基于均值——VAR的投資組合模型

[摘 要] 本文對Markowitz投資組合模型的缺陷進行簡要分析與概括，利用均值-VAR模型將VAR約束引入Markowitz 投資組合理論中，使用VAR代替收益率方差來度量風(fēng)險，建立基于VAR約束下的投資組合模型。

[關(guān)鍵詞] VAR Markowitz 投資組合

一、Markowitz證券投資組合理論概述

1.證券組合的收益—風(fēng)險衡量與Markowitz理論假設(shè)條件

設(shè)一投資組合具有n種證券，其收益率分別為r1，r2……rn，用向量表示為r=(r1，r2……rn)T，期望值向量E(r)=(u1，u2……un)T反映了各種證券的期望收益率，方差δ2i=D(r1)反映了第i種證券的風(fēng)險，協(xié)方差δij=δji=cov(ri，rj)反映了第i種證券與第j種證券收益率的相關(guān)系數(shù)(i，j;1、2……n)，V=(δij)為r的協(xié)方差陣。X=(x1，x2……xn)T表示組合證券投資比例向量，滿足enT=1，其中en=(1，1……1)T為元素全為1的n維列向量。組合證券投資的收益率為R=rTX=∑xiri。則投資組合的期望收益率m=E(R)=UTX，投資組合的風(fēng)險(方差)δ2=D(R)=∑∑XiXjδij=XTVX。

馬科維茨證券組合理論認(rèn)為:投資者進行決策時總希望盡可能小的風(fēng)險獲得盡可能大的收益，或在收益率一定的情況下，盡可能降低風(fēng)險，即研究在滿足預(yù)期收益率m≥m0的情況下，使其風(fēng)險最小;或在滿足既定風(fēng)險δ2≤δ02的情況下，使其收益最大，也即通過下面模型(A)或(B)來進行證券組合投資決策。

模型(A): minδ2=XTVX

S.t.uTx≥m0

X≥0

模型(B): max m=uTx

S.t.XTVX≤δ02

X≥0

Markowitz組合投資的定量模型是建立在一系列嚴(yán)格的假設(shè)條件基礎(chǔ)之上的，主要包括:

1.證券市場是有效的，證券的價格反映了證券的內(nèi)在經(jīng)濟價值，每個投資者都掌握了充分的信息，了解每種證券的期望收益率及標(biāo)準(zhǔn)差，是價格接受者。投資者可以無限借入資金，也就是說投資者資金量無限大;并且稅收和交易成本不予考慮。

2.證券投資者的目標(biāo)是:在給定的風(fēng)險水平上收益最大，或在給定的收益水平上風(fēng)險最低，就是說，投資者都是厭惡風(fēng)險的。

3.投資者以期望收益率來衡量未來實際收益率的總體水平， 以收益率的方差來衡量收益的風(fēng)險性，因而投資者在決策中只關(guān)心投資的收益率和方差，如果要他們選擇風(fēng)險(方差)較高的方案，他們都要求有額外的收益率作為補償。

4.投資者追求其每期財富期望效用的極大化，投資者具有單周期視野，所有Xi是非負(fù)的，即不允許買空與賣空。

5.每種證券的收益率都服從正態(tài)分布;證券具有無限可分性，也就是說投資者必要的話可以購買部分股權(quán);各種證券的收益率之間有一定的相關(guān)性，它們之間的相關(guān)程度可以用相關(guān)系數(shù)或者收益率之間的協(xié)方差來表示。

二、Markowitz 的均值——方差模型的缺陷

Markowitz最優(yōu)資產(chǎn)組合選擇的均值-方差模型，是用于估計投資者投資組合風(fēng)險與收益的一種有力的工具。但由于其采用的均值——方差模型存在著以下缺陷:

1.均值——方差模型利用方差來衡量投資風(fēng)險，即預(yù)期收益相對于平均收益的離散程度越大，風(fēng)險也就越大。然而不符合實際情況，因為現(xiàn)實情況中，如果投資收益超出平均收益越多，投資者應(yīng)該更傾向于高的投資收益，而不是因為由此引起的方差(風(fēng)險)越大而厭惡它，從而不能使組合優(yōu)化達(dá)到最佳。

2.均值——方差模型未能提供衡量投資者風(fēng)險厭惡程度的指標(biāo)。投資者不能夠根據(jù)自己的風(fēng)險厭惡來使自己的組合達(dá)到最佳，不同偏好的投資者可能具有不同的衡量標(biāo)準(zhǔn)，其效用函數(shù)不同，擁有不同的風(fēng)險測度，Marlowitz均值—方差模型僅僅是效用函數(shù)的特例。據(jù)研究，只有證券收益率服從正態(tài)分布條件，方差才是風(fēng)險的有效測度。然而根據(jù)對美、日證券業(yè)人員的調(diào)查結(jié)果，投資者對風(fēng)險、收益的理解不對稱，更談不上均勻分布在均值左右，而統(tǒng)計數(shù)據(jù)也表明r1并不一定服從正態(tài)分布，因而選擇何種度量風(fēng)險的測度標(biāo)準(zhǔn)，對投資組合的證券及比例的選擇尤為重要。

