行了如下操作.

請(qǐng)根據(jù)圖中給出的信息，解答下列問(wèn)題:

(1)放入一個(gè)小球量筒中水面升高cm;

(2)求放入小球后量筒中水面的高度y(cm)與小球個(gè)數(shù)x(個(gè))之間的一次函數(shù)關(guān)系式(不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍);

(3)量筒中至少放入幾個(gè)小球時(shí)有水溢出?

分析:本題可以采用兩種方法求解， 第一種是算術(shù)方法，即沒(méi)有球放入時(shí)水面高為30cm，也就是原來(lái)高為30cm，當(dāng)放入3個(gè)球水位增長(zhǎng)了6cm，從而就可以求出放入一個(gè)小球量筒中水面升高的量為2cm;當(dāng)放入x個(gè)球時(shí)，水位升高了2xcm，故y=30+2x. 第二種是運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化成點(diǎn)的坐標(biāo)的形式，即無(wú)球時(shí)水面高30cm，就是點(diǎn)(0，30)， 3個(gè)球時(shí)水面高為36cm，就是點(diǎn)(3，36)， 采用待定系數(shù)法從而求出y與x的函數(shù)關(guān)系式.

解:(1)2.

(2)設(shè)y=kx+b，把(0， 30)，(3， 36)代入得:b=303k+b=36.解得k=2，b=30.即y=2x+30.

(3)由2x+30>49，得x>9.5，

所以至少要放入10個(gè)小球時(shí)才有水溢出.

二、龜兔賽跑

例3“龜兔賽跑”講述了這樣的故事:領(lǐng)先的兔子看著緩慢爬行的烏龜，驕傲起來(lái)，睡了一覺(jué). 當(dāng)它醒來(lái)時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn). 用S、S分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時(shí)間，則下列圖象中與故事情節(jié)相吻合的是().

解析:當(dāng)烏龜?shù)竭_(dá)終點(diǎn)時(shí)，此時(shí)兔子仍在追趕的路上，所以符合題意的選項(xiàng)應(yīng)該選D.

例4“龜兔賽跑”是同學(xué)們熟悉的寓言故事，如圖所示表示路程S(米)與時(shí)間t(分)的關(guān)系，那么知道:①賽跑中，兔子共睡了 分鐘;②烏龜在這次賽跑中的平均速度為 米/分鐘.

解析:①由圖象可知，兔子睡覺(jué)時(shí)間就是在圖象上平行于t軸的一條線(xiàn)段所對(duì)應(yīng)的時(shí)間差， 即50-10=40(分). ②烏龜爬完全程所用時(shí)間為50分種，共爬行了500米，所以烏龜?shù)钠骄俣葹?00÷50=10(米/分).

例5 新龜兔賽跑:兔子失敗后吸取了教訓(xùn)，分析了失敗的原因是因?yàn)樽约禾p敵，太驕傲了，準(zhǔn)備爭(zhēng)口氣回來(lái). 這次舉行的是100米賽跑，兔子讓烏龜先跑30米，然后自己才開(kāi)始跑，已知烏龜每分鐘跑10米，兔子每分鐘跑15米，(列出函數(shù)關(guān)系式，作出函數(shù)圖象，觀察函數(shù)圖象)回答下列問(wèn)題:

(1)何時(shí)烏龜跑在兔子前面?

(2)何時(shí)兔子跑在烏龜前面?

(3)兔子是否能追上烏龜?什么時(shí)候?

(4)誰(shuí)先跑過(guò)100米?

解:設(shè)烏龜所跑的路程為y米，兔子所跑的路程為y米， 跑的時(shí)間為t分.

函數(shù)關(guān)系式分別為:烏龜:y=30+10t，兔子:y=15t.

函數(shù)圖象如右圖:

(1)當(dāng)y=y時(shí)，有30+10t=15t.所以t=6(分)，故當(dāng)0

(2)把y=100代入y得100=30+10t，所以t=7(分)，故當(dāng)6

(3)能，在時(shí)間為第6分鐘時(shí).

(4)把y=100代入y得100=15t，所以t=≈6.7(分)，故兔子先跑過(guò)100米.