3.Markowitz根據(jù)以往各種證券之間的關(guān)聯(lián)方式和程度推測它們未來的關(guān)聯(lián)情況。但在現(xiàn)實中，由于投資者之間的博弈的影響，證券之間的關(guān)聯(lián)情況并非穩(wěn)定常態(tài)，而是常常發(fā)生較大的變化和震蕩。這使得通過以往的數(shù)據(jù)計算出來的證券收益率的協(xié)方差矩陣未必能夠代表未來的情況。

二、引入VAR代替方差后的修正——基于Markowitz的均值-VAR組合模型

1.VAR模型

VAR作為市場風(fēng)險測定和管理的一種工具，由J. P. Morgan 最先提出，指的是“在正常的市場條件下，給定置信區(qū)間的一個持有期內(nèi)的最壞的預(yù)期損失。” 其在數(shù)學(xué)上表示為投資工具或組合的損益分布( PL distribution) 的α分位數(shù)(α-quantile) ，相應(yīng)的表達(dá)式為Pr(-ΔpΔt≥VAR)=α(ΔpΔt表示組合P在Δt持有期內(nèi)市場價值變化。)

VAR模型提出的最初，僅僅用于度量市場風(fēng)險。但經(jīng)過長期應(yīng)用和發(fā)展，該模型已經(jīng)逐漸擴展到信用風(fēng)險、交易風(fēng)險等多種風(fēng)險的管理，成為目前金融界進行風(fēng)險組合管理的一個重要方法。將VAR方法引入Markowitz組合投資理論的研究，在一定程度上能夠彌補了投資組合理論在風(fēng)險度量上的不足。對此，可以在均值-方差模型的基礎(chǔ)上引進VAR 約束，建立基于VAR約束下的組合優(yōu)化模型。

2.VAR 約束下的組合優(yōu)化模型——均值-VAR模型

均值-VAR模型，指的是在均值-方差模型的基礎(chǔ)上，即尋找在給定的收益約束下，使組合的VAR最小的投資組合。模型內(nèi)容為:

(1)當(dāng)組合的收益服從正態(tài)分布時，均值-VAR 有效集是均值-方差有效集的子集，因此均值-VAR 有效集可能為空。對于正態(tài)分布，使用均值-VAR 方法與期望效用最大化模型得到的結(jié)果一致(或至少近似一致)。

(2)假定具有均值-方差偏好的投資者在組合VAR 小于或等于V ∈R 的限制下選擇投資組合，則可以得到VAR 約束下的組合優(yōu)化模型為:

其中，c為置信水平，c=1-α是給定的VAR 值。給定一持有期，令置信水平下某風(fēng)險組合的VAR 為F(-v)=1-c的收益率v，F(xiàn)(*) 是給定期末組合收益率的累積分布函數(shù)。對于任意c，c*∈(0，∞)且Ф(-c*)=1-c，Ф(*)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)。在證券回報率為正態(tài)分布情況下，根據(jù)大數(shù)定理，式Prob(rp<-VAR) ≤1-c可轉(zhuǎn)化為:

VAR=V(c，rp)=Ф-1(c)σ(rp)-E(rp)

此時VAR 約束變?yōu)?

Ф-1(c)σ(rp)-E(rp)=V(2)

顯然，VAR 約束線是一條斜率為Ф-1(c)，截距為-V的一條直線。此時原式組變形為:

即得到了VAR 約束下的組合優(yōu)化模型。

三、引入VAR約束之后投資組合選擇的影響因素

由于VAR 的計算結(jié)果受收益率分布及給定置信水平的影響，所以利用VAR代替方差，建立最優(yōu)投資分配模型后，投資組合的選擇也不再僅僅受投資者的風(fēng)險規(guī)避度影響，而且還受到計算VAR 時置信水平的選擇以及VAR 約束值的大小的影響。

1.VAR具有非凸及非次可加性，因此當(dāng)投資組合收益的分布不服從正態(tài)或?qū)?shù)正態(tài)分布時，配置最優(yōu)投資組合時，使用VAR度量風(fēng)險會產(chǎn)生較大困難。

2.置信水平越高，表明投資者越厭惡風(fēng)險，估計的風(fēng)險也越大，導(dǎo)致最終的投資分配方案趨于保守化。

四、總結(jié)

基于VAR 風(fēng)險測度的最優(yōu)投資分配模型相對于均值-方差模型來說，考慮到了投資者的風(fēng)險厭惡程度，因此更具有現(xiàn)實意義。VAR已經(jīng)被越來越多的金融機構(gòu)VAR 采用作為風(fēng)險限額，以測量市場風(fēng)險，同時也為監(jiān)管當(dāng)局使用以確定風(fēng)險資本金的依據(jù)。因此，金融機構(gòu)及其業(yè)務(wù)部門投資選擇時往往需要滿足VAR 的約束條件，加之 VAR 是在一定置信水平之下即將面臨的最大損失值，從而提供了一種反映投資者風(fēng)險承受能力的指標(biāo)，使得投資者能選擇適合自己風(fēng)險偏好的組合優(yōu)化模型。

